Chương 4
Đặc trưng hình học của tiết diện
4.1. Tóm tắt lý thuyết
4.1.1. Các định nghĩa
Xét mặt cắt ngang có diện tích A . Tại điểm M(x,y) thuộc mặt cắt ngang
lấy vi phân diện tích Da.
a. Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục Ox:
S
x
= ∫ dA y
(
A
)
(4.1)
Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục Ox:
S
x dA
y
= ∫
(
A
)
(4.2)
Đơn vị của mô men tĩnh là [chiều dài3], giá trị của nó có thể là dương,
bằng 0, hoặc âm.
b. Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox
I
2 y dA
x
= ∫
(
A
)
(4.3)
Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox
2 x dA
I
y
= ∫
(
A
)
(4.4)
Đơn vị của mô men quán tính là [chiều dài4], giá trị của nó luôn luôn
dương
c. Mô men quán tính độc cực (mô men quán tính của mặt cắt ngang A
2
đối với một điểm )
I
dA I
I
ρ =
+
p
y
x
(4.5)
∫=
A
(
)
1
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng
Đơn vị của mô men quán tính độc cực là [chiều dài4 ], giá trị của nó luôn
luôn dương
d. Mô men quán tính ly tâm (mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối
với một hệ trục )
I
xydA
xy
= ∫
(
A
)
(4.6)
Đơn vị của mô men quán tính ly tâm là [chiều dài4 ], giá trị của nó có thể
4.1.2. Các khái niệm
là dương, bằng 0, hoặc âm.
1. Trục trung tâm của mặt cắt ngang : Là trục mà mô men tĩnh của diện
tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0.
2. Trọng tâm: là giao điểm của hai trục trung tâm
3. Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục mà mô men quán tính ly tâm của diện tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0.
4.1.3. Công thức xác định toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngang
4. Hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục quán tính chính, có gốc tọa độ trùng với trọng tâm mặt cắt ngang.
Để xác định toạ độ trọng tâm của một hình phẳng, trước tiên phải chọn hệ trục ban đầu Oxy, biểu diễn kích thước và toạ độ trọng tâm C(xC, yC) trong hệ trục này. Ta có:
y A
S ; (4.7) = = x C y C S x A
Nếu mặt cắt ngang A ghép từ nhiều hình đơn giản Ai với tọa độ trọng tâm
n
n
x A Ci i
y A Ci i
mỗi hình đơn giản là Ci( xCi,yCi) trong hệ toạ độ ban đầu, thì:
∑
∑
S
i
i
1 =
=
=
=
=
y C
x C
n
1 = n
S x A
y A
A i
A i
; (4.8)
∑
∑
i
i
1 =
1 =
2
Chú ý: - Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục đối xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của càng nhiều hình đơn giản càng tốt.
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng
4.1.4. Công thức chuyển trục song song
y a
v
= +
- Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị âm.
x b = + ;
v
y
b
dA
v
y
x
x
O
a
u
u
O
(4.9) Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng hình học mặt cắt ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy. Hệ trục mới O'uv có O'u//Ox, O'v//Oy và: u
S
S
=
+ A a .
x
u
S
b .
A
S
=
+
y
v
2
I
2
aS
a
I
A
Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục O'uv là:
=
+
+
x
x
u
I
bS 2
I
=
+
2 + A b
y
y
v
I
aS
bS
abA
I
=
+
+
+
xy
uv
x
y
(4.10)
A
a= .
A
b= .
2
uS vS I
I
a
A
Trường hợp đặc biệt, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang A (O đi qua trọng tâm) thì công thức (4.8) có dạng đơn giản hơn:
=
+
u
x
I
I
=
2 + A b
v
y
I
I
abA
=
+
uv
xy
(4.11)
3
Chú ý: Dấu của khoảng cách a, b giữa hai trục mang dấu dương như trên
hình vẽ ( u phía dưới x và v bên trái y) Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng
4.1.5. Công thức xoay trục
Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng hình học mặt cắt ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy. Hệ trục mới Ouv xoay một góc α so với hệ trục Oxy như hình vẽ (αtheo chiều ngược chiều kim đồng hồ). Quan hệ giữa hệ trục tọa độ mới và cũ là:
u
xcos
+
v
xsin
+ os
=
ysinα α
= −
ycα
α
y
v
dA
y
u
v
α
u
x
x
O
; (4.12)
S
S
sin
os
= −
α
u
S cα + x
y
S
os
sin
=
Sα +
α
v
S c y
x
I
I
I
I
+
−
x
y
x
y
(4.13)
I
c os2 -
sin 2
=
+
α
xyIα
u
I
I
I
I
2 −
2 +
x
y
x
y
I
Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục Ouv là:
=
−
v
c yIα os2 + sin 2 x
I
I
α 2
x
y
I
=
uv
I cα + xy
4.1.6. Công thức tính mô men quán tính một số mặt cắt ngang đơn giản
2 − sin 2 os2 α 2
3
3
a. Hình chữ nhật
I = x
I = y
bh 12
hb 12 b. Hình tròn 4
4
4
4
π
π
4
4
(cid:17)
(cid:17)
I
0,1
D
I
I
0,05
D
; (4.14)
=
=
=
=
=
p
y
x
R π 2
D 32
R π 4
D 64
4
; (4.15)
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng
3
c. Hình tam giác
I = x
bh 12
y
y
h
h
x
x
x
b
D
b
(4.16)
4.2. Đề bài tập tự giải
y
y
y
α
R
R
x
x
α
3
1
2
c
b
y
h
x
4
a
I
,
I
Bài 4.1: Xác định toạ độ trọng tâm của các mặt cắt ngang sau đây
x
x C
Bài 4.2: Xác định các mô men quán tính của các tiết diện sau (C là trọng
5
tâm tiết diện):
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng
Cy
y
C
h
x C
xC
C
x
x
D
b
1
2
a
y
b
a
b a
h
C
x C
x
C
4
Cx
b 3
x
R
a 0 1
2a
R 2
4a
R
Bài 4.3: Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện
30
100
0 2
0 1
20
0 4
0 0 2
0 5 1
0 0 1
0 2
0 2
150
120
100
Bài 4.4: Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện (đơn vị đo trên hình vẽ bằng mm)
6
Bài 4.5: Xác định các mô men quán tính chính trung tâm của các mặt cắt ngang ghép từ các thép góc đều cạnh. Cho a=1cm.
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng
a
a
a
100x100x8
160x160x10
× ×
y
u
0 60
x
Bài 4.6: Biết các mô men quán tính Ix=365cm4, Iy=117cm4 và Iu=281,6cm4 của thép góc không đều cạnh L125 80 12mm. Tìm các trục chính và các mô men quán tính chính của mặt cắt ngang.
100x100x10
No
27
7
Bài 4.7: Tìm vị trí các trục quán tính chính trung tâm và tính các mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện ghép như hình vẽ.
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng
No 24
N 20o
a
a
8
Bài 4.8: Xác định khoảng cách a để các mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện ghép bằng nhau.
