Bài tập ðẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN TOÀN PHẦN ðẠO HÀM HÀM HỢP – ðẠO HÀM HÀM ẨN
sin
1
y
y x
A. ðạo hàm riêng:
=
=
u
u
z
e
z
x=
2
2
2
+
+
=
xy z
x
y
z
2
2
+
x
y
Tính các ñạo hàm riêng: 3. 1. 2. 4.
(2,1)
(2,1)
t e dt
¶ ¶ 5. Tính và nếu f(x,y) =
∫
f x
f y
3
3
3
+
+
¶ ¶
ln(
)
+ x y xyz 3
x
y
z
- 6. CMR: nếu f(x, y, z) = thì:
+
+
¶ ¶ ¶
f z
f y
= + + x
z
3
2
2
2
+
=
x
y
f 3 x y , CMR hàm thỏa phương trình:
f x
f y
y x
y 1 + - + x 2
1 y
y 2 x 8 Cho hàm f(x, y, z)= (z – y)(x – z)(y – x).
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 7. Cho hàm f(x,y) = ¶ ¶
+
+
=
0
f x
f y
f z
'
'
=
q
j
=
x
r
sin cos ,
y
j q sin sin ,
r
z
= q r
cos .
¶ ¶ ¶ CMR: hàm thỏa phương trình: ¶ ¶ ¶
'
' x q ' y q ' z q
x j y j z j
' x r ' y r ' z r
9. Cho Tính:
2
= - x
2
xy
= - y
x
f x
f y
¶ ¶ 10. Tìm hàm f(x,y), biết rằng: , ¶ ¶
2
2
+
+
ln x
x
y
xye
B. Vi phân hàm số: Tính các vi phân của các hàm sau:
12. 13. ln sin 11. z = 14. (xy)z
(
)
y x
xy e + . x y
2z y+
x
2
+
)3,02
3,98
2 3,03
1,99
15. Tính df (0, 1, 2) biết f(x, y, z) = 16.Tính df (1, 1) biết f(x, y, z) =
17. Tính gần ñúng 18. Tính gần ñúng(
20. Tìm d2f nếu f(x,y) = xy
Bài tập Giải tích 2 – Bộ môn Toán Lý – Khoa Vật Lý – ðHSP TPHCM
19. Tính gần ñúng sin320cos590 21. Tìm d2f nếu f(x,y) = xy + yz + x 22. Tìm d2f (1, 1) nếu f(x,y) = x2 +x y +y2 – 4 lnx – 2lny
3
f 2 x y 6
¶ 23. Tìm: , nếu f(x, y) = xln(xy) ¶ ¶
3
f 3 x y
¶ 24. Tính , nếu f(x, y) = x3siny + y3sinx ¶ ¶
2
2
z y+
x
6
25. Tính d3f nếu f(x,y) = x3 + y3 +3xy(x – y) 26. Tính d3f nếu f(x,y) = xyz 27. Tính d2f (2,3, 4) nếu: f(x,y, z) =
2
f 2 2 x y z
¶ 28. Tính , nếu f(x, y) = ln(x + y +z) ¶ ¶ ¶
C. ðẠO HÀM HÀM SỐ HỢP
arctg
29. Tính , nếu f(x, y) = xy, x = lnt, y=sint
y x
30. Tính , nếu f(x, y)= , x =e2t + 1, y= e2t - 1
,
¶ 31. Tính , nếu f(x,y) = ln(ex + ey) và x = ½ y2 + y ¶
,
df dt df dt df dy f x
f y f y
¶ ¶ 32. Tính , nếu f(x,y) = ulnv và u = xy, v = x2 – y2 ¶ ¶
33. Tình df nếu f(x, y) = u2v – uv2, u = xcosy, v = ysinx. 34. CMR: hàm g = y.f(cos(x-y)) thỏa phương trình:
+
=
g x
g y
y
=
g
¶ ¶ , giả sử f là hàm khả vi. ¶ ¶
g y thỏa phương trình:
2
2
)
f x (
y
35. CMR: hàm -
+
=
.
g x
1 x
g 2 y
y
=
g
¶ ¶ , giả sử f là hàm khả vi. ¶ ¶
g 1 y y thỏa phương trình:
2
2
)
f x (
y
36. CMR: hàm -
=
+
.
g 2 y
g x
1 x
g 1 y y 37. CMR: hàm h(x,y) = x.f(x+y)+y.g(x+y) thỏa phương trình:
2
2
2
¶ ¶ , giả sử f là hàm khả vi. ¶ ¶
0
2
h + y y
h = 2 y
2
h 2 x 2
2
=
a
h 2
t
h 2 x
¶ ¶ ¶ - , giả sử f , g là hàm khả vi. ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 38. CMR: nếu h =f(x-at) + g(x – at ) trong ñó f , g là hàm khả vi.và a là ¶ ¶
2
)
( f xy
hằng số.
x 3
y
Bài tập Giải tích 2 – Bộ môn Toán Lý – Khoa Vật Lý – ðHSP TPHCM
, với f là hàm khả vi, thỏa mãn phương trình: 39. CMR hàm số z =
2
2
0
x
xy
y
z + x
z = y
2
x
¶ ¶ - ¶ ¶
y 22. x
e f x e
, với f là hàm khả vi, thỏa mãn phương trình: 40. CMR hàm số z =
2
2
+
(
)
xy
y
x
xyz
z x
z = y
¶ ¶ - ¶ ¶ D. ðẠO HÀM HÀM SỐ ẨN:
ln(
= )
0
,
z
+ y
z
z x
z y
xy z
x
= +
z
y arctg
41. Tính y’x biết cos(xy) – exy – xy2 = 0 42. Tính y’x biết xy = yx 43. Tính y’(1) và y’’(1) nếu biết: x2 + 2xy + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 và y(1) = 2 44. Tính z’x, z’y biết x/z = ln(z/y) + 10 ¶ ¶ - 45. Tính , nếu ¶ ¶
z
y
=
z
46. Cho . Tính z’x và z’’xx -
+ +
x y
z z
47. Cho u = xcosz + zsin y với z = z(x,y) xác ñịnh bởi xyz + ez = 0. Tính u’x và u’y 48. Cho u = . Tính u’x và u’y với z = z(x,y) xác ñịnh bởi zez = xex + yey.
dx dy , dz dz
2
2
2
+ + =
=
0
x
49. Tìm biết: x, y, z là nghiệm hệ phương trình:
2
2
2
y +
z +
=
x
y
z
1
+ z y + + = y
z
x x
0
a. b.
,
,
,
2
2
u x
v x
u y
+ - = 0 x - = y
v
0
u v + u
v y z + x
+ 2
= 2
¶ ¶ ¶ ¶ 50. Tìm biết: biết u, v là hàm số của x và y xác ñịnh bởi: ¶ ¶ ¶ ¶
e
yz
x
y
0
-
Bài tập Giải tích 2 – Bộ môn Toán Lý – Khoa Vật Lý – ðHSP TPHCM
51. Tính dz nếu 52. Tính d2z nếu x + y + z = ez 53. Giả sử z = z(x,y) là hàm khả vi ñược xác ñịnh từ phương trình z3 – yz + x = 0. Biết z(3, -2) = 2. Tính dz(3, -2) và d2z(3,-2).
