BÀI TOÁN 7
ĐỊNH LÍ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
BẬC BỐN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
I. HỆ THỨC VIÉT
1. HỆ THỨC VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
Giả sử phương trình
3 2
0 0
ax bx cx d a
có ba nghiệm
123
, ,
x x x
. Khi
đó:
1 2 3 2 2
1 2 2 3 3 1
1 2 3
3
3
x x x x x
aaa
c
x x x x x x a
d
x x x a
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
b
x x x a
c
x x x x x x
a
d
x x x a
2. HỆ THỨC VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
Giả sử phương trình
4 3 2
0 0
ax bx cx dx e a
có bốn nghiệm
1 2 3 4
, , ,
x x x x
Khi đó:
1 2 3 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
1 2 3 4
b
x x x x a
c
x x x x x x x x x x x x
a
d
x x x x x x x x x x x x
a
e
x x x x a
II. CÁC ỨNG DỤNG
1. Giải phương trình khi biết tính chất của các nghiệm
Ta thực hiện các bước:
Bước 1: Dựa vào định lí Viét ta xác định được một nghiệm
0
x
của phương
trình.
Bước 2: Lựa chon một trong hai hướng:
Hướng 1: Nếu phương trình không chứa tham số, biến đổi phương
trình về dạng
0
0
x x g x
các nghiệm
Hướng 2: nếu phương trình chứa tham số, thay
0
x x
vào phương
trình
tham số
Bước 3. Thử lại và kết luận.
VD1: Giải phương trình 3 2
12 4 17 6 0
x x x
Biết rằng trong số các nghiệm có hai nghiệm có tích bằng -1.
Giải:
Giả sử phương trình có ba nghiệm
123
, ,
x x x
và 1 3
. 1
x x
. Khi đó:
1 2 3 2 2
1 1 1
2 2 2
x x x x x
Viết lại phương trình về dạng:
2
2
1
2
2 1 0
2
2 1 6 5 6 0
3
6 5 6 0
3
2
x
x
x x x x
x x
x
Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt
123
, ,
2 3 2
x x x

VD2: Xác định m để phương trình :
3 2
1 2 0
x m x x m
(1)
Có ba nghiệm phân biệt, biết rằng trong số các nghiệm có hai nghiệm đối
nhau.
Giải:
Giả sử phương trình có ba nghiệm
123
, ,
x x x
và 1 3
0
x x
. Khi đó:
1 2 3 2
1 1
x x x m x m
thay vào (1), ta được:
32
1 1 1 2 0 1
m m x m m m
thay vào (1), ta được:
1
3 2 2
2
3
1
2 2 0 1 2 0 2
1
x
x x x x x x x
x
thỏa mãn 1 3
0
x x
Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
2. Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
Ta thực hiện các bước:
Bước 1: Thiết lập hệ thức Viét giữa các nghiệm của phương trình (I)
Bước 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I).
Chú ý: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình là biểu thức
có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị các nghiệm.
2
2
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 2
2
2
b ac
x x x x x x x x x x x x
a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 1 x x x
b
x x x x x x d
VD: Giả sử phương trình: 3 2
2 0
x x m
có ba nghiệm phân biệt
123
, ,
x x x
Tính tổng
2 2 2
1 2 3
xxx
Giải:
Theo giả thiết, ta có:
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
1
2
0
2
x x x
x x x x x x
m
x x x
Khi đó:
2
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1
1
2
4
x x x x x x x x x x x x
3. Tìm tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện K
Bài toán thường được giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ. Ta thực
hiện theo các bước sau:
Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm, khi đó ta có
được hệ thức Viét giữa các nghiệm (I)
Bước 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I)
điều kiện cho tham số.
Bước 3: Điều kiện đủ:
VD: Xác định m để phương trình : 3 2
3 3 3 2 0
x mx x m
Có ba nghiệm phân biệt
123
, ,
x x x
, thỏa mãn 2 2 2
1 2 3
15
x x x
Giải:
Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt
123
, ,
x x x
,khi đó:
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
3
3
3 2
x x x m
x x x x x x
x x x m
Khi đó:
2
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1
15 2 9 6
x x x x x x x x x x x x m
2
1 1
m m
Điều kiện đủ:
Viết lại phương trình về dạng
2
2
1
1 3 1 3 2 0
3 1 3 2
x
x x m x m g x x m x m
Ta phải chứng minh với
1
m
thì g(x) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức
là chứng minh:
2
0
9 6 9 0
1 0 0
gm m
gm
luôn đúng với
1
m
Vậy,
1
m
thỏa mãn điều kiện đầu bài
4. Phương trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số cộng
Để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình
3 2
0 0
ax bx cx d a
(1)
có ba nghiệm
123
, ,
x x x
lập thành cấp số cộng, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng, khi đó:
1 3 2
2
x x x
1 2 3 2 2
3
3
b b b
x x x x x
thay vào (1), ta được:
3 2
0
3 3 3
b b b
a b c d
a a a
3 2
2 9 27 0
b abc a d
(2)
Đó chính là điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng
Bước 2: Điều kiện đủ:
Từ (2) suy ra phương trình có nghiệm 2
3
b
x
a
.Khi đó:
1 2 3 1 3 1 3 2
2
2
b b b b
x x x x x x x x
a a a a
123
, ,
x x x
lập thành cấp số cộng
Vậy điều kiện cần và đủ để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng là
3 2
2 9 27 0
b abc a d
Chú ý: Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng
định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình. Hãy nhớ điều này rất
quan trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3
nghiệm phân biệt.
VD: Xác định m để phương trình
3 2
3 9 0
x x x m
(1)
có ba nghiệm lập thành cấp số cộng
Giải:
Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng, khi đó:
1 3 2
2
x x x
(*)
1 2 3 2 2
3 3 3 1
x x x x x
thay vào (1), ta được:
11 0 11
m m
Đó chính là điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng
Điều kiện đủ:
Với m = 11, ta được:
1
3 2 2
2
3
1 12
3 9 11 0 1 2 11 0 1
1 12
x
x x x x x x x
x
thỏa mãn (
*)
Vậy với m = 11 thỏa điều kiện đầu bài.
5. Phương trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số nhân
Để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình
3 2
0 0
ax bx cx d a
(1)
có ba nghiệm
123
, ,
x x x
lập thành cấp số nhân, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân, khi đó:
2
1 3 2
2
x x x
1 2 3
b
x x x
a
2
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 2
c c
x x x x x x x x x x x
a a
2 1 2 3 2
c c
x x x x x
a b
thay vào (1), ta được:
3 2
3 3
0
c c c
a b c d ac b d
b b b
(2)