c phí
ậ
ướ
i bài toán v n t
ng án ban
i: ộ
ươ
m+n-1, cũng có th có ô
ể
7.4. Thu t toán quy không c gi ậ ả ả B c 1: Thành l p m t ph ậ ướ đ u, s ô ch n là ầ ọ ố ch n không. ọ
ọ
ạ
B c 2: Quy không c ướ N u các ô lo i có c ướ ế ng án đang xét là ph ph ươ K t thúc thu t toán . Ng ậ ế c phí âm ta qua b có c
c phí các ô ch n . ướ c phí không âm thì i u. ng án t ố ư ươ i có ô lo i c l ạ ượ ạ c 3. ướ
ướ
ự
ươ
ng án m i nh ư ớ
B c 3: Xây d ng ph ướ đ nh lý 7. ị
c 2.
ướ
B c 4: Quay v b ề ướ Sau đây là các ví d và bài t p. ụ
ậ
i cho b i
ậ ả
ở
Ví d 1: Gi i bài toán v n t ả ụ b ng v n t i sau: ậ ả ả
30 40 50 60
j i
80 5 7
1 2
7 45 5
9 4
55 12 6
2 3
ng án ban
ậ
ộ
ươ
B c 1: Thành l p m t ph ướ đ u.ầ
30 40 50 60
j i
80 5 7
2
1 30
7 5 45
4 9
6 55 12
ớ ả
ấ
c phí th p nh t là ấ ể
ậ
ơ
i nh trên ta th y ô có c V i b ng v n t ấ ư ậ ả ướ c phí là 1. V y l ng hàng có th phân ô (1,1), ô này có c ậ ượ ướ ng hàng này là t n i phát 1 nhi u nh t vào ô này là 30. L ừ ơ ượ ấ ch đ n n i nh n 1. Ta xóa c t 1 đi. Lúc này n i nh n 1 đã ậ ơ ộ đ hàng và n i phát 1 ch còn 50 đ n v hàng.
ề ở ế ủ
ơ
ơ
ỉ
ị
2 3
40 50 60 30 30 40 50 60
j
i j i
80 5 7 80 5 7
1 30 2
1 30 2 50
5 7 45 7 5 45
4 9 9 4
55 12 6 55 12 6
2 3 2 3
30 40 50 60 30 40 50 60
j i j i
80 5 7
5 80 7 1 30 2 50
1 30 2 50 7 5 45
7 5 45 9 4
9 4
55 12 6
55 12 6
3 2 3
2 40
30 40 50 60 30 40 50 60
j i j i
80 5 80 5 7 7
1 30 1 30 2 50 2 50
7 5 7 5 45 45
9
4 4 35 9 10
6 12 12 55 55 6
2 40
ng
ng án mà s ô ch n là ố ươ
ộ
3 15 ươ
ự
2 3 40 15 Đây là m t ph ọ ộ 6=3+4-1=m+n-1. Và đây là m t ph án c c biên.
B c 2: Quy không c
c phí các ô ch n.
ướ
ọ
ọ
5 7
ướ 1 x
2 x
5 7
Các ô ch n là các ô có đánh d u x . ấ
4 x 9 x
12 6
ộ
ố j sao
Ta c ng vào dòng cho các ô ch n có c
ọ
Khi đó ta có h ph
i s rố i và c t j s s ộ c phí b ng 0. ằ ướ ng trình ệ ươ
2 x 3 x
=
1
5 7 (cid:0)
0 =
2
0
2 x (cid:0) 1 x
(cid:0)
=
4
0
s 1 s 4 s 3
=
9
0
7 5 (cid:0) (cid:0) 4 x 9 x (cid:0)
s 4
(cid:0)
=
2
s
0
2
12 6 (cid:0)
=
2 x 3 x (cid:0)
3
0
+ + r 1 + + r 1 + + r 2 + + r 2 + + r 3 + + r 3
s 3
ố
ệ
=
2,
0,
4
s
H này có vô s nghi m, tuy nhiên ta có ệ th ch n m t b nghi m là: ộ ộ = = = - = - 6, 7, s r 2 3
ể ọ = - s 1, 4
ệ = - 3, r 3
s 1
2
r 1
(cid:0) (cid:0)
5 7
r1=0
2 x
1 x
7 5
r2=-7
4 x 9 x
r3=-6
12 6
2 x 3 x
9 10
s2=4
s1=-1
s3=3
s4=-2
0 x 0 x
-3 4
0 x 0 x
5 -2
0 x 0 x
i u, vì
ng án này ch a t
ư ố ư
ự
ươ
ướ ổ
ng án m i. ỏ
ướ
ấ
ớ c phí âm nh nh t c m t chu ộ
ượ
ậ
ọ
ấ
ấ
x 10 9
ph Ch ng t ỏ ươ ứ c phí âm. còn ô có c ướ B c 3: Xây d ng ph B sung ô (2,1) có c vào t p các ô ch n E, ta đ trình V duy nh t (2,1); (2,4); (1,4); (1,1). (Đánh d u * ô (2,1)) 0 x
4
-3 * x 0 x
5 -2
0 x 0 x
ố ứ ự
ộ
ô (2,1). (S th t
Đánh s th t b t đ u t ắ ầ ừ
L
các ô thu c chu trình V, ố ứ ự { =
V
10 9
mgo c)ặ (3) x
C
0 (4) x
4
x
0 x (2) -3 * (1)
-2 5
0 x 0 x
} 50
=
10,
ẵ
x 24
x 11
ộ
=
ở =
=
trong } (2,1); (1, 4) , { } = V (2, 4); (1,1) L ng hàng ở ượ là ẻ các ô l { = = x x 0, 21 14 } = 30 các ô không thu c chu trình 15,
35
x 23
{ các ô ch n là ng hàng ượ x 40, 32
x 33
ở L là
C
=
=
{
}
} { min 10,30
10
x ij
= * * min j
x i
ớ
: ( , ) j i V � ijx(cid:0)
=
P. Án m i theo công th c ứ 0 10 10
l ) ố ứ ự ẻ
( Vì hai ô này có s th t
+
=
50 10 60 =
= 10 10 0,
x 24
x i
* * j =
- -
( Vì hai ô này có s ố ứ ự ẵ ch n) th t
= 30 10 20,
(cid:0) = + x 21 (cid:0) = x 14 (cid:0) = x 24 (cid:0) = x 11
x 11
x i
* * j
=
35,
=
40,
( Vì các ô này không thu c ộ chu trình).
=
15,
(cid:0) = x 23 (cid:0) = x 32 (cid:0) = x 33
x 23 x 32 x 33
- -
9 10 9 10
0 (4) x 30 (3) X 50 0 (4) x 20 (3) x 60
4 4
-3 * 10 x 35 -3 * (1) 35 x
0 x 0 10 x (2)
5 -2 5 -2
ừ
ề
ượ thì c ng thêm l
ng hàng đi u ượ
ứ ự ẻ
ng hàng ữ
ộ
ch n thì tr đi l Các ô có th t ứ ự ẵ l ch nh. Các ô có th t ỉ ộ đi u ch nh. Các ô không thu c chu trình thì gi ề ỉ nguyên.
0 x 40 0 x 15 0 x 40 0 x 15
ươ
ớ
ậ ố trên là c
c phí).
Ph b ng sau (các s nh ả
ng án m i là các s in đ m trong ỏ ở
ướ
ố
7 2 60 5
1 20
5 10 7 4 35 9
ộ
ươ c 2, quy không c
i b ạ ướ
ng án ban c ướ
B c 4: Xem đây là m t ph ướ đ u, ta quay l ầ phí các ô ch n. ọ
6 12 2 40 3 15
7 5
=0
r1
2 x
1 x
=-4
r2
7 9
5 x 4 x
12 6
=-3
r3
s1 s2 s3 s4 -2
0
-1
1
2 x 3 x
r1
5 7
=0
r2 =-4
2 x
1 x
7 9
=-3
r3
5 x
4 x
6 7
6 0 x
0 x
s1 s2 s3 s4 3 12 x -2 0 -1
4 3
t
2 x 1 0 x 0 x
1 8
t
Đ n đây ta th y t ấ ấ ế c các ô đ u có ề ả c phí không âm. c ướ ng án V y có ph ươ ậ i uố ư
0 x 0 x
ơ
ế
ậ ế
ừ
ơ ậ ế
ừ ơ ị
ướ
ơ
n i phát 1 phân đ n n i nh n Nghĩa là t ừ ơ n i phát 1 phân đ n 1 20 đ n v hàng, t ừ ơ ị ơ 60 đ n v hàng, t n i phát 2 n i nh n 4 ừ ơ ị ơ ậ ơ 10 đ n v hàng, t phân đ n n i nh n 1 ị ậ ơ ế 35 đ n v n i phát 2 phân đ n n i nh n 3 ị ơ ơ ế ơ hàng, t n i phát 3 phân đ n n i nh n 2 ậ ơ ừ ơ n i phát 2 phân đ n n i 40 đ n v hàng, t ơ ế ị ơ 15 đ n v hàng. C c phí ph i tr nh n 3 ả ả ậ là f=1.20+2.60+5.10+4.35+2.40+3.15=455. Đây là c
c phí nh nh t. ỏ
ướ
ấ
i cho b i
ậ ả
ở
Ví d 2: Gi i bài toán v n t ả ụ b ng v n t i sau: ậ ả ả
50 40 70
j i
80 5 12
5
20 7 9
11
60 4
2 3
50 40 70
j i
80 5
5 50 12 30
50 40 70 20 9 7
j i
11 20 80 5
12 60 4
5
2 40 3 20 20 9 7
11
60 4
2 3
ng án này có 5=3+3-1 ô ch n.
ọ c phí các ô ch n.
ươ ướ
ướ
ọ
Ph B c 2: Quy không c Các ô ch n là các ô có đánh d u x
ấ
ọ
r1
=0
5
5 x 12 x
9 7
r2
=1
11 x
4
r3
=9
s3
s1 -5
s2 -11
-12
2 x 3 x
-6
0 x 0 x
3 -1
Ch ng t ph ng ỏ ươ ứ i án này ch a t ư ố u, vì còn ô có ư c phí âm. c ướ
0 x
8
ự
ươ
ớ
c phí âm nh nh t vào t p các
ướ ổ
ng án m i. ỏ
ậ
ấ
c m t chu trình V duy nh t (1,2);
ướ ộ
ượ
ọ
ấ
B c 3: Xây d ng ph B sung ô (1,2) có c ô ch n E, ta đ (1,3); (3,3); (3,2). (Đánh d u * ô (1,2))
ấ
0 x 0 x
x
0 x (1) *
3 -1
0 x
8
(4) x 0 (3) x
