21
DUNG LƯỢNG VÀ DẠNG ĐẠI SỐ
CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ GIẢI TÍCH
Bành Đức Dũng
Trường Đại học Giao thông Vận tải tp.Hồ Chí Minh
Khái niệm ánh xạ đa trị giải tích lần đầu tiên được đưa ra bởi Oka vào năm
1934 khi tổng quát hóa một định lý của Hartogs. Sau đó, Nishino và Yamaguchi
đã đưa ra những phép chứng minh về các kết quả của Oka và mở rộng chúng.
Năm 1981, trong một hoàn cảnh khác, Slodkowski đã nghiên cứu các ánh xạ đa
trị giải tích và dùng các tính chất của chúng để giải quyết các vấn đề trong đại số
Banach và đại số đều, đồng thời ông cũng đưa ra một số đặc trưng mới cho các
ánh xạ đa trị giải tích và tổng quát hóa cho trường hợp nhiều chiều (xem [4]).
Trong bài viết này, kết quả đầu tiên mà chúng tôi muốn giới thiệu (định lý
3) là sự tổng quát hóa một định lý của Aupetit (xem [3]) về mối quan hệ giữa các
ánh xạ đa trị giải tích và dung lượng các ảnh của nó. Các ánh xạ đa trị hữu hạn có
dạng “đại số” (các ánh xạ mà ảnh của nó tại mỗi điểm là tập không điểm của một
đa thức với hệ số thích hợp) cũng giải tích và đã được sử dụng nhiều khi xét các
ánh xạ đa trị giải tích (trong trường hợp một biến phức, xem [1]). Một câu hỏi đặt
ra là, ngược lại, một ánh xạ đa trị giải tích hữu hạn có thể biểu diễn được dưới
dạng “đại số“ hay không và điều này có còn đúng cho trường hợp nhiều biến
không? Định lý 4 cho một câu trả lời khẳng định về vấn đề này.
Trước hết, chúng ta nhắc lại một vài kí hiệu cơ bản.
Cho X và Y là các không gian metric. Kí hiệu
22
P (Y) = {các tập con của Y},
Fc (Y) = {các tập con compact khác rỗng của Y},
Ff (Y) = {các tập con hữu hạn khác rỗng của Y}.
Một ánh xạ S : X P (Y) cũng được gọi là một ánh xạ đa trị.
Với A X, B Y, ta thường viết
S –1 (B) = {x X : S (x) B},
S (A) = {S (x) : x A},
(S) = { (x, y) X Y : y S (x)} ( còn được viết là S).
Định nghĩa 1: Anh xạ K: X Fc (Y) ®ược gọi là nửa liên tục trên nếu với
mọi U mở trong Y thì S -1 (U) mở trong X.
Định nghĩa 2: Cho G mở trong Cn và K: G Fc (Ck) là nửa liên tục trên. K
được gọi là giải tích nếu và chỉ nếu với mọi G’ mở trong G, với mọi hàm
đa
điều hòa dưới trên một lân cận của 'G
K
('G
K
là đồ thị của KG’), hàm
xác định
bởi
(
) = sup {
(
, z) : z K (
)}
là đa điều hòa dưới trên G’.
Giả sử G là một miền trong Cn, ta có các định lý sau đây.
Định lý 3. Cho K : G Fc (Ck) là đa trị giải tích. Khi đó
23
i) hoặc tập E = {
G : K (
) < } có 0)(
22
EC n;
ii) hoặc tồn tại một số nguyên r sao cho với mọi
G thì K (
) r và
tập E’ = {
G : K (
) < r} có 0)'(
22
EC n.
Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh cho trường hợp k = 1. Giả sử (i)
không xảy ra, nghĩa là tập
E = {
G : K (
) < } có 0)(
22
EC n.
Khi đó, tồn tại số nguyên r 1 sao cho
Er = {
G : K (
) r } có 0)(
22
rn EC .
Do đó, với mỗi
G thì K (
) r nên r (K (
)) = 0 trên Er và do đó,
log
r(K (
)) = - trên Er. Tương tự (trường hợp nhiều chiều) của định lí Cartan
(xem [1]), ta suy ra log
r(K (
)) = - trên G, nghĩa la K (
) r, với mọi
G.
Đặt r = sup { K (
) :
G }. Ta sẽ chứng minh r là số cần tìm. Thật vậy,
giả sử ngược lại rằng tồn tại một số r ’ r sao cho 0)( '22
rn EC với Er’ = {
G : K (
) r ’}. Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên, ta lại có K (
) r
’ với mọi
G. Điều này là mâu thuẫn với sup { K (
) :
G}. Như vậy,
trường hợp k = 1 đã được chứng minh.
Trong trường hợp k bất kì, ta vẫn giả sử rằng 0)(
22
EC n với E = {
G:
K (
) < }. Gọi i
là phép chiếu thứ i trên Ck. Khi đó, ánh xạ K i = K
i là
đa trị giải tích trên G, i = 1, 2, .., k. Mặt khác ta có
24
E = {
G : K (
) < }
= {
G : K i (
) < , i = 1, 2, .., k}.
Do đó 0)(
22
i
nEC với E i = {
G : K i (
) < }. Theo trên, định lý
đã đúng với k = 1 nên với mỗi i = 1, 2, .., k tồn tại số ri 1 sao cho K i (
) ri
với mọi
G và tập i
ri
E= {
G : K i (
) < ri } có 0)(
22
i
rn i
EC . Từ đó suy
ra
i
k
i
i
k
irK 11 ) (
với mọi
G.
Nhưng vì K (
) ) (
1
i
k
iK
với mọi
G, do đó, K (
) i
k
ir
1
với mọi
G. Bây giờ, đặt r = i
k
ir
1
, ta sẽ chứng minh rằng 0)'(
22
EC n với E’ = {
G :
K (
) < r}. Giả sử ngược lại 0)'(
22
EC n. Khi đó, ắt tồn tại một số r’ < r sao
cho 0)( '22
rn EC với Er’ = {
G : K (
) r’} và do đó, tồn tại ít nhất i, i
=1, 2, .., k, sao cho r ’ < ri và K (
) ri với mọi
G. Nhưng điều này là mâu
thuẫn với tập i
ri
E={
G : K i(
) < ri } có 0)(
22
i
rn i
EC , i = 1, 2, .., k.
Định lý được chứng minh.
Anh xạ đa trị K: G Fc (Ck) nếu nó là ánh xạ K : G Ff (Ck).
Định lý 4. Cho K: G Fc (Ck). Khi đo, K là giải tích hữu hạn nếu và chỉ
nếu nó có dạng
K (
) = {z Ck :
r
J
Ji
jniza
0,...,2,1,0)(
} với mọi
G,
25
trong đo r = sup { K (
) :
G}, )(
i
J
a là các hàm chỉnh hình không đồng
nhất bằng không trên G với mọi i = 1, 2,.., n; J = r.
Chứng minh. Giả sử K : G Fc (Ck) là giải tích hữu hạn. Theo định lý 3,
tồn tại số nguyên r 1 sao cho K (
) r với mọi
G và K (
) = r hầu hết
trừ ra một tập có (2n - 2) – dung lượng ngoài bằng không. Xét ánh xạ chiếu
: K Fc (Cn), (
, z)
.
Rõ ràng là một ánh xạ riêng chỉnh hình. Từ
-1(
) = {
} K (
)
với mọi
G, ta có thể đồng nhất K (
) với -1(
), nghĩa là ta có thể xem
( K(
)) =
. Hơn nữa, từ tính giải tích của K và tính Stein của G suy ra tồn tại
một ánh xạ chỉnh hình f từ một lân cận của K vào G sao cho
K(
) = { z G : f (
, z) = 0},
f và sai khác nhau một đẳng cấu chỉnh hình. Giả sử f (
, z) = (f 1(
, z), f 2(
, z),
.., f n (
, z)) thì f i (
, z) là các hàm chỉnh hình trong một lân cận của K, i = 1,
2, .., n. Khi đó trên G, fi khai triển f i (
, z) =
0
) (
J
Ji
J za
, trong đó ) (
i
J
a là
các hàm chỉnh hình trên G. Từ K(
) = { z G : f(
, z) = 0} r, với mọi
G
ta có f i (
, z) =
r
J
Ji
J za
0
) (
, i = 1, 2, .., n. Cũng do K (
) = r hầu hết nên hiển
nhiên các ) (
i
J
a không đồng nhất bằng không với mọi i = 1, 2, .., n. Bởi vậy ta
có