Đồng dư và các định lý đồng dư: Báo cáo tiểu luận môn Số học và logic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN-TIN HỌC

BÁO CÁO TIỂU LUẬN

MÔN HỌC: SỐ HỌC VÀ LOGIC

ĐỀ TÀI: ĐỒNG DƯ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐỒNG DƯ

Họ và tên sinh viên:

Đỗ Thị Thu Hiền 1311106

Bùi Thị Yến Duyên 1311046

Trần Thị Ngọc Cẩm 1311026

Lê Thị Hiền Diệu 1311038

Khóa học: 2015-2016

Giảng viên phụ trách: Trần Nam Dũng

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-NĂM 2015

I. CƠ SỞ KHOA HỌC

1. Cơ sở lý luận.

Lý thuyết đồng dư được xây dựng trên nền tảng là phép chia trên vành số nguyên. Là một

nội dung được suy luận một cách lôgic, chặt chẽ.

2. Cơ sở thực tiễn

Lý thuyết đồng dư sẽ cho ta phương pháp đồng dư, đố là một động tác có tính chất kỷ

thuật giúp chúng ta bổ sung giải quyết vấn đề chia hết trong vành số nguyên.

II. NỘI DUNG

1. Đồng dư

1.1. Định nghĩa và tính chất

1.1.1 Định nghĩa

Cho m ∈ ℤ, m >1 ta nói a và b đồng dư theo môđun m và viết a ≡ b (mod m) nếu a và b

có cùng số dư khi chia cho m hay nói cách khác a – b ⋮ m

Ta có : a ≡ b (mod m)  a – b ⋮ m

Ví dụ: 19  3 (mod 8); -25  3 (mod 4)











n 

Chứng minh: Giả sử chia a và b cho n và thu được các thương nguyên và phần dư. Các

nq 1

r 1

rnq 2

r 1



mod



n 

phần dư nằm giữa 0 và n – 1, nghĩa là và . Trong đó và

r 2

r  1

r 2



mod

mod 

mod

. Khi đó có thể dễ dàng thấy rằng khi và chỉ khi . Như vậy:

khi và chỉ khi .

1.1.2 Tính chất cơ bản của đồng dư

Tính chất 1:

a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m)

Thì a+c ≡ b+d (mod m)

a.c ≡ b.d (mod m)

≡

Chứng minh: + Từ giả thuyết ta có a = mt + b và c= d+ ms, suy ra a+c = b+d + (t+s).m

điều này có nghĩa là a+c ≡ b+d (mod m)

+ Từ giả thuyết ta có a = mt + b và c= d+ ms, suy ra a.c = b.d +

(bs+td+mts). n điều này có nghĩa là a.c ≡ b.d (mod m)

Tính chất 2:

a. c ≡ b. d (a, m) = 1

Thì b ≡ c (mod m)

Tính chất 3:

Xét ℤ và quan hệ ≡ trên ℤ, ≡ là một quan hệ tương đương

i. Phản xạ : a ≡ a (mod m)

ii. Đối xứng a≡ b => b ≡ a

iii. Bắc cầu a≡ b, b≡ c => a ≡ c

2. Hệ thặng dư đầy đủ

Một họ gồm m đại diện lấy từ m lớp thặng dư được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ module

2.1 Định nghĩa : , , … là hệ thặng dư đầy đủ mod m

 ∀ ∈ ℤ, ∃! ∈ {1,2, … , }, ≡ (mod m)

Ví dụ: {-4, 5, 10, 15} là một hệ thặng dư đầy đủ theo modul 4.

Ví dụ: {0, 1, 2, 3, 4} là một hệ thặng dư đầy đủ không âm bé nhất modul 5.

Ta có nhận xét: Một tập hợp m số (m > 1) đôi một không đồng dư theo modul m lập thành

một hệ thặng dư đầy đủ theo modul m.

2.2 Tiêu chuẩn : hệ thặng dư đầy đủ

 ó ℎầ ử ℎ ℎầ ử ấ ì ℎô đồ ư

2.3 Tính chất

Nếu {, , … , } là HTDĐĐ module m thì

+ { + , + , … , + } là một hệ thặng dư đầy đủ mô-đun m với mọi số

nguyên b

+ (a,m)=1

là một hệ thặng dư đầy đủ mô-đun m với mọi số {, , … , }

nguyên a nguyên tố cùng nhau

3. Các định lý đồng dư

3.1 Định lý Wilson

Với p ∈ Ν ∗, p>1, p là số nguyên tố (p-1) ! +1 ⋮ p

(p là hợp số thì (p-1) ! +1 không chia hết cho p)

Ví dụ:

p = 17

1 ≡ 1 (mod 17)

16 ≡ -1 (mod 17)

2.9 ≡ 1 (mod 17)

3.6 ≡ 1 (mod 17)

4.13 ≡ 1 (mod 17)

5.7 ≡ 1 (mod 17)

8.15 ≡ 1 (mod 17)

10.12 ≡ 1 (mod 17)

11.14 ≡ 1 (mod 17)

Ta có 16 ! ≡ (- 1).17

 16 ! + 1 ⋮ 17

3.2 Định lý Fermat

- Định lý Fermat 1

Cho p là một số tự nhiên khác và a là một số nguyên không chia hết cho m.

Khi ấy ta có:

ap - 1  1 (mod p)

- Định lý Fermat 2

Cho p là một số nguyên tố, a là một số nguyên bât kỳ.

Khi ấy ta có:

ap - 1  a (mod p)

-Định lý fermat nhỏ:

p ∈ ℘ a ∈ ℤ

 a p –a ⋮ p

(a,p) =1 ap-1 ≡ 1 (mod p)

!( )!

⋮ với 1≤ ≤ − 1 Bổ đề :

Ví dụ 1: Tìm 32012 mod 7

Giải: lấy 2012 chia cho 6, ta có: 2012=6.335+2 vậy thì

5 ≡ 0

32012 = 36.335 + 2 = (36)335.32 =

5 + ... + a5

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu a1 + a2 + a3 + a4 + a5 ≡ 0 (mod 5) thì a1

(mod 5)

Giải: 5 là số nguyên tố Þ theo định lý Fermat nhỏ:

≡ ( 5); = 1,5

≡ ( 5) ≡ 0 ( 5)

⇒

Ví dụ 3: Chứng minh rằng = 1 + 2 + ⋯ + 11 không chia hết cho 11

Giải: Với mọi = 1,2, … ,10 ℎì (, 10) = 1. Do đó theo định lý Fermat nhỏ thì ≡

1 ( 11) ⇒ ≡ 1 ( 11) với mọi = 1,2, … ,10 à 11 ≡ 0 ( 11). Như

vậy

≡ 1 + 1 + ⋯ + 1 + 0 ( 11)

10 số 1

≡ 10 ( 11) ⇒ ℎô ℎ ℎế ℎ 11

3.3 Định lý Euler

Cho m là một số tự nhiên khác 0 và a là một số nguyên tố với m.

Khi ấy ta có: () ≡ 1 (mod m)

Ví dụ 1: Tìm số dư trong phép chia 109345 chia cho 14

Giải:

Ta có: 109  -3 (mod 14)

=> 109345  (-3)345 (mod 14)

1.(14



1)(



)



Ta lại có: ( -3; 14 ) = 1

1 2

1 7

Hơn nữa: µ(14) =

Nên: (-3)6  1 (mod 14) (theo đ ịnh l ý Ơle)

=> (-3)345  (-3)3 (mod 14)

Mặt khác: (-3)3 = -27  1 (mod 14)

n

Vậy số dư trong phép chia 109345 chia cho 14 là 1

2 

113

1(10



1)(



)

Ví dụ 2: Chứng minh với n là số tự nhiên

1 2

1 5

Giải: Ta có: µ(11) = 10; µ(10) = = 4.

Áp dụng ĐL Eucler ta có: (3; 10) = 1 => µ(10)  1 (mod 10)

<=> 34  1 (mod 10) => 34n + 1  3 (mod 10)

 1

.10

 1

Đặt 34n + 1 = 10.k + 3 với k  N.

2 

23 

3

Khi đó ta có:

µ(11)

Áp dụng định lý Eucler ta có: (2; 11) = 1

Nên  1 (mod 11)

<=> 210  1 (mod 11) => 210.k +3  23 (mod 11)

n 1

2 

3

 0 (mod 11)

n

=> 210.k +3 + 3  23 +3 (mod 11) <=>

2 

113

Vậy

Ví dụ 3: Tìm 2 chữ số tận cùng của 20092010

Giải: Ta có: 20092010  92010 (mod 100)

µ(100)

100

1.(



1)(



)



Áp dụng định lý Eucler ta có: (9; 100) =1

 1 (mod 100). Mà µ(100) =

1 2

1 5

Nên:

Hay: 940  1 (mod 100) => 92010  910 (mod 100)

Mà 910 = 3486784401  1 (mod 100).

,...,

3.4 Định lý Trung hoa về số dư

m m , 1 2

m n

Cho n số nguyên dương số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau.

(mod

)

m i

a i

 x   i 1,



Khi đó hệ đồng dư tuyến tính

M m m m 1 n

2...

có nghiệm duy nhất mođun .

4. Ứng dụng

4.1. Tìm số dư trong phép chia

Ví dụ1 : Tìm số dư trong phép chia: 29455 – 3 chia cho 9

Giải: Ta có: 2945  2 (mod 9)

=> 29455 – 3  25 – 3 (mod 9)

Mà 25 – 3  2 (mod 9)

Vậy số dư của 29455 – 3 chia cho 9 là 2

Ví dụ 2:Tìm số dư trong phép chia: (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111

Giải: Ta có: 1998  0 (mod 111)

=> 1997  -1 (mod 111) và 1999  1 (mod 111)

Nên ta có: 19971998 + 19981999 +19992000  2 (mod 111)

(19971998 + 19981999 +19992000 )10  210 (mod 111)

Mặt khác ta có: 210 = 1024  25 (mod 111)

Vậy (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111 có số dư là 25

Ví dụ 3: Chứng minh 62n + 1 + 5n + 2 chia hết cho 31 với mọi n là số tự nhiên

Giải:

Ta có: 62  5 (mod 31) => 62n  5n (mod 31)

Mặt khác: 6  - 52 (mod 31)

Nên: 62n + 1  -5n + 2 (mod 31)

Vậy 62n + 1 + 5n + 2 chia hết cho 31.

4.2. Chứng minh chia hết

Ví dụ 1: Chứng minh: 3100 – 3 chia hết cho 13

Giải.

Ta có: 33 = 27  1 (mod 13)

=> 3100 = 3.399  3.1 (mod 13)

=> 3100- 3  0 (mod 13). Vậy 3100-3 chia hết cho 13

4.3. Tìm chữ số tận cùng

Ví dụ 1: tìm 2 chữ số tận cùng của 19 2015

Ta có 19 ≡ 19 (mod 100)

19 2 ≡ 61 (mod 100)

193 ≡ 21 (mod 100)

…

1920 ≡ 01 (mod 100)

192015 =(1920)100. 1915 = 1915 (mod 100)

Vậy 2 chữ số tận cùng là 99

5. Một số bài tập

5.1. Tìm số dư trong các phép chia:

a) 6635 chia cho 11

b) 171999 chia cho 6

c) 270 + 370 chia cho 13.

d) 53999 chia cho 17.

5.2. Tìm 2 chữ số tận cùng bên phải của các số sau trong hệ thập phân:

a) 21999

b) 999

c) 262000

d) 72003

5.3 (IMO 1989) : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n bất kì, luôn tồn tại n số

nguyên dương liên tiếp mà trong đó không có số nào là lũy thừa của một số nguyên tố.

5.4. Cho m, n là 2 số tự nhiên lớn hơn 1 và (m,n) = 1.

Chứng minh: mj(n) + nj(m) ≡ 1 (mod mn)

5.5. Chứng minh: 12000 + 22000 + 32000 + ... + 102000 ≡ -1 (mod 11)

5.6. Cho (a,m) = 1 và a, b là 2 số tự nhiên sao cho a º b (mod j(m)) với j(m): hàm

Euler. Chứng minh: aa º ab (mod m).

5.7. Cho p nguyên tố. Chứng minh: [(p!)2 - p2] ⋮ p3.

5.8. Cho ∈ ; ≥ 5. Chứng minh rằng nếu n+2 nguyên tố thì (n!-1) là hợp số. 5.9. Tìm các số nguyên tố p, q thỏa mãn (7p−5p)(7q−5q) chia hết cho pq. 5.10. Tìm các số nguyên tố p, q thỏa mãn 2p+2q chia hết cho pq.

5.11. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: Với mọi cặp số nguyên a, b thỏa mãn a2b+1 chia hết cho n ta luôn có a2+b chia hết cho n 5.12. Cho số nguyên tố lẻ p và các số nguyên dương a, b, n thỏa mãn (a, p)=1 và ap ≡ bp (mod pn+1) Chứng minh rằng: a ≡ b (mod pn)

Bài tập về định lý số dư Trung hoa

n k 

1.Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k sao cho là hợp số với mọi số nguyên

dương n.

(





2. Cho hai số nguyên dương p, q nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại số



nguyên k sao cho là hợp số với mọi số nguyên dương n.

,...,

  p p 2 1