BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
............***............
NGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN
CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP
NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN
KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ
KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 9 46 01 12
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2018
Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công
nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TS. Nguyễn Bường
Người hướng dẫn khoa học 2: PGS. TS. Đỗ Văn Lưu
Phản biện 1: ......
Phản biện 2: ......
Phản biện 3: ......
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại
Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam vào hồi .... giờ ...’, ngày .... tháng .... năm 2018
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
Mở đầu
Nhiều vấn đề trong trong khoa học, công nghệ, kinh tế và sinh thái như
quá trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn trong
địa chất công trình, đo sâu bằng âm thanh trong xấp xỉ sóng, bài toán
quy hoạch tuyến tính dẫn đến việc giải các bài toán dạng phương trình
toán tử sau (A. Bakushinsky và A. Goncharsky, 1994; F. Natterer, 2001;
F. Natterer và F. W¨ubbeling, 2001):
A(x) = f, (0.1)
trong đó Alà một toán tử (ánh xạ) từ không gian mêtric Evào không
gian mêtric e
Evà f∈e
E. Tuy nhiên, tồn tại một lớp bài toán trong số các
bài toán này mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu,
tức là một thay đổi nhỏ của các dữ kiện có thể dẫn đến sự sai khác rất
lớn của nghiệm. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh. Vì vậy,
yêu cầu đặt ra là phải có những phương pháp giải các bài toán đặt không
chỉnh sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được
càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Nếu e
Elà không gian
Banach với chuẩn k.kthì trong một số trường hợp của ánh xạ A, bài toán
(0.1) có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn
Tikhonov:
Fδ
α(x) = kA(x)−fδk2+αkx−x+k2,(0.2)
cùng với việc chọn tham số hiệu chỉnh α=α(δ)>0thích hợp, ở đây fδ
là xấp xỉ của fthỏa mãn kfδ−fk ≤ δց0và x+là phần tử được chọn
trong Enhằm giúp cho ta tìm một nghiệm của (0.1) theo ý muốn. Nếu
Alà một ánh xạ phi tuyến thì phiếm hàm Fδ
α(x)nói chung là không lồi.
Do đó, không thể áp dụng những kết quả đã đạt được trong việc cực tiểu
phiếm hàm lồi để tìm thành phần cực tiểu của Fδ
α(x). Vì vậy, để giải bài
toán (0.1) với Alà một ánh xạ phi tuyến đơn điệu, người ta đã đưa ra
một dạng mới của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, có tên là phương
2
pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Năm 1975, Ya.I. Alber đã xây dựng
phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov để giải bài toán (0.1) khi Alà
ánh xạ phi tuyến đơn điệu như sau:
A(x) + αJs(x−x+) = fδ.(0.3)
Ta thấy, trong trường hợp Ekhông phải là không gian Hilbert thì Js
là ánh xạ phi tuyến và do đó, (0.3) là bài toán phi tuyến, ngay cả khi
Alà ánh xạ tuyến tính. Đây là lớp bài toán khó giải trong thực tế. Hơn
nữa, một vài thông tin của nghiệm chính xác, ví dụ như độ trơn, có thể
sẽ không được giữ nguyên trong nghiệm hiệu chỉnh vì ánh xạ Jsxác định
trên toàn không gian nên ta không thể biết được nghiệm hiệu chỉnh nằm
đâu trong E. Vì vậy, vào năm 1991, Ng. Bường đã thay ánh xạ Jsbằng
ánh xạ tuyến tính và đơn điệu mạnh Bđể đưa ra phương pháp:
A(x) + αB(x−x+) = fδ.(0.4)
Trường hợp E≡Hlà không gian Hilbert thì phương pháp (0.3) có dạng
đơn giản nhất với s= 2. Khi đó, phương pháp (0.3) trở thành:
A(x) + α(x−x+) = fδ.(0.5)
Năm 2006, Ya.I. Alber và I.P. Ryazantseva đã đưa ra sự hội tụ của
phương pháp (0.5) khi Alà một ánh xạ J-đơn điệu trong không gian
Banach Edưới điều kiện ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Jcủa Eliên tục yếu
theo dãy. Rất tiếc là lớp không gian Banach vô hạn chiều có ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy là quá nhỏ (chỉ có không gian lp).
Năm 2013, Ng. Bường và Ng.T.H. Phương đã chứng minh được sự hội tụ
của phương pháp (0.5) mà không đòi hỏi tính liên tục yếu theo dãy của
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J. Tuy nhiên, ta thấy, nếu Alà ánh xạ phi
tuyến thì (0.3), (0.4) và (0.5) là các bài toán phi tuyến. Chính vì lí do đó,
một phương pháp ổn định khác để giải bài toán (0.1), có tên là phương
pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich đã được quan tâm nghiên cứu.
Phương pháp này được đề xuất bởi A.B. Bakushinskii vào năm 1976 để
giải bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ phi tuyến đơn điệu. Đây
là phương pháp hiệu chỉnh được xây dựng dựa trên phương pháp nổi tiếng
trong giải tích số là phương pháp Newton-Kantorovich. Năm 1987, dựa
trên cơ sở phương pháp của A.B. Bakushinskii, để tìm nghiệm của bài
3
toán (0.1) trong trường hợp Alà ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach
Evào không gian đối ngẫu E∗, I.P. Ryazantseva đã đưa ra phương pháp
hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich:
A(zn) + A′(zn)(zn+1 −zn) + αnJs(zn+1) = fδn.(0.6)
Tuy nhiên, do phương pháp (0.6) sử dụng ánh xạ đối ngẫu Jslàm thành
phần hiệu chỉnh nên nó có những hạn chế giống như phương pháp hiệu
chỉnh Browder-Tikhonov (0.3). Trường hợp Alà ánh xạ J-đơn điệu trên
không gian Banach E, để tìm nghiệm của bài toán (0.1), cũng dựa trên
tư tưởng của phương pháp của A.B. Bakushinskii, năm 2005, Ng. Bường
và V.Q. Hùng đã nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp
Newton-Kantorovich:
A(zn) + A′(zn)(zn+1 −zn) + αn(zn+1 −x+) = fδ,(0.7)
dưới các điều kiện
kA(x)−A(x∗)−J∗A′(x∗)∗J(x−x∗)k ≤ τkA(x)−A(x∗)k,∀x∈E
(0.8)
và
A′(x∗)v=x+−x∗,(0.9)
ở đây τ > 0,x∗là nghiệm của bài toán (0.1), A′(x∗)là đạo hàm Fréchet
của ánh xạ Atại x∗,J∗là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E∗và vlà phần
tử nào đó trong E. Ta thấy, các điều kiện (0.8) và (0.9) sử dụng đạo hàm
Fréchet của ánh xạ Atại nghiệm chưa biết x∗nên chúng là hết sức chặt
chẽ. Năm 2007, A.B. Bakushinskii và A. Smirnova đã chứng minh sự hội
tụ của phương pháp (0.7) đến nghiệm của bài toán (0.1) khi Alà ánh xạ
đơn điệu từ không gian Hilbert Hvào H(trong không gian Hilbert, khái
niệm J-đơn điệu trùng với khái niệm đơn điệu) dưới điều kiện là
kA′(x)k ≤ 1,kA′(x)−A′(y)k ≤ Lkx−yk,∀x, y ∈H, L > 0.(0.10)
Nội dung thứ nhất của luận án này trình bày các kết quả mới về phương
pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với
toán tử loại đơn điệu (đơn điệu và J-đơn điệu) trong không gian Banach
mà chúng tôi đạt được, trong đó đã khắc phục được các hạn chế của các
kết quả đã nêu ở trên.