Bài tiểu luận: Các công thức tích phân Cauchy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC

ĐỀ TÀI

CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY

ĐẮK LẮK, NĂM 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC

ĐỀ TÀI

CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS. THÁI THUẦN QUANG

ĐẮK LẮK, NĂM 2016

DANH SÁCH HỌC VIÊN THỰC HIỆN

Lê Hồ Quang Minh

1q Huỳnh Đậu Mai Phương 2q Đinh Như Mạnh Hùng 3q Hoàng Văn Phung 4q Nguyễn Hồng Quân 5q Mai Đức Chung 6q 7q Bùi Nguyễn Luân 8q Trần Kông Long 9q Vi Ánh Mừng

MỤC LỤC

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iii

Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 2

2 Các công thức tích phân Cauchy 5

Kết Luận 11

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

: Tập hợp các số tự nhiên N (cid:16) t1, 2, . . .u N : Tập hợp các số N0 (cid:16) N Y t0u N0 E(cid:6) : Đối ngẫu đại số của E E1 : Đối ngẫu topo của E : Không gian E1 với topo compact mở E1 co : Hình cầu mở tâm a bán kính r Bpa, rq : Hình cầu đóng tâm a bán kính r Bpa, rq : Không gian Banach các dãy số phức khả tổng tuyệt đối l1 : Không gian Banach các dãy số phức hội tụ về không c0 c(cid:0) : Tập các dãy số thực dương hội tụ về không 0 : Phần trong của U intU : Bao đóng của U U : Không gian Banach sinh bởi K (cid:128) X XK PpE, F q : Không gian các đa thức từ E vào F HbpE, F q : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập

bị chặn của E giá trị trong F

: Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị vô hướng

H pUq H pU, F q : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị trong F NpNq

iii

: Tập các đa chỉ số : Trang tr.

Mở đầu

Trong tiểu luận này chúng ta sẽ được biết cách xây dựng công thức tích

phân Cauchy và một số hệ quả của nó.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số kết quả cần thiết, liên quan

đến nội dung chính của tiểu luận.

Định nghĩa 1.0.1. Giả sử E, F là các không gian Banach còn m P N. Ánh xạ A : Em (cid:209) F gọi là m- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến. Nghĩa là với mọi a (cid:16) pa1, a2, ..., amq P Em và mọi 1 ⁄ j ⁄ m, các ánh xạ

Ej Q xj (cid:209) Apa1, ..., aj(cid:1)1, xj, aj(cid:0)1, ..., amq

là tuyến tính.

Kí hiệu: LapmE, F q và LpmE, F q lần lượt là các không gian vectơ các ánh xạ m- tuyến tính và m- tuyến tính liên tục từ Em vào F tương ứng. Với A P LapmE, F q, xác định

}A} (cid:16) sup }Apx1, ..., xmq} : xj P E, }xj} ⁄ 1, 1 ⁄ j ⁄ m

và gọi là chuẩn (suy rộng) của A. Khi m (cid:16) 1, ta viết Lap1E, F q (cid:16) LapE, F q và Lp1E, F q (cid:16) LpE, F q. Khi F (cid:16) K viết LapmE, Kq (cid:16) LapmEq và LpmE, Kq (cid:16) LpmEq. Cuối cùng khi m (cid:16) 1, sẽ viết như thông thường LapEq (cid:16) E#, LpEq (cid:16) E(cid:6).

Định nghĩa 1.0.2. Ánh xạ P : E (cid:209) F gọi là đa thức m-thuần nhất (thuần nhất bậc m)nếu tồn tại A P LapmE, F q sao cho

P pxq (cid:16) Axm @x P E

Kí hiệu: PapmE, F q không gian vec tơ các đa thức m- thuần nhất từ E tới F và PpmE, F q là không gian con gồm các đa thức m- thuần nhất liên tục

của PapmE, F q. Đối với mỗi P P PapmE, F q, đặt

}P } (cid:16) sup }P pxq} : x P E, }x} ⁄ 1

và gọi là chuẩn ( suy rộng) của P . Khi F (cid:16) K ta viết PapmE, Kq (cid:16) PapmEq và PpmE, Kq (cid:16) PpmEq.

Định nghĩa 1.0.3. Chuỗi lũy thừa từ E tới F tại điểm a P E là chuỗi có

dạng Pmpx (cid:1) aq, ở đây Pm P PapmE, F q với mọi m P N0.

(cid:176)m(cid:16)0

Chú ý rằng chuỗi lũy thừa Pmpx (cid:1) aq có thể viết như Ampx (cid:1) aqm, ở

(cid:176)m(cid:16)0

apmE, F q,

đây Am P Ls Am (cid:16) Pm.

p

Định nghĩa 1.0.4. Giả sử U là tập mở trong E. Ánh xạ f : U (cid:209) F gọi là chỉnh hình hay giải tích nếu với mọi a P U tồn tại trong hình cầu Bpa, rq (cid:128) U và một dãy các đa thức Pm P PpmE, F q sao cho

f pxq (cid:16) Pmpx (cid:1) aq

‚m(cid:16)0

hội tụ đều với x P Bpa, rq.

Kí hiệu: HpU, F q là không gian véc tơ các ánh xạ chỉnh hình từ U vào F . Khi F (cid:16) C ta viết HpU, Cq (cid:16) HpUq. Dãy pPmq trong định nghĩa là được xác định duy nhất bởi f và a, ta kí hiệu Pm (cid:16) P mf paq với mọi m P N0. Chuỗi 8 P mf paqpx(cid:1)aq như thông thường gọi là chuỗi Taylor của f tại a. Ta kí hiệu

(cid:176)m(cid:16)0 Amf paq là phần tử duy nhất thuộc LspmE, F q thỏa mãn

Amf paq (cid:16) P mf paq.

{

8 m(cid:16)0 Pmpx(cid:1)

(cid:176)

Định lí 1.0.5. Cho R là một bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa aq. khi đó:

1 m

(a) R xác định bởi công thức Cauchy- Hadamard

sup }Pm}

(cid:16) lim m(cid:209)8

1 R

(b) Chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên ¯Bpa; rq khi 0 ⁄ r (cid:160) R.

m(cid:16)0 là một dãy trong F . Nếu có r ¡ 0 thỏa mản

m(cid:16)0 cmλm (cid:16) 0 với mọi λ P K với |λ| ⁄ r thì cm (cid:16) 0 với mọi m P N0

Bổ đề 1.0.6. Cho pcmq8

(cid:176)

8 m(cid:16)0 Pmpxq (cid:16)

(cid:176)

m(cid:16)0 Amxm là một chuỗi lũy thừa từ E Mệnh đề 1.0.7. Cho (cid:176) vào F với bán kính hội tụ R ¡ 0. Lấy e1, . . . , en P E với }e1} (cid:16) . . . (cid:16) }en} (cid:16) 1, tập hợp

1 . . . eαn n

Ameα1 cα (cid:16) m! α!

0 với |α| (cid:16) m. khi đó ta có

với mỗi α (cid:16) pα1, . . . , αnq P Nn

1 . . . ξαn n

Pmpξ1e1 (cid:0) . . . (cid:0) ξnenq (cid:16) cαξα1

‚m(cid:16)0

‚α

0 . Nếu có n hội tụ tuyệt đối tại không khi |λ1| ⁄

α cαλα1

mỗi khi |ξ1| (cid:0) . . . (cid:0) |ξn| (cid:160) R{e. Cả hai chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều với |ξ1| (cid:0) . . . (cid:0) |ξn| ⁄ r khi 0 ⁄ r (cid:160) R{e

(cid:176)

Bổ đề 1.0.8. Cho Cα P F cho mổi bộ α (cid:16) pα1, . . . , αnq P Nn 1 . . . λαn r ¡ 0 thỏa mản chuỗi r, . . . , |λn| (cid:160) r, thì cα (cid:16) 0 vơi mọi α Mệnh đề 1.0.9. P pE; F q (cid:128) H pE; F q

Mệnh đề 1.0.10. Cho pfmq là một dãy trong E1 hội tụ đến không. nếu chúng ta đặt

f pxq (cid:16)

pϕmpxqqm với mọi x P E

‚m(cid:16)0

thì f P H pEq

Mệnh đề 1.0.11. Cho U là một tập con mở của E và a P E. Với mổi f P H pU ; F q cho fa : U (cid:1) a (cid:209) F được định nghĩa bằng faptq (cid:16) f pa (cid:0) tq với mọi t P U (cid:1) a ta có:

fa P H pU (cid:1) a; F q và P mfaptq (cid:16) P mf pa (cid:0) tq với mọi t P U (cid:1) a và

(a) m P N0 (b) ánh xạ f (cid:209) fa là một vectơ không gian đẳng cấu giữa H pU ; F q và

pU (cid:1) a; F q

Hệ quả 1.0.12. Cho µ là một độ đo Borel hữu hạn trên một không gian Hausdorff compact X. Cho pfnq là một dãy ánh xạ liên tục từ X vào Y mà hội tụ đều trên X đến một ánh xạ f . Khi đó f liên tục và

n(cid:209)8 »A

f dµ (cid:16) lim fndµ

»A

với mổi A P

(cid:176)

Chương 2

Các công thức tích phân Cauchy

Định lí 2.0.13. Cho U là tập con mở của E, f P H pU, F q, a P U, t P E và r ¡ 0 sao cho a (cid:0) ζt P U với mọi ζ P ¯(cid:52)p0, rq khi đó, với mổi λ P (cid:52)p0; rq ta có công thức tích phân Cauchy

dζ f pa (cid:0) λtq (cid:16) f pa (cid:0) ζtq ζ (cid:1) λ

1 2πi »|ζ|(cid:16)r Chứng minh. Nếu ψ P F 1 thì hàm gpζq (cid:16) ψ(cid:5)f pa (cid:0) ζtq là hàm chỉnh hình trên một lân cận của đỉa đóng ¯(cid:52)p0; rq. Bằng công thức tích phân Cauchy đối với hàm chỉnh hình một biến phức ta có:

ψ (cid:5) f pa (cid:0) λtq (cid:16) gpλq

dζ

(cid:16)

dζ

(cid:16)

gpζq ζ (cid:1) λ ψ (cid:5) f pa (cid:0) ζtq ζ (cid:1) λ 1 2πi »|ζ|(cid:16)r 1 2πi »|ζ|(cid:16)r

với mổi λ P (cid:52)p0; rq. Vì F 1 tách điểm của F đòi hỏi kết luận sau

Hệ quả 2.0.14. Cho U là một tập con mở của E, và cho f P H pU ; F q. Cho a P U, t P E và r ¡ 0 sao cho a (cid:0) ζt P U với mọi ζ P ¯(cid:52)p0; rq. Với mỗi λ P (cid:52)p0; rq ta có khai triển chuổi dạng

f pa (cid:0) λtq (cid:16) cmλm

‚m(cid:16)0

Ở đây

dζ cm (cid:16) f pa (cid:0) λtq ζ m(cid:0)1 1 2πi »|ζ|(cid:16)r

Chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều với |λ| ⁄ S (cid:160) r

Chứng minh. Với |λ| (cid:160) |ζ| (cid:16) r ta có

(cid:16)

f pa(cid:0)ζtq ζ ζ(cid:1)λ ζ

λm f pa (cid:0) ζtq ζ m(cid:0)1 f pa (cid:0) ζtq ζ (cid:1) λ

‚m(cid:16)0

và vì f là bị chặn trên ta (cid:0) ζt : |ζ| (cid:16) ru, chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều đối với |ζ| (cid:16) r và |λ| ⁄ s (cid:160) r. Bằng hệ quả (1.0.12) ta có thể tích phân từng số hạng để nhận được:

λm dζ dζ (cid:16) f pa (cid:0) ζtq ζ m(cid:0)1 f pa (cid:0) ζtq ζ (cid:1) λ

»|ζ|(cid:16)r

‚m(cid:16)0

Chuỗi cuối cùng hội tụ tuyệt đối và đều đối với |λ| ⁄ s. Áp dụng định lí (2.0.13) ta có điều phải chứng minh.

Hệ quả 2.0.15. Cho U là tập con mở của E, f P H pU ; F q, a P U, t P E và r ¡ 0 sao cho a (cid:0) ζt P U với mọi ζ P ¯(cid:52)p0; rq. Khi đó với mỗi m P N0 ta có công thức tích phân Cauchy:

dζ P mf paqptq (cid:16) f pa (cid:0) ζtq ζ m(cid:0)1 1 2πi »|ζ|(cid:16)r

Chứng minh. Vì f là chỉnh hình ta có khai triển chuổi dạng

λmP mf paqptq P mf paqpλtq (cid:16) f pa (cid:0) λtq (cid:16)

‚m(cid:16)0

với |λ| ⁄ (cid:15), (cid:15) ¡ 0 đủ nhỏ. Bằng cách so sánh khai triển chuỗi này với khai triển chuỗi có được từ hệ quả (2.0.14) và áp dụng bổ đề (1.0.6) có bất đẳng thức Cauchy.

Hệ quả 2.0.16. Cho L là tập con mở của E, f P H pU ; F q, a P U, t P E và r ¡ 0 sao cho a (cid:0) ζt P U với mọi ζ P ¯(cid:52)p0; rq. Khi đó với mỗi m P N0 ta có bất đẳng thức Cauchy:

}f pa (cid:0) ζtq}

}P mf paqptq} ⁄ r(cid:1)m sup |ζ|(cid:16)r

Hệ quả 2.0.17. Nếu P P P pmE; F q thì với a, t P E chúng ta có công thức tích phân

dζ P ptq (cid:16) P pa (cid:0) ζtq ζ m(cid:0)1 1 2πi »|ζ|(cid:16)1

Chứng minh. Từ mệnh đề (1.0.9), P mP paqptq (cid:16) P ptq. Áp dụng hệ quả (2.0.15) ta có điều cần chứng minh

Hệ quả 2.0.18. Cho P P P pmE; F q. Nếu P bị chặn bởi c trên một hình cầu mở Bpa; rq thì P đồng thời bị chặn bởi c trên hình cầu Bp0; rq.

Bây giờ ta sẽ áp dụng các kết quả trên vào việc nghiên cứu hạn chế của ánh xạ chỉnh hình trên không gian con n- chiều. Trước hết ta đưa vào một số khái niệm sau:

Một đa đĩa trong Cn là tích các đĩa trong C. Một đa đĩa mở với tâm a (cid:16) pa1, . . . , anq và đa bán kính r (cid:16) pr1, . . . , rnq sẽ được kí hiệu là (cid:52)npa; rq. Đa đĩa đóng sẽ được kí hiệu là ¯(cid:52)npa; rq và được xác định

với j (cid:16) 1, . . . , nu (cid:52)npa; rq (cid:16) tz P Cn : |zj (cid:1) aj| (cid:160) rj

với j (cid:16) 1, . . . , nu ¯(cid:52)npa; rq (cid:16) tz P Cn : |zj (cid:1) aj| ⁄ rj

nếu a (cid:16) 0 (cid:16) p0, . . . , 0q và r (cid:16) 1 (cid:16) p1, . . . , 1q thì chúng ta viết đơn giản (cid:52)np0; 1q (cid:16) (cid:52)n và ¯(cid:52)np0; 1q (cid:16) ¯(cid:52)n. Tập hợp

với j (cid:16) 1, . . . , nu

tz P Cn : |zj (cid:1) aj| (cid:16) rj

thì chứa trong biên B(cid:52)npa; rq của (cid:52)npa; rq và được kí hiệu là Bo(cid:52)npa; rq và được gọi là biên đóng của đa đĩa (cid:52)npa; rq

Định lí 2.0.19. Cho U là một tập con mở của E, và cho f P H pU ; F q. cho a P U, t1, . . . , tn P E và r1, . . . , rn ¡ 0 sao cho a (cid:0) ζ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) ζntn P U với mọi ζ P ¯(cid:52)np0; rq. Khi đó với mỗi λ P (cid:52)np0; rq ta có công thức tích phân Cauchy

1 dζ1 . . . ζn f pa (cid:0) λ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) λntnq (cid:16) f pa (cid:0) ζ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) ζntnq pζ1 (cid:1) λ1q . . . pζn (cid:1) λnq

p2πiqn »Bo(cid:52)np0;rq

Chứng minh. Vì đa đĩa ¯(cid:52)np0; rq là compact, nếu tồn tại R1 ¡ r1, . . . , Rn ¡ rn sao cho a (cid:0) ζ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) ζntn P U với mọi ζ P (cid:52)np0; Rq. Nếu ψ P F 1 thì hàm số

ζ P (cid:52)np0; Rq gpζ1, . . . , ζnq (cid:16) ψ (cid:5) f pa (cid:0) ζ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) ζntnq với

là chỉnh hình theo từng biến ζ1, . . . , ζn khi cố định các biến còn lại. Áp dụng liên tiếp công thức tích phân Cauchy cho hàm chỉnh hình của một biến phức ta được công thức

ψ (cid:5) f pa (cid:0) λ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) λntnq (cid:16)

1 dζ1 dζ2

(cid:16)

dζn ψ (cid:5) f pa (cid:0) ζ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) ζntnq ζn (cid:1) λn ζ2 (cid:1) λ2 »|ζn|(cid:16)rn

p2πiqn »|ζ1|(cid:16)r1

ζ1 (cid:1) λ1 »|ζ2|(cid:16)r2 vơi mổi λ P (cid:52)np0; rq. Vì hàm số

pζ1, . . . , ζnq (cid:209)

ψ (cid:5) f pa (cid:0) ζ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) ζntnq pζ1 (cid:1) λ1q . . . pζn (cid:1) λnq

là liên tục trên tập compact Bo(cid:52)npa; rq, định lí Fubini cho phép chúng ta thay thế tích phân lặp bằng một đa tích phân. Và vì F 1 tách điểm, ta có kết quả sau

Hệ quả 2.0.20. Cho U là một tập con mở của E, f P H pU ; F q, a P U, t1, . . . , tn P E và r1, . . . , rn ¡ 0 sao cho a (cid:0) ζ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) ζntn P U với mọi ζ P ¯(cid:52)np0; rq. Khi đó với mọi λ P (cid:52)np0; rq tồn tại khai triển chuỗi có dạng

1 . . . λαn n

f pa (cid:0) λ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) λntnq (cid:16) cαλα1

‚α

trong đó

1 f pa (cid:0) ζ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) ζntnq dζ1 . . . dζn cα (cid:16) . . . ζ αn(cid:0)1 n

p2πiqn »Bo(cid:52)np0;rq

ζ α1(cid:0)1 1 chuỗi bội này tụ tuyệt đối và đều với λ P ¯(cid:52)np0; sq trong đó 0 ⁄ sj (cid:160) rj với mọi j.

Chứng minh. Chứng minh tương tự hệ quả (2.0.14). Thật vậy nếu |λj| (cid:160) |ζj| (cid:16) rj với j (cid:16) 1, . . . , n thì chúng ta có thể viết

f pa (cid:0) ζ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) ζntnq

(cid:16)

λα1 1 . . . λαn n f pa (cid:0) λ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) λntnq pζ1 (cid:1) λ1q . . . pζn (cid:1) λnq . . . ζ αn(cid:0)1 n ζ α1(cid:0)1 1

‚α

và chuỗi bội này hội tụ tuyệt đối và đều với ||ζj| (cid:16) rj và |λj| ⁄ sj (cid:160) rj. Bằng cách lấy tích phân từng số hạng của chuỗi này, ta có được kết luận sau từ định lí (2.0.19)

Định lí 2.0.21. Cho U là một tập con mở của E, F P H pU ; F q, a P U, t1, . . . , tn P E và r1, . . . , rn ¡ 0 sao cho a (cid:0) ζ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) ζntn P U với mọi ζ P ¯(cid:52)np0; rq. Khi đó với mỗi m P No và mỗi đa chỉ số α P Nn o với |α| (cid:16) m chúng ta có công thức tích phân Cauchy

n (cid:16)

1 . . . tαn

α! f pa (cid:0) ζ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) ζntnq Amf paqtα1 dζ1 . . . dζn . . . ζ αn(cid:0)1 n m!p2πiqn »Bo(cid:52)np0;rq ζ α1(cid:0)1 1

Chứng minh. Bởi mệnh đề (1.0.7) ta có khai triển chuỗi

f pa (cid:0) λ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) λntnq (cid:16) P mf paqpλ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) λntnq

‚m(cid:16)0

(cid:16)

1 . . . λαn n

cαλα1

‚α

trong đó

1 . . . tαn n

Amf paqtα1 cα (cid:16) m! α!

với mổi α P Nn 0 với |α| (cid:16) m. Chuỗi bội này hội tụ tuyệt đối và đều trên một đa đĩa phù hợp ¯(cid:52)np0; (cid:15)q. Sau đó so sánh chuỗi mở rộng này với chuỗi mở rộng được cho bằng hệ quả (2.0.20), áp dụng của bổ đề (1.0.8) ta có điều cần chứng minh.

Hệ quả 2.0.22. Cho A P LSpmE; F q và cho P (cid:16) ¯A P P pmE; F q.khi đó với mọi a, t1, . . . , tn P E và mọi α P Nn 0 với |α| (cid:16) m chúng ta có công thức phân cực

n (cid:16)

1 . . . tαn

α! P pa (cid:0) ζ1t1 (cid:0) . . . (cid:0) ζntnq Atα1 dζ1 . . . dζn . . . ζ αn(cid:0)1 n m!p2πiqn »|ζj|(cid:16)1 ζ α1(cid:0)1 1

Chứng minh. Áp dụng hệ quả (2.0.21) với f (cid:16) P

Ta nhắc lại điều sau một tập A trong E có chứa gốc thì gọi là cân nếu ζx P A với mổi x P A và mổi ζ trong mổi đĩa đơn vị đóng ¯(cid:52). Nếu a P A thì A gọi là a-cân bằng. Nếu tập A (cid:1) a là cân bằng

Định lí 2.0.23. Cho U là một tập con mở a-cân bằng của E, và cho f P H pU ; F q. khi đó với mọi tập compact K P U tồn tại lân cận V của K trong U sao cho chuỗi Taylor của f tại một hội tụ đến f đều trên V đủ nhỏ.

Chứng minh. Cho K là một tập con compact của U . khi đó tập hợp

A (cid:16) ta (cid:0) ζpx (cid:1) aq : x P K, ζ P ¯(cid:52)u

là chứa trong U , và f hội tụ trên A. Vì K compact nên ta có thể tìm được r ¡ l và một lân cận V của K trong U sao cho tập hợp

B (cid:16) ta (cid:0) ζpx (cid:1) aq : x P V, ζ P ¯(cid:52)p0; rqu

cũng chứa trong U , và f hội tụ trên B. Vì thế chúng ta có thể viết

(cid:16)

f ra (cid:0) ζpx (cid:1) aqs ζ m(cid:0)1 f ra (cid:0) ζpx (cid:1) aqs ζ (cid:1) 1

‚m(cid:16)0

và chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều với x P V và |ζ| (cid:16) r sau khi tích phân qua vòng tròn |ζ| (cid:16) r và áp dụng công thức tích phân Cauchy (2.0.13) và (2.0.15) ta kết luận

f pxq (cid:16) P mf paqpx (cid:1) aq

‚m(cid:16)0

và chuỗi này là hội tụ tuyệt đối và đều với x P V

Kết Luận

Như vậy chúng tôi đã trình bày xong công thức tích phân Cauchy và một số hệ quả của nó trong không gian Banach. Tuy nhiên do thời gian có hạn và lượng kiến thức còn tương đối hẹp nên tiểu luận chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý từ quý Thầy, Cô và bạn đọc.

Cuối cùng chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy, PSG. TS

Thái Thuần Quang đã tận tìn chỉ dạy cho chúng em.