PH N TH NH TẦ Ứ Ấ
ĐT V N ĐẶ Ấ Ề
Trong các môn h c ph thông, môn toán gi m t v trí quan tr ng. Quaọ ở ổ ữ ộ ị ọ
vi c h c toán h c sinh đc rèn luy n v m i m t nh : trí thông minh,ệ ọ ọ ượ ệ ề ọ ặ ư
ph ng pháp tính toán h p lý, nhanh g n, t o cho b óc làm vi c ngăn n p,ươ ợ ọ ạ ộ ệ ắ
có k ho ch. T cu c s ng hàng ngày c a con ng i nh : cân đo, đongế ạ ừ ộ ố ủ ườ ư
đm,…cho đn các ngành công nghi p phát tri n đu r t c n đn toán h c.ế ế ệ ể ề ấ ầ ế ọ
“ Giáo d c là qu c sách hàng đu, nhi m v c a ngành giáo d c làụ ố ầ ệ ụ ủ ụ
nâng cao dân trí, đào t o nhân l c, b i d ng nhân tài”. Vi c b i d ngạ ự ồ ưỡ ệ ồ ưỡ
h c sinh gi i là m t trong nh ng công tác mũi nh n c a ngành Giáo d c vàọ ỏ ộ ữ ọ ủ ụ
Đào t o nói chung, c a t ng c s nói riêng nên vi c phát tri n b i d ngạ ủ ừ ơ ở ệ ể ồ ưỡ
h c sinh gi i nuôi d ng nhân tài là m t vi c làm th ng xuyên, liên t c.ọ ỏ ưỡ ộ ệ ườ ụ
Môn toán là m t trong nh ng b môn th ng xuyên t ch c thi h c sinhộ ữ ộ ườ ổ ứ ọ
gi i nên đòi h i t ng c s ph i xây d ng đc đi ngũ h c sinh gi i choỏ ỏ ừ ơ ở ả ự ượ ộ ọ ỏ
đn v mình. V i tâm huy t ngh nghi p tôi luôn c g ng ph n đu đ đàoơ ị ớ ế ề ệ ố ắ ấ ấ ể
t o và b i d ng ngày càng nhi u h c sinh gi i các c p b ng cách đi sâuạ ồ ưỡ ề ọ ỏ ấ ằ
nghiên c u và giúp các em n m ch c, sâu t ng ph n t ng n i dung trongứ ắ ắ ừ ầ ừ ộ
ch ng trình toán l p 9. ươ ớ Ph ng trình b c cao là m t đ tài h p d n, thú vươ ậ ộ ề ấ ẫ ị
c a toán h c, vì v y ph ng trình b c cao đã đc r t nhi u nhà toán h củ ọ ậ ươ ậ ượ ấ ề ọ
nghiên c u. Tuy nhiên, v i ng i h c thì gi i ph ng trình b c cao là m tứ ớ ườ ọ ả ươ ậ ộ
v n đ khó. Sau nhi u năm gi ng d y môn Toán b c trung h c c s tôiấ ề ề ả ạ ở ậ ọ ơ ở
nh n th y m ng gi i ph ng trình b c cao đc đa ra sách giáo khoaậ ấ ả ả ươ ậ ượ ư ở
l p 8, 9 là r t khiêm t n, n i dung s l c, mang tính ch t gi i thi u kháiớ ấ ố ộ ơ ượ ấ ớ ệ
quát, qu th i gian giành cho nó là quá ít i, ỹ ờ ỏ trong ch ng trình h c l iươ ọ ạ
không có m t bài h c c th nàoộ ọ ụ ể . Bên c nh đó là các n i dung bài t p ngạ ộ ậ ứ
d ng thì r t phong phú, đa d ng và ph c t p. Các ph ng trình b c cao làụ ấ ạ ứ ạ ươ ậ
Trang 1
m t n i dung th ng g p trong các k thi B c THCS và đc bi t trongộ ộ ườ ặ ỳ ở ậ ặ ệ
các k thi tuy n sinh vào THPT. Chính vì v y tôi quy t đnh ch n ch đ:ỳ ể ậ ế ị ọ ủ ề
''ph ng trình b c cao '' làm sáng ki n cho riêng mình, đ giúp các em tìmươ ậ ế ể
hi u đc nhi u h n v ph ng pháp gi i, cách gi i đi v i các d ngể ượ ề ơ ề ươ ả ả ố ớ ạ
ph ng trình b c cao.ươ ậ
PH N TH HAIẦ Ứ
N I DUNG C A SÁNG KI NỘ Ủ Ế
I. C S KHOA H C Đ XU T RA SÁNG KI NƠ Ở Ọ Ề Ấ Ế
Trong ch ng trình toán h c trung h c c s và trong các đ thi chúng taươ ọ ọ ơ ở ề
v n th ng g p các bài toán v gi i ph ng trình b c 3,4,5..ho c phân tíchẫ ườ ặ ề ả ươ ậ ặ
các ph ng trình đó thành nhân t , song v i h c sinh v n còn lúng túng vìươ ử ớ ọ ẫ
không bi t b t đu t đâu, khi g p khó khăn không bi t làm th nào đ tìmế ắ ầ ừ ặ ế ế ể
ra l i gi i. Riêng v i các em h c sinh khi g p d ng toán này không ch uờ ả ớ ọ ặ ạ ị
nghiên c u kh o sát kĩ t ng d ng ph ng trình theo nhi u cách ho c sứ ả ừ ạ ươ ề ặ ử
d ng thi u linh ho t. ụ ế ạ
Xu t phát t v n đ trên và qua vi c gi ng d y môn toán tr ngấ ừ ấ ề ệ ả ạ ở ườ
THCS , qua đc tài li u tham kh o và đc bi t qua vi c b i d ng cho điọ ệ ả ặ ệ ệ ồ ưỡ ộ
tuy n h c sinh gi i kh i 9. Tôi nh n th y r ng gi i m t ph ng trìnhể ọ ỏ ở ố ậ ấ ằ ả ộ ươ
b c 3,4,5.. là t ng đi khó đi v i h c sinh THCS và đc bi t h n n aậ ươ ố ố ớ ọ ặ ệ ơ ữ
các ph ng pháp gi i ph ng trình đó không h có trong ch ng trình toánươ ả ươ ề ươ
THCS do đó đã gây khó khăn không nh đi v i h c sinh trong khi g p ph iỏ ố ớ ọ ặ ả
d ng toán này. H c sinh không có m t ph ng pháp c th nào mà ch bi tạ ọ ộ ươ ụ ế ỉ ế
mò m m m t cách vô h ng.ẫ ộ ướ
Trang 2
Khi đc ti p xúc v i các d ng ph ng trình b c cao không nh ng rènượ ế ớ ạ ươ ậ ữ
luy n cho HS các năng l c v ho t đng trí tu đ có c s ti p thu dệ ự ề ạ ộ ệ ể ơ ở ế ễ
dàng các môn h c khác tr ng THCS .M r ng kh năng áp d ng ki nọ ở ườ ở ộ ả ụ ế
th c vào th c t , còn góp ph n rèn luy n cho HS nh ng đc tính c nứ ự ế ầ ệ ữ ứ ẩ
th n ,sáng t o…ậ ạ
D a vào hi u bi t, v n ki n th c và thu th p qua tài liêu, sách báo tôi xinự ể ế ố ế ứ ậ
đa ra m t s ph ng pháp mà tôi cho là phù h p v i h c sinh THCS đư ộ ố ươ ợ ớ ọ ể
gi i các d ng ph ng trình .ả ạ ươ
II.KI N TH C C B N TRONG GI I PH NG TRÌNH :Ế Ứ Ơ Ả Ả ƯƠ
1. Các đnh nghĩa :ị
1.1 Đnh nghĩa ph ng trình :ị ươ
Gi s A(x) = B(x) là hai bi u th c ch a m t bi n x. Khi nói A(x) =ả ử ể ứ ứ ộ ế
B(x) là m t ph ng trình, ta hi u r ng ph i tìm giá tr c a x đ các giá trộ ươ ể ằ ả ị ủ ể ị
t ng ng c a hai bi u th c này b ng nhau.ươ ứ ủ ể ứ ằ
Bi n x đc g i là n.Giá tr tìm đc c a n g i là nghi m.ế ượ ọ ẩ ị ượ ủ ẩ ọ ệ
Vi c tìm nghi m g i là gi i ph ng trình. M i bi u th c g i là m tệ ệ ọ ả ươ ỗ ể ứ ọ ộ
v c a ph ng.ế ủ ươ
1.2. T p xác đnh c a ph ng trình :ậ ị ủ ươ
Là t p h p các giá tr c a n làm cho m i bi u th c trong ph ng trình có nghĩa.ậ ợ ị ủ ẩ ọ ể ứ ươ
1.3. Đnh nghĩa hai ph ng trình t ng đng :ị ươ ươ ươ
Hai ph ng trình đc g i là t ng đng n u chúng có cùng t p h p nghi m.ươ ượ ọ ươ ươ ế ậ ợ ệ
1.4. Các phép bi n đi t ng đng :ế ổ ươ ươ
Khi gi i ph ng trình ta ph i bi n đi ph ng trình đã cho thànhả ươ ả ế ổ ươ
nh ng ph ng trình t ng đng v i nó ( nh ng đn gi i h n). Phép bi nữ ươ ươ ươ ớ ư ơ ả ơ ế
đi nh th đc g i là phép bi n đi t ng đng.ổ ư ế ượ ọ ế ổ ươ ươ
Trang 3
2. Các đnh lý bi n đi t ng đng c a ph ng trình :ị ế ổ ươ ươ ủ ươ
a) Đnh lý 1 :ịN u c ng cùng m t đa th c c a n vào hai v c a m tế ộ ộ ứ ủ ẩ ế ủ ộ
ph ng trình thì đc m t ph ng trình m i t ng đng v i ph ngươ ượ ộ ươ ớ ươ ươ ớ ươ
trình đã cho. Ví d : 2x = 7 <=> 2x + 5x = 7 +5x.ụ
Chú ý : N u c ng cùng m t bi u th c ch a n m u vào hai v c aế ộ ộ ể ứ ứ ẩ ở ẫ ế ủ
m t ph ng trình thì ph ng trình m i có th không t ng đng ộ ươ ươ ớ ể ươ ươ
v i ph ng trình đã cho.ớ ươ
Ví d : x -2 ụ(1) Không t ng đng v i ph ng trìnhươ ươ ớ ươ
2
1
2
1
2
xx
x
Vì x = 2 là nghi m c a (1) nh ng không là nghi m c a (2)ệ ủ ư ệ ủ
* H qu 1ệ ả : N u chuy n m t h ng t t v này sang v kia c a m tế ể ộ ạ ử ừ ế ế ủ ộ
ph ng trình đc m t ph ng trình m i t ng đng v i ph ng trình đãươ ượ ộ ươ ớ ươ ươ ớ ươ
cho.
Ví d : 8x -7 = 2x + 3 <=> 8x- 2x = 7 + 3ụ
* H qu 2ệ ả :N u xoá hai h ng t gi ng nhau hai v c a m tế ạ ử ố ở ế ủ ộ
ph ng trình thì đc m t ph ng trình m i t ng đng v i ph ngươ ượ ộ ươ ớ ươ ươ ớ ươ
trình đã cho.
Ví d :ụ-9 - 7x = 5 ( x +3) -7x <=> -9 = 5 x ( x + 3)
* Chú ý : N u nhân hai v c a m t ph ng trình v i m t đa th c c aế ế ủ ộ ươ ớ ộ ứ ủ
n thì đc ph ng trình m i có th không t ng đng v i ph ng trìnhẩ ượ ươ ớ ể ươ ươ ớ ươ
đã cho.
b) Đnh lý 2:ịN u nhân m t s khác 0 vào hai v c a m t ph ng trìnhế ộ ố ế ủ ộ ươ
thì đc ph ng trình m i t ng đng v i ph ng trình đã cho.ượ ươ ớ ươ ươ ớ ươ
Trang 4
Ví d : ụ
2
1
x2 - 3x =
4
3
2x2 - 12x = 3 ( Nhân hai v v i 4 )ế ớ
III/ NH NG PH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNH:Ữ ƯƠ Ả ƯƠ
1.Ph ng trình b c nh t m t n :ươ ậ ấ ộ ẩ
Ph ng trình có d ng ax + b = 0, v i a, b là nh ng h ng s ; a ươ ạ ớ ữ ằ ố 0
đc g i là ph ng trình b c nh t m t n s , b g i là h ng t t do.ượ ọ ươ ậ ấ ộ ẩ ố ọ ạ ử ự
Cách gi iả :
- Ph ng trình t ng quát : a x+b=0 (a#0) (1)ươ ổ
- Dùng phép bién đi t ng đng , Ph ng trình (1) trổ ươ ươ ươ ở
thành :
a x=-b x=-b/a
Ph ng trình này có nghi m duy nh t : x=ươ ệ ấ
a
b
(a
0)
2. Ph ng trình b c cao:ươ ậ
2.1. Ph ng trình b c hai m t n :ươ ậ ộ ẩ
Ph ng trình b c hai m t n s là ph ng trình có d ng ươ ậ ộ ẩ ố ươ ạ
ax2 + bx + c = 0; trong đó x là n s ; a, b, c là các h s đã cho; a ẩ ố ệ ố 0.
*Cách gi iả:
*Ta dùng các phép bi n đi t ng đng ,bi n đi ph ngế ổ ươ ươ ế ổ ươ
trình đã cho v các d ng ph ng trình đã bi t cách gi i (ph ng trìnhề ạ ươ ế ả ươ
b c nh t ,ph ng trình d ng tích ) đ tìm nghi m c a ph ng trình ậ ấ ươ ạ ể ệ ủ ươ
*Khi nghiên c u v nghi m s c a ph ng trình b c haiứ ề ệ ố ủ ươ ậ
a x2 +b x +c=o (a
0)C n đc bi t quan tâm t i bi t s ầ ặ ệ ớ ệ ố
c a ph ng trình:ủ ươ
=b2- 4ac, Vì bi u th c ể ứ
= b2- 4ac quy t đnhế ị
Trang 5