intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Các phương pháp tính tích phân

Chia sẻ: Nguyễn Tấn Sĩ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:20

Thêm vào BST
Báo xấu
504
lượt xem 94
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ngày nay phép tính tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, tích phân được áp dụng rộng rãi như để tính diện tích hình phẳng , thể tích khối xoay tròn , ...Tích phân là một khái niệm toán học có thể hiểu như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Tích phân và vi phân là những khái niệm cơ bản của giải tích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các phương pháp tính tích phân

  1. Chuyên đề tích phân 1 TÍCH PHÂN I.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến số b Bài toán: Tính I= f ( x)dx , a *Phương pháp đổi biến dạng I Định lí . Nếu 1) Hàm x = u (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ α ; β ] , 2) Hàm hợp f (u (t )) được xác định trên [ α ; β ] , 3) u (α ) = a, u ( β ) = b , b β thì I= � a f ( x)dx = � α f (u (t ))u ' (t )dt . Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau: π 1 2 a) I = x 2 x 3 + 5dx b) J= ( sin 4 x + 1) cos xdx 0 0 4 10 6 ĐS: a) I = 6− 5. b) Ta có J = 3 9 5 Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau: 4 1 dx a) 4 − x 2 dx b) 0 0 1 + x2 �π π � Giải: a) Đặt x = 2sin t , t �� ; � − . Kết quả: π �2 2� �π π � π b) Đặt x = tan t , t � − ; � � . Kết quả : �2 2� 4 Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng a 2 + x 2 , a 2 − x 2 và x2 − a2 (trong trong đó a là hằng số dương) mà không có cách bi ến đ ổi nào khác thì nên đ ổi sang các hàm s ố lượng giác để làm mất căn thức, cụ thể là: �π π � • Với a 2 − x 2 , đặt x = a sin t , t �� ; � − hoặc x = a cos t , t [ 0; π ] . �2 2� �π π � • Với a 2 + x 2 , đặt x = a tan t , t � − ; � � hoặc x = acott , t ( 0;π ) . �2 2� a � π π� a π �� • Với x 2 − a 2 , đặt x = sin t , t �� 2 ; − \ { 0} hoặc x = ; t [ 0; π ] \ � �. � 2� � cos t �2 *Phương pháp đổi biến dạng II Định lí : Nếu hàm số u = u ( x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a; b] sao cho b u (b ) f ( x)dx = g (u ( x))u ' ( x)dx = g (u )du thì I= �x)dx = �u)du f( a g( u(a) .
  2. Chuyên đề tích phân 2 1 4 10 Ví dụ 3: Tính I = x 2 x 3 + 5dx KQ: I= 6− 5 0 9 9 Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến dạng II: 2π 1 e2 1 2 3 dx 4x + 2 dx 2π ( 2 x + 1) 5 a) dx b) c) dx d) e) cos(3 x − )dx 0 x ln x 0 x + x +1 2 (2 x − 1) 2 π 3 e 1 3 2 1 3. Giải: a) 60 3 . b) ln 2 c) 2ln 3 . d) . e) − 3 3 2.Phương pháp tích phân từng phần. Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [ a; b] thì: b b b � a u ( x)v ' ( x)dx = ( u ( x)v( x) ) − v( x)u ' ( x)dx a a � b b b hay � a udv = uv − vdu . a a � e e2 + 1 Ví dụ 5: Tính x ln xdx KQ: . 1 4 Ví dụ 6: Tính các tích phân sau: π π 2 1 ln x 2 2 a) 5 dx b) x cos xdx c) xe x dx d) e x cos xdx 1 x 0 0 0 π 15 − 4 ln 2 π e −12 KQ: a) . b) − 1. c) 1 d) . 256 2 2 *Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. b b b b P( x)e x dx P( x)ln xdx P( x)cos xdx e x cos xdx a a a a u P(x) lnx P(x) ex dv e x dx P(x)dx cosxdx cosxdx Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm th ế nào đ ể ch ọn u và dv = v ' dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv = v ' dx là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:
  3. Chuyên đề tích phân 3 β • Nếu tính tích phân P( x)Q( x)dx mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những α u = P ( x) du = P ' ( x )dx ax hàm số: e , cos ax, sin ax thì ta thường đặt � � dv = Q( x)dx v = Q ( x)dx β • Nếu tính tích phân P( x)Q( x)dx mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì ta α du = Q ' ( x ) dx u = Q( x) đặt � � dv = P( x)dx v = P ( x)dx β β • Nếu tính tích phân I = e ax cos bxdx hoặc J = e ax sin bxdx thì α α du = ae dx ax u = e ax ta đặt � � 1 dv = cos bxdx v = sin bx b du = ae ax dx u = e ax hoặc đặt � � 1 dv = sin bxdx v = − cos bx b Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính. II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 1. Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tổng quát sau: β dx I= (a 0) . (trong đó ax 2 + bx + c 0 với mọi x [α; β ] ) α ax 2 + bx + c Xét ∆ = b 2 − 4ac . β dx I= +)Nếu ∆ = 0 thì 2 � b � tính được. α a� − � x � 2a � β 1 dx −b + ∆ −b − ∆ +)Nếu ∆ > 0 thì I= , (trong đó x1 = ; x2 = a α ( x − x1 ) ( x − x2 ) 2a 2a ) 1 x − x1 β �I = ln . a ( x1 − x2 ) x − x2 α
  4. Chuyên đề tích phân 4 β β dx dx +) Nếu ∆ < 0 thì α I= α � ax 2 + bx + c = b � � −∆ �� 2 �� � 2 a �x + �+ � 2 �� � � 2a � � 4a �� �� � b −∆ 1 −∆ 2 ( Đặt x+ = 2 tan t � dx = 1 + tan 2 t ) dt , ta tính được I. 2a 4a 2 a β mx + n b) Tính tích phân: I= dx, (a 0) . α ax + bx + c 2 mx + n (trong đó f ( x) = liên tục trên đoạn [α;β ] ) ax 2 + bx + c +) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: mx + n A(2ax + b) B = 2 + 2 ax 2 + bx + c ax + bx + c ax + bx + c β β β mx + n A(2ax + b) B +)Ta có I= ∫ dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 dx α ax 2 + bx + c α ax + bx + c α ax + bx + c β A(2ax + b) β . Tích phân ∫ α ax + bx + c 2 dx = Aln ax 2 + bx + c ε β dx Tích phân tính được. α ax + bx + c 2 b P ( x) c) Tính tích phân I= dx với P(x) và Q(x) là đa thức của x. a Q( x) • Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức. • Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp: + Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn α1 , α 2 ,..., α n thì đặt P ( x) A1 A2 An = + + ... + . Q ( x ) x − α1 x − α 2 x − αn + Khi Q ( x) = ( x − α ) ( x + px + q ) , ∆ = p − 4q < 0 thì đặt 2 2 P( x) A Bx + C = + 2 . Q( x) x − α x + px + q + Khi Q ( x ) = ( x − α ) ( x − β ) với α ≠ β thì đặt 2 P ( x) A B C = + + . Q( x) x − α x − β ( x − β ) 2
  5. Chuyên đề tích phân 5 1 4 x + 11 Ví dụ 7. Tính tích phân: dx . 0 x2 + 5x + 6 Giải: Cách 1.Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho: 4 x + 11 A ( 2 x + 5) B = 2 + 2 , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} x2 + 5x + 6 x + 5x + 6 x + 5x + 6 4 x + 11 2 Ax + ( 5 A + B ) = , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} x2 + 5x + 6 x2 + 5x + 6 �A = 4 2 � =2 A �� �� � A + B = 11 � = 1 5 B 4 x + 11 2 ( 2 x + 5) 1 Vậy 2 = 2 + 2 , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} . x + 5x + 6 x + 5x + 6 x + 5x + 6 1 1 1 4 x + 11 2x + 5 dx Do đó �0 x2 + 5x + 6 dx = 2 2 � 0 x + 5x + 6 dx + 2 0 � x + 5x + 6 1 x+2 1 9 = 2ln x 2 + 5 x + 6 + ln = ln . 0 x+3 0 2 Cách 2. Vì x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2 ) ( x + 3) nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách: Tìm A, B sao cho: 4 x + 11 A B = + , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} x2 + 5x + 6 x + 2 x + 3 4 x + 11 ( A + B ) x + 3A + B � 2 = , ∀x �ﾡ \ { −3; −2} x + 5x + 6 x2 + 5x + 6 � +B=4 A � =3 A �� �� �A + 2 B = 11 � = 1 3 B 4 x + 11 3 1 Vậy 2 = + , ∀x � \ { −3; −2} . ﾡ x + 5x + 6 x + 2 x + 3 1 1 1 4 x + 11 dx dx Do đó 0 � x2 + 5x + 6 dx = 3 0 + � � x+2 0 x+3 1 1 9 = 3ln x + 2 + ln x + 3 = ln . 0 0 2 1 dx Ví dụ 8:Tính tích phân: . 0 x2 + x + 1 Giải: 1 1 dx dx Do � = � x + x +1 0 � 1 � 3 2 2 KQ: π 3. 0 � + �+ x 9 � 2� 4
  6. Chuyên đề tích phân 6 1 2 x3 1 1 3 Ví dụ 9. Tính tích phân: dx . KQ: + ln . x −1 2 8 2 4 0 2. Tích phân các hàm lượng giác 2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau: π π π 2 2 2 J= sin 2 x sin 7 xdx ; 4sin 3 x a) b) K = cos x(sin x + cos 4 4 x) dx ; c) M= dx . − π 0 0 1 + cos x 2 4 11 Giải a) . b) c) M = 2 45 15 b) Ta có cos x(sin x + cos x) = cos x �( sin 2 x + cos 2 x ) − 2sin 2 x cos 2 x � 4 4 2 � � � 1 � � 1 � 3 1 = cos x �− sin 2 2 x � cos x �− ( 1 − cos 4 x ) � cos x + cos x cos 4 x 1 = 1 = � 2 � � 4 � 4 4 3 1 = cos x + ( cos5 x + cos3x ) . 4 8 4sin x 4sin 2 x sin x 4(1 − cos 2 x)sin x 3 c) = = = 4(1 − cos x)sin x 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x 2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác dx 2.2.1.Tính I= asinx + b cos x + c Phương pháp: x 2dt t = tan � dx = Đặt 2 1+ t2 2t 1− t2 Ta có: sin x = và cos x = 1+ t2 1+ t2 dx 2dt I= �asinx + b cos x + c = � ( c − b ) t 2 + 2at + b + c đã biết cách tính. dx Ví dụ 11. Tính 4cos x + 3sin x + 5 x 1� 2 x� 2dt Giải: Đặt t = tan � dt = �+ tan 1 � � dx = dx 2 2� 2� 1+ t2 2dt dx 1+ t2 dt � cos x + 3sin x + 3 = 1− t2 � +3 2t +3 = 2 � t + 3t + 2 1+ t 2 1+ t 2
  7. Chuyên đề tích phân 7 x tan + 1 t +1 2 = ln + C = ln +C. t+2 x tan + 2 2 dx 2.2.2. Tính I = a sin x + b sin x cos x + c cos 2 x + d 2 dx Phương pháp: I = ( a + d ) sin x + b sin x cos x + ( c + d ) cos 2 x 2 dx = cos 2 x ( a + d ) tan 2 x + b tan x + ( c + d ) dx � I = dt Đặt t = tgx � dt = đã tính được. cos 2 x ( a + d ) t + bt + ( c + d ) 2 dx Ví dụ 12. Tính: I = . sin 2 x + 2sin x cos x − 3cos 2 x dx Giải:Ta có dx I= � sin 2 x + 2sin x cos x − 3cos 2 x � = cos 2 x tan 2 x + 2 tan x − 3 dx Đặt t = tan x � dt = cos 2 x dt dt 1 t −1 1 tan x − 1 �I = 2 � t + 2t − 3 = � = ln ( t − 1) ( t + 3) 4 t + 3 + C = ln 4 tan x + 3 +C 2.2.3. m sin x + n cos x + p 2.2.3. Tính I = dx . a sin x + b cos x + c Phương pháp: +)Tìm A, B, C sao cho: m sin x + n cos x + p = A ( a sin x + b cos x + c ) + B ( a cos x − b sin x ) + C , ∀x +) Vậy m sin x + n cos x + p I= dx = a sin x + b cos x + c a cos x − b sin x dx ∫ = A dx + B ∫ a sin x + b cos x + c dx + C ∫ a sin x + b cos x + c Tích phân ∫ dx tính được a cos x − b sin x Tích phân ∫ a sin x + b cos x + c dx = ln a sin x + b cos x + c + C dx Tích phân ∫ a sin x + b cos x + c tính được. cos x + 2sin x Ví dụ 13. Tính: I= dx . 4cos x + 3sin x
  8. Chuyên đề tích phân 8 Giải: Bằng cách cân bằng hệ số bất định, tìm A và B sao cho: cos x + 2sin x = A ( 4cos x + 3sin x ) + B ( −4sin x + 3cos x ) , ∀x cos x + 2sin x = ( 4 A + 3B ) cos x + ( 3 A − 4 B ) sin x, ∀x 2 A= 4 A + 3B = 1 5 �� �� 3 A − 4B = 2 1 B=− 5 � 1 −4sin x + 3cos x � 2 2 1 I= �− . � = x − ln 4cos x + 3sin x + C . dx � 5 4cos x + 3sin x � 5 5 5 2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa về tích phân hàm lượng giác đơn giản hơn (Xem ví dụ 17, 20, 21) 2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng R ( sin x,cos x ) dx , với R ( sin x,cos x ) là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân. x 2dt • Trường hợp chung: Đặt t = tan � dx = 2 1+ t2 2t 1− t2 Ta có sin x = ;cos x = 1+ t2 1+ t2 • Những trường hợp đặc biệt: +) Nếu R ( sin x,cos x ) là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là R ( − sin x, − cos x ) = R ( sin x,cos x ) thì đặt t = tan x hoặc t = cot x , sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t. +) Nếu R ( sin x,cos x ) là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là: R ( − sin x,cos x ) = − R ( sin x,cos x ) thì đặt t = cos x . +) Nếu R ( sin x,cos x ) là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là: R ( sin x, − cos x ) = − R ( sin x,cos x ) thì đặt t = sin x . 3.Tích phân hàm vô tỉ 3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản 1 Ví dụ 14. Tính tích phân: I= dx x +1 + x . KQ: I = 2 3 ( 2 2−2 ) 0 1 x3 dx 2 2 −1 . Ví dụ 15:Tính tích phân . KQ: 0 x + 1+ x 2 15 3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác (xem ví dụ 2) 3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng 1 2 Ví dụ 15:Tính I = x 1 − x dx 3 2 KQ: 0 15 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối
  9. Chuyên đề tích phân 9 2 Ví dụ 16: Tính J= x 2 − 1 dx −2 Giải: Lập bảng xét dấu của x 2 − 1 trên đoạn [ −2;2] x -2 -1 1 2 x −1 2 + 0 - 0 + 2 −1 1 2 I= � x 2 − 1 dx = � − 1) dx + � x ) dx + � − 1) dx (x (1− (x 2 2 2 Do đó −2 −2 −1 1 �x − �1 � x � � 3 1 x �2 3 3 = � − x� + � − � + � − x� = 4. x �3 − − �2 � 3 �1 � 3 �1 III.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT a 1.Cho hàm số y = f ( x) liên tục và lẻ trên đoạn [ −a; a ] . Khi đó I= f ( x)dx = 0 . −a π 2 xdx Ví dụ 17: Chứng minh I= = 0. π 4 − sin 2 x − 2 π π Giải: Đặt x = −t � dx = − dt . Khi x= π2 thì t = - π 2 , khi x=− thì t= 2 2 π π − 2 2 tdt xdx Do đó : I= ∫ π 4 − sin 2 t = −I Suy ra : 2I = 0. Ta được I= 4 − sin 2 x = 0. π 2 − 2 2.Cho hàm số y = f ( x) liên tục và chẵn trên đoạn [ −a; a ] . Khi đó a a I= �x)dx = 2�x)dx f( −a f( 0 . a 0 a Chứng minh : Ta có I= �x)dx = �x)dx + �x)dx f( −a f( f( −a 0 (1) 0 Ta tính J= f ( x )dx bằng cách đặt x = −t ( 0 ��� t a) dx = −dt −a 0 0 a a �J = �x)dx = −�−t )dt = �t )dt = �x)dx f( −a f( f( f( a 0 0 (2) a a Thay (2) vào (1) ta được I= �x)dx = 2�x)dx f( −a f( 0
  10. Chuyên đề tích phân 10 π 2 x + cos x Ví dụ 18: Tính tích phân: I= dx π 4 − sin 2 x − 2 π π π 2 2 2 x + cos x x cos x Giải: Ta có I= � − π 4 − sin 2 x dx = � − π 4 − sin 2 x dx + � − π 4 − sin 2 x dx 2 2 2 π 2 x �π π � x Do f1 ( x ) = là hàm số lẻ trên − �2; 2�nên dx = 0 4 − sin x 2 � � π 4 − sin 2 x − 2 cos x �π π � và f 2 ( x) = là hàm số chẵn trên − � 2 ; 2 � ta có: nên 4 − sin 2 x � � π π π 2 2 2 cos x cos x d (sin x) � − π 4 − sin 2 x dx = 2 0 4 − sin 2 x�dx = −2 π (sin x + 2) ( sin x + 2 )� − 2 2 π 1 sin x − 2 1 Vậy I = − ln 2 = ln 3 . 2 sin x + 2 2 0 3.Cho hàm số y = f ( x) liên tục và chẵn trên đoạn [ − α : α ] . Khi đó α α f ( x) 1 I =∫ x dx = ∫ f ( x)dx −α a +1 2 −α Chứng minh: Đặt t= -x ⇒ dt= - dx a t +1 x -t Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a +1= a +1= at Khi x= - α thì t = α ; x = α thì t =- α α α α f ( x) a t f (t ) a t +1 −1 Vậy I =∫ x dx = ∫ t dt = ∫ f (t ) dt −α a +1 −α a +1 −α a t +1 α α α f (t ) = ∫ f (t )dt + ∫ t dt = ∫ f ( x)dx + I −α −α a +1 −α α α f ( x) 1 Suy ra I= ∫ x dx = ∫ f ( x)dx −α a +1 2 −α 1 x4 Ví dụ 19 : Tính tích phân: I= dx . −1 2x + 1 Giải:Đặt t= -x ⇒ dt= - dx Khi x= - 1 thì t = 1 ; x =1 thì t =-1
  11. Chuyên đề tích phân 11 1 1 1 x4 t4 2t Vậy I =∫ x dx = ∫ −t dt = ∫ t t 4 dt −1 2 +1 −1 2 +1 −1` 2 +1 1 1 1 t4 = ∫ t dt − ∫ t 4 dt = ∫ x 4 dx − I −1 −1 2 +1 −1 1 1 1 4 1 x5 1 Suy ra I = = ∫ x dx = = 2 −1 2 5 −1 5 π π �π� 2 2 4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0; � 2 � đó � � .Khi � x)dx = � x)dx f (sin 0 f (cos 0 . Chứng minh: π Đặt t= − x � dx = −dt 2 π π Khi x = 0 thì t = , khi x = thì t = 0 2 2 π π π 2 0 2 2 π Do đó � 0 π 2 � f (sin x) dx = − f (sin( − t )dt = � t )dt = � x)dx f (cos 0 f (cos 0 . 2 Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức π −α π −α π *Nếu f(x) liên tục trên [ 0;1] thì � α xf (sin x)dx = 2 � x)dx α f (sin 2π −α 2 π −α *Nếu f(x) liên tục trên [ 0;1] thì �(cos x)dx = π �(cos x)dx α xf f α π 2 sin n x π Ví dụ 20:Chứng minh: I= dx = . 0 sin x + cos x n n 4 Giải : Tương tự như trên ta có: π π 2 2 sin n x cos n x I= � 0 sin x + cos x n n dx = 0 sin x + cos x n n � dx =J π π 2 2 sin n x cos n x π +) Vậy I+J= � 0 sin x + cos x n n dx + 0 sin x + cos x n n � dx = 2 π 2 sin n x π Vậy I= dx = . 0 sin n x + cos n x 4
  12. Chuyên đề tích phân 12 π x sin x Ví dụ 21: Tính tích phân: dx . 0 1 + cos 2 x Giải: Đặt x = π − t ( 0 ��� t π) dx = −dt ( π − t ) sin ( π − t ) dt π 0 x sin x Khi đó � 0 1 + cos 2 x dx = − π � 1 + cos 2 ( π − t ) π π π π x sin x π sin x x sin x π sin x π2 �2 0 1 + cos 2 x�dx = 0 1 + cos 2 x dx Vậy 0 �1 + cos 2 x dx = � 2 0 1 + cos 2 x dx = 4 . � BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.Tính các tích phân sau π π2 b) I = ∫ 2 sin 2 x x sin x dx a) I = ∫ 0 cos 2 x + 4 sin 2 x dx ( ĐH-KA-2006) 0 π π 2 2 sin 2 x + sin x d ) I = ∫ (2 x − 1) cos 2 x.dx c) I = ∫ 0 1 + 3 cos x dx (ĐH-KA-2005) 0 π π 4 x e) I = ∫ 2 sin 2 x. cos x dx (ĐH-KB-2005) f )I = ∫ 1 + cos 2 x dx 0 1 + cos x π 0 π 3 tan x 2 sin x − cos x h) I = ∫ cos x dx g)I = ∫ π 1 + sin 2 x dx π 4 1 + cos x 2 4 π π 4 2 cos 2 x k ) I = ∫ x tan 2 x.dx i) I = ∫ dx 0 0 (sin x − cos x + 3) 3 Bài 2.Tính các tích phân sau 3 5 3 x + 2x3 dx a) I = ∫ x2 + 1 0 dx b) I = ∫ x (x 2 2 + 1) 1 4 1 2x + 1 1  1 c) I = ∫ 1 + 2x + 1 dx d )I = ∫x 1 2  1 +  dx  x 0 2 3 e) I = ∫ x 3 . x 2 − 1dx 3 dx 1 f )I = 1 ∫ x+ x 3 2 3 dx ∫ 5 g)I = 5 x x2 + 4 h) I = ∫ ( x + 2 − x − 2 ) dx −3 Bài 3. Tính các tích phân sau 1 2 ln( 1 + x) a) I = ∫ ( x + 1)e dx2 x b) I = ∫1 x 2 dx 0
  13. Chuyên đề tích phân 13 1 e dx x3 + 1 c) I = ∫ d )I = ∫ ln x.dx 0 1+ e x 1 x 2 3 x 2 .e x e) I = ∫ dx f ) I = ∫ ln( x 2 − x).dx 0 ( x + 2) 2 2 0 π g ) I = ∫ x(e 2 x + 3 x + 1)dx 2 −1 h) I = ∫ (e sin x + cos x) cos x.dx 0 Bài 4: Tính các tích phân sau 0 π 2 x5 x ln ( 3 − 2 x ) .dx b) K = 2 a) J = .dx c) J = cos3 x.sin 2 x.dx 0 1+ x 3 − 1 2 0 π π 2 2 x2 2 sin 2 x d) I = (2 x − 1)sin xdx 2 e) I = dx f) J = dx x 2 − 7 x + 12 0 1 0 1 + 3cos 2 x 1 e ln 2 dx ln x dx g) K = h) I = .dx i) J = 0 (2 x + 1) (3 x + 6)(2 x + 1) 1 x5 0 1 + ex e π ln5 (e x + 1)e x dx lnx j) K = x sin x.cos x.dx k) J = l) K = (x+1) 2 dx 2 0 ln2 ex − 1 1 e π π 4 3 dx dx n) J = o) K = −2 x m) I = xe dx π 0 7 x x2 + 9 sinx.sin(x+ ) π 6 6 1 2 π 3 cos x p) I = x.ln(1 + x ).dx r) K = 2 q) J = x 2 4 − x 2 dx dx 0 −1 0 1 + cos x π π π 4 4 s) J = 4 x t) K = 4 sin x − cos x u) J = 4 sin 2 x dx dx dx 0 cos 2 x 0 sin x + cos x + 1 0 cos 6 x 1 1 1 1 x2 ( x + 1) ( 1 − 2 x ) 2 v) K = 2 x dx w) I = dx x) J = dx 0 e + ex 0 0 4 − 3x 2 π π 0 sin 6 x + cos 6 x 2 3 y) K = 4 π dx z) I = sin x.cos x .dx Z = x(e 2 x + 3 x + 1) dx (DBB02) − 4 6x + 1 1 + cos 2 x −1 0 Bài 5: Tính các tích phân sau 1 π 1 4 dx x 7 dx c) I = 4 a) J = x(2cos2 x − 1 b) K = 0 )dx 1 x 2 x 2 +9 0 (1+ x ) 4 2 7 1 x.ln(x + 1 + x 2 ) e d) J = (1 − x ).ln x.dx e) K = 2 dx 2 1 0 1+ x Bài 6: Tính các tích phân sau π π 2 4 x A= 6 1 − cos3 x .sin x cos5 xdx (DBD02) B= dx (DBA03) 0 0 1 + cos 2 x
  14. Chuyên đề tích phân 14 ln 3 2x 1 e dx 2 C= (DBB03) D = x 3e x dx (DBD03) ex −1 ln 2 0 2 4 x − x +1 3 dx E= dx (DBA02) F= (DBB04) 0 x2 + 4 1 x + x3 π π2 3 G= x sin xdx (DBD04) H = sin 2 x tan xdx (DBA05) 0 0 π 7 x+2 4 K= 3 dx (DBA05) L = (tan x + esin x cos x)dx (DBB05) 0 x +1 0 3 π e ln 2 x 2 M= dx (DDB05) N = (2 x − 1) cos 2 xdx (DBD05) 1 x ln x + 1 0 6 10 dx dx O= (DBA06) Q= (DBB06) 2 2x +1+ 4x +1 5 x − 2 x −1 MỘT SỐ ĐỀ CAO ĐẲNG VÀ DỰ BỊ ĐH Bài 1. Tham khảo 2005 π 7 x+ 2 4 1 − 2 sin 2 x 1 I =∫3 dx 141 I= ∫ 1 + sin 2x dx ln2 x+1 0 KQ: 2 0 KQ: 10 Bài 11. CĐSP Tp.HCM – 2005 Bài 2. Tham khảo 2005 0 π dx 3π 3 3 I= ∫x 2 + 2x + 4 I = ∫ sin 2 xtgxdx ln2 − −1 KQ: 18 0 KQ: 8 Bài 12. CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005 e Bài 3. Tham khảo 2005 ln x 2 π I=∫ 2 dx 1− 4 1 x KQ: e I= ( tan x + e sin x .cos x ) dx 1 KQ: ln 2 + e − 1 2 0 Bài 13. CĐSP Vĩnh Long – 2005 Bài 4. Tham khảo 2005 7 e 3 x+1 46 I = ∫ x2 ln xdx 2 3 1 I =∫3 dx e + 3x + 1 1 KQ: 9 9 0 KQ: 15 Bài 5. CĐ Khối A, B – 2005 1 Bài 14. CĐ Bến Tre – 2005 I = ∫ x3 . x2 + 3dx 6 3− 8 π 2 5 cos 3x KQ: ∫ sin x + 1 dx 0 I= Bài 6. CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005 3 0 KQ: 2 − 3ln2 x−3 Bài 15. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 I= ∫3 x+1 + x+ 3 dx π −1 KQ: 6ln3− 8 2 sin xdx Bài 7. CĐ GTVT – 2005 I=∫ x 1 8 0 sin 2 x + 2 cos x. cos 2 I = ∫ x 1 − x dx 5 2 2 0 KQ: 105 π I = ln2 3 2 Bài 8. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005 x sin xdx π 3 π J=∫ 2 J= − 2 3π 0 sin 2x cos x KQ: 3 4 I = ∫ e3x sin 5xdx 3.e + 5 2 Bài 16. CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005 0 KQ: 34 e I = ∫ x ln xdx e2 + 1 Bài 9. CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005 3 1 KQ: 4 848 I= ∫ x + 1.x dx 3 5 Bài 17. CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005 0 KQ: 105 Bài 10. CĐ Truyền Hình Khối A – 2005
  15. Chuyên đề tích phân 15 π2 Bài 31. ĐH Hải Phòng – 2006 4 1 π 2 x I= ∫ x sin xdx −4 I= 1+ x2 dx 1 ln2 0 KQ: 2 0 KQ: 2 Bài 18. CĐSP Hà Nội – 2005 Bài 32. CĐ Y Tế – 2006 2 π x + 2x + 4x + 9 3 2 π I=∫ dx 6+ 2 sinx − cosx x2 + 4 8 I= dx 0 KQ: Bài 19. CĐ Tài Chính – 2005 π 1+ sin2x 1 4 KQ: ln 2 xdx 1 I=∫ 0 ( x + 1) 3 Bài 33. CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006 KQ: 8 3 Bài 20. CĐSP Vĩnh Phúc – 2005 I = xln( x2 + 5) dx 1 ( 14ln14− 5ln5− 9) e dx π 0 KQ: 2 I= ∫x 1 − ln 2 x Bài 34. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 1 KQ: 6 π Bài 21. CĐSP Hà Nội – 2004 2 cos2x π I= dx 1 ( sinx − cosx + 3) 3 2 2004 I=∫ sin x dx π 0 KQ: 32 0 sin x + cos 2004 x 2004 KQ: 4 Bài 35. Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006 Bài 22. CĐSP KonTum – 2005 π π 4 I= ( x − 1) cosxdx π 2 2 4 sin 3 x −1 I=∫ dx 0 KQ: 8 1 + cos x 0 KQ: 2 Bài 36. CĐ KTKT Đông Du – 2006 Bài 23. Tham khảo 2006 π 4 6 dx 3 1 cos2x 1 I= ln − I= dx ln3 2x + 1+ 4x + 1 1+ 2sin2x KQ: 4 2 KQ: 2 12 0 Bài 37. CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006 ln2 Bài 24. Tham khảo 2006 e2x 8 π I= dx 2 3− 2 0 e +2 x KQ: 3 I= ( x + 1) sin2xdx π +1 Bài 38. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 0 KQ: 4 π Bài 25. Tham khảo 2006 2 4sin3 x 2 I= dx 5 1+ cosx I= ( x − 2) lnxdx − ln4 0 KQ: 2 1 KQ: 4 Bài 39. CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006 π Bài 26. Tham khảo 2006 4 10 x π 2 dx I= dx + ln I= cos2 x x − 2 x −1 0 KQ: 4 2 5 KQ: 2ln2 + 1 Bài 40.CĐ Bán Công – Công Nghệ -Tp.HCM– 2006 Bài 27. Tham khảo 2006 3 x− 3 e 3− 2lnx 10 11 I= dx I= dx 2− 3 x + 1+ x + 3 x 1+ 2lnx −1 KQ: 6ln3− 8 1 KQ: 3 3 Bài 41. CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006 Bài 28. CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006 9 1 I = x.3 1− x dx 468 I = xln 1+ x dx ( 2 ) ln2 − 1 1 KQ: − 7 0 KQ: 2 Bài 42. CĐ Bến Tre – 2006 (Đổi biến t = 1+ x , từng phần) 2 e � 3 + 1� x 2e3 11 Bài 29. CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006 I= � �lnxdx + 1� x � 2 ln( 1+ x) 3 KQ: 9 18 I= dx 3ln2 − ln3 Bài 43. 1 x2 KQ: 2 1 Bài 30. CĐ Nông Lâm – 2006 1 I = x2 2 + x3 dx 0 2 KQ: 9 ( 3 3− 2 2 ) I = x x2 + 1dx 2 2 −1 Bài 44. 0 KQ: 3
  16. Chuyên đề tích phân 16 π π 2 1 �π 2 π � 4 cos2x I = ∫ ( 2x − 1) cos xdx 2 � − + 1� I= dx 1 ln3 2� 4 2 � 1+ 2sin2x 0 KQ: 0 KQ: 4 Bài 45. Bài 57. CĐSP Trung Ương – 2006 ( ) 1 π I = ∫ x e2 x + 3 x − 1 dx e2 1 2 − I = sinxsin2xdx 2 0 KQ: 4 14 0 KQ: 3 Bài 46. CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006 π Bài 58. CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006 2 1 sin3x x I= dx I= dx 4 1 0 ( x + 3) 2cos3x + 1 2 ln − 0 KQ: Không tồn tại KQ : 3 4 Bài 59. CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006 Bài 47. CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006 π 1 2 I = xln( 1+ x2 ) dx ln2 − 1 I = x2 cosxdx π2 −2 0 KQ: 2 1 KQ: 4 Bài 48. CĐ Xây dựng số 2 – 2006 Bài 60. CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006 2 e x x−1 32 dx I= dx − 10ln3 I= π 1 x− 5 KQ: 3 ( 1 x 1+ ln x 2 ) KQ: 4 Bài 49. CĐ Xây dựng số 3 – 2006 1 Bài 61. CĐKT Y Tế I – 2006 I= ( x + cos x) sinxdx 3 5 π 2 sinx − cosx 0 KQ: 4 I= dx Bài 50. CĐ GTVT III – 2006 π 1+ sin2x π 4 KQ: ln 2 2 cosx 1 5 Bài 62. CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006 I= dx ln π 5− 2sinx 0 KQ: 2 3 3 ln( tgx) 2 I= dx 1 2 sin2x J= ( 2x + 7) ln( x + 1) dx π 4 KQ: 16 ln 3 0 KQ: 24ln3− 14 Bài 63. CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006 Bài 51. CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006 π π 2 ( ) 15 3 4 I = sin2x 1+ sin2 x dx I= ( 1− tg x dx 8 ) 76 0 KQ: 4 0 KQ: 105 Bài 64. CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006 Bài 52. CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006 e lnx 4 4x + 3 I= dx I= 2 dx 0 x KQ: 4 − 2 e 3 x − 3x + 2 KQ: 18ln2 − 7ln3 Bài 65. CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006 Bài 53. CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006 1 π I= 2 1 dx π sin3x − sin3 3x 6 0 x + 2x + 2 KQ: 4 I= dx 1 1 1+ cos3x − + ln2 Bài 66. CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006 0 KQ: 6 3 7 Bài 54. CĐSP Hưng Yên - Khối D1 , M– 2006 3 x+ 2 46 e I= dx lnx 2 + ln x 3 2 3 3x + 1 KQ: 15 I= 3 3 ( ) 0 dx 3 3 − 22 2 1 x KQ: 8 Bài 67. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– Bài 55. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006 π 2006 π 4 ( cos x − sin x) dx 4 I= 4 4 1 x π 2 I= dx − ln 0 KQ: 2 0 cos2 x KQ: 4 2 Bài 68. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – Bài 56. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006 2006
  17. Chuyên đề tích phân 17 2 I= ( 4x − 1) lnxdx Bài 70. Tham khảo khối A – 2007 KQ: 6ln2 − 2 4 1 2x + 1 dx Bài 69. CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006 π 0 1+ 2x + 1 KQ: 2 + ln 2 3 dx I= � π� 2 π sinx.sin� + � x ln2 6 � 3� KQ: 3 . Bài 71. Tham khảo khối B – 2007 x(1− x) π 1 y = 0 và y = + ln 2 − 1 x +1 . KQ: 4 2 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Bài 72. Tham khảo khối B – 2007 π 1 + Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = 2 − x . KQ: 2 3 2 2 Bài 73. CĐSPTW – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình y = x 2 − 2 ; y = x ; x = −1; x = 0 . 7 KQ: 6 Bài 74. CĐ Khối B – 2007 π Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x , y = x + cos x , x = 0 , x = π . 2 KQ: 2 3 π xdx 2 sin 2 x 3 2x + 2 dx − 1 3 + 4sin x − cos2 x Bài 75. Dự bị 1 A_08 2 Dự bị 2 A_08. 0 2 1 x +1 x3 dx dx Bài 76. Dự bị 1 B_08. 0 4x +1 Dự bị 2 B_08. 0 4 − x2 1 � 2x x � � − xe dx � Bài 77. Dự bị D_08. 0� 4 − x2 � . Bài 78. Tham khảo khối D – 2007 e ( x ln x ) 2 1 1 x( x − 1) 3 dx ( 5e3 − 2 ) x −4 2 dx 1 + ln 2 − ln 3 1 KQ: 27 0 KQ: 2 Bài 84. CĐSP Vĩnh Phúc – 2007 Bài 79. Tham khảo khối D – 2007 π π 4 ( x sin x ) 2 dx π3 π2 1 π2 2 − + −2 2 x cosxdx 1 KQ: 384 32 4 0 KQ: 4 Bài 85. CĐ Khối D – 2007 Bài 80. CĐ GTVT – 2007 0 π x + 1 dx 2 4 cos x 3 dx −2 KQ: 1 0 1 + sin x KQ: 2 Bài 81. CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007 Bài 86. CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007 3 7 x+2 dx dx 231 3 π 0 3 x+1 KQ: 10 1 x2 ( x2 + 1 ) KQ: 1− 3 − 12 Bài 82. CĐ Khối A – 2007 Bài 87. CĐ Hàng hải – 2007 1 2007 3 1 � 1� 14 3 � + x � dx 1 3 −2 2008 2008 x 3 x 2 − 1dx 1 x2 � � 1 KQ: 5 3 KQ: 2008 Bài 88. CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007 Bài 83. CĐ Cơ khí luyện kim – 2007
  18. Chuyên đề tích phân 18 0 ( ) x e2 x + x + 1 dx 3 −2 31 e − −1 KQ: 4 60
  19. Chuyên đề tích phân 19 CÔNG THỨC Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp dx = x + C du = u + C xα+1 uα+1 x dx = α + C ( α 1) u du = α + C ( α 1) α +1 α +1 ax au a dx = x + C ( 0 < a 1) a dx = u + C ( 0 < a 1) lna lna dx du = ln x + C ( x 0) = ln u + C ( u 0) x u exdx = ex + C eudu = eu + C cosxdx = sinx + C cosudu = sinu + C sinxdx = − cosx + C sinudu = − cosu + C cos kx sin kx sin kxdx = − +C cos kxdx = +C k k 1 1 dx = − cotx + C du = tanu + C sin2 x cos2 u 1 1 dx = tanx + C du = − cotu + C cos2 x sin2 u Bảng nguyeân haøm mở rộng 1 e kx d( ax + b) = ( ax + b) + C e kx dx = +C a k α +1 1 ( ax + b ) α dx = 1 � + b � + c ,α � ax � −1 cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + c a �α + 1 � a dx 1 −1 = ln ax + b + c + c sin ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) + c ax + b a a
  20. Chuyên đề tích phân 20 1 ax + b 1 eax + b dx = e +c tg ( ax + b ) dx = − ln cos ( ax + b ) + c a a 1 1 a px + q dx = a px + q + c cotg ( ax + b ) dx = ln sin ( ax + b ) + c p ln a a dx 1 x dx −1 = arctg + c = cotg ( ax + b ) + c 2 a +x 2 a a sin ax + b ) 2( a dx 1 a+x dx 1 = ln +c = tg ( ax + b ) + c a 2 − x 2 2a a − x cos 2 ( ax + b ) a dx 2 2 ( = ln x + x 2 + a 2 + c ) x x arcsin dx = x arcsin + a 2 − x 2 + c x +a a a dx x x x = arcsin +c arccos dx = x arccos − a2 − x 2 + c a2 − x 2 a a a dx 1 x x x a = arccos + c arctg dx = x arctg − ln ( a 2 + x 2 ) + c x x 2 − a2 a a a a 2 dx 1 a + x 2 + a2 x x a = − ln +c arc cotg dx = x arc cotg + ln ( a2 + x 2 ) + c x x 2 + a2 a x a a 2 � b� dx 1 ax + b ln ( ax + b ) dx = � + � ( ax + b ) − x + c x ln = ln tg +c � a� sin ( ax + b ) a 2 x a2 − x 2 a2 x dx 1 ax + b a 2 − x 2 dx = + arcsin + c = ln tg +c 2 2 a sin ( ax + b ) a 2 eax ( a sin bx − b cos bx ) eax ( a cos bx + b sin bx ) eax sin bx dx = +c eax cos bx dx = +c a 2 + b2 a2 + b2
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
4=>1