intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Các phương pháp xác định ma trận Coriolis và ly tâm trong phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST
Báo xấu
27
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báoviết này tổng hợp các phương pháp tính toán ma trận C (q,q) và lý giải sự khác nhau giữa các phương pháp xác định trận này. Đồng thời bài báo cũng nêu ra biểu thức xác định C (q,q) bằng tích Kronecker tương ứng với dạng Christoffel và đưa ra việc thiết lập ma trận này dựa trên nguyên lý d’Alembert-Lagrange.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các phương pháp xác định ma trận Coriolis và ly tâm trong phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật

  1. Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 230-237, DOI 10.15625/vap.2019000283 Các phương pháp xác định ma trận Coriolis và ly tâm trong phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật Nguyễn Quang Hoàng & Nguyễn Văn Quyền Bộ môn Cơ ứng dụng – Viện Cơ khí, Đại học Bách Khoa Hà Nội E-mail: hoang.nguyenquang@hust.edu.vn Tóm tắt lượng, véctơ chứa các thành phần Coriolis và ly tâm, lực Phương pháp xác định ma trận Coriolis và ly tâm – ma trận do trọng trường và lực suy rộng của các lực còn lại như C(q, q ) – trong phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều lực dẫn động, lực cản tại khớp, lực do môi trường. Dạng vật được một số tác giả nghiên cứu và đưa ra các dạng khác (1) thường được gọi là dạng chính tắc của phương trình vi nhau. Bài báo này tổng hợp các phương pháp tính toán ma trận phân chuyển động cho hệ nhiều vật [13]. Thông thường C(q, q ) và lý giải sự khác nhau giữa các phương pháp xác véctơ c(q, q) được viết dưới dạng tích của ma trận – định trận này. Đồng thời bài báo cũng nêu ra biểu thức xác định được gọi là ma trận coriois và ly tâm C(q, q ) với véctơ C(q, q ) bằng tích Kronecker tương ứng với dạng Christoffel vận tốc suy rộng: c(q, q) = C(q, q)q . và đưa ra việc thiết lập ma trận này dựa trên nguyên lý d’Alembert-Lagrange. Dựa theo nguyên lý này, bài báo cũng Trong thời gian gần đây, việc xác định ma trận C(q, q ) chỉ ra có thể nhận được rất nhiều ma trận C(q, q ) khác nhau cũng đã thu hút được sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu. cho cùng một hệ nhiều vật. Ngoài ra, bài báo cũng đưa ra dạng Đã có nhiều công thức tính được đưa ra. Trước hết ma hiệu chỉnh của một số công thức xác định ma trận C. Các dạng trận C được đưa ra từ việc áp dụng trực tiếp phương trình ma trận C(q, q ) khác nhau của một tay máy không gian được Lagrange loại 2, sau đó sử dụng biến đổi dựa trên tính đối đưa ra để minh họa cho các phương pháp tính toán. xứng của ma trận khối lượng để đưa ra dạng Christoffel. Từ khóa: phương trình chuyển động, ma trận Coriolis và ly lâm, Một số tác giả đưa vào định nghĩa ma trận theo vô hướng hệ nhiều vật. và tích Kronecker để tính ma trận C từ ma trận khối lượng [15-23]. Tùy theo cách thức định nghĩa ma trận theo véctơ, mà kết quả cho ra công thức tính ma trận C 1. Mở đầu khác nhau. Một cách khác, áp dụng nguyên lý Hệ nhiều vật là cấu trúc cơ học của hầu hết các thiết bị d’Alembert-Lagrange, trong đó lực suy rộng của lực quán máy móc, robot và xe cộ. Việc xây dựng mô hình động tính được tính trực tiếp từ lực quán tính và ngẫu lực quán lực học cho hệ nhiều vật có vai trò quan trọng trong tính tính của vật rắn. Theo cách này, ta nhận được nhiều ma toán và mô phỏng động lực học, cũng như thí nghiệm số trận C khác nhau. với các tín hiệu kích thích khác nhau và các luật điều khiển. Các lý thuyết về hệ nhiều vật rắn cũng như hệ Báo cáo này tổng hợp một số phương pháp tính toán nhiều vật đàn hồi đã phát triển mạnh mẽ trong bốn thập đưa ra ma trận Coriolis và ly tâm trong phương trình vi niên vừa qua do có sự hỗ trợ đắc lực của máy tính. phân chuyển động cho hệ nhiều vật. Các ma trận này được đưa ra dựa trên phương trình Lagrange loại 2 và từ Mô hình hóa và mô phỏng hệ nhiều vật đã thu hút nguyên lý d’Alembert-Lagrange. Các kết quả cho thấy nhiều nhà nghiên cứu. Nhiều công trình liên quan đến mô ma trận C không phải là duy nhất, mà nó phụ thuộc vào hình hóa hệ nhiều vật. Có một số cách tiếp cận để xây cách đưa ra ma trận này. Điều này là dễ hiểu, vì từ đại số dựng các phương trình động của hệ nhiều vật bao gồm tuyến tính ta đã biết rằng với A1 b = A2 b thì ta không phương trình Newton-Euler, phương trình và dạng thức thể dẫn tới A1 = A2 . Lagrange, nguyên lý d’Alembert-Lagrange, nguyên lý Jourdain và phương trình Kane, Nguyên lý Gauss,... Phần còn lại của bài báo được trình bày như sau: Phần [1-16]. Dạng chung của phương trình chuyển động cho hệ 2 nhắc lại một số công thức trong động học và động lực nhiều vật cấu trúc hở với tọa độ suy rộng đủ có dạng: học vật rắn. Phần 3 trình bày việc xây dựng ma trận C dựa trên phương trình Lagrange loại 2 và tích Kronecker. M(q)q + c(q, q) + g(q) = Q hay Phần 4 trình bày việc xây dựng ma trận C dựa trên nguyên lý d’Alembert-Lagrange. Phần 5 nêu ví dụ tính M(q)q + C(q, q)q + g(q) = Q , (1) các dạng ma trận C cho tay máy không gian. Cuối cùng là trong đó M(q), c(q, q), g(q), Q lần lượt là ma trận khối phần kết luận.
  2. Nguyễn Quang Hoàng & Nguyễn Văn Quyền 2. Một số công thức cơ bản của động học và quán tính và lực suy rộng của các lực hoạt động bằng động lực học hệ vật rắn [16] không: 2.1. Động học n  (Q k =1 qt k + Qka ) qk =  qT (Qqt + Qa ) = 0, (9) Không mất tính tổng quát ta xét hệ nhiều vật cấu trúc  qk  Qqt + Qa = 0 cây chịu liên kết hôlônôm, dừng và lý tưởng. Đối với hệ cấu trúc vòng, ta sử dụng phương pháp cắt khớp sẽ nhận Động năng và thế năng của hệ vật rắn: được hệ cấu trúc cây. Xét hệ nhiều vật n bậc tự do, vị trí của hệ được xác định bởi véctơ tọa độ suy rộng đủ: T = 1 n (  v  mk vCk + k  ICk k 2 k =1 Ck ) q = [q1, q2 ,..., qn ] .T 1 ( ) n = qT  JTTk mk JTk + JTRk Ak ICk (k ) T Ak JRk q (10) 2 k =1 1 1 f f = qT M(q)q =   mij (q)qiq j 2 2 i =1 j =1 n n  = − mk g  rCk (q) = − mk gT rCk (q) . (11) k =1 k =1 Phương trình Lagrange loại 2 cho từng tọa độ suy rộng: d T T  − + = Qi , i = 1,2,..., n (12) dt qi qi qi Hình 1. Hệ nhiều vật cấu trúc cây Thực hiện các đạo hàm ta nhận được: Khi đó vị trí khối tâm và ma trận côsin chỉ hướng của n  m n n m jk  khâu thứ k thuộc hệ đối với hệ cố định như sau: m ik (q)qk +    q ij − 0.5 q  qk q j  (13) k =1 j =1 k =1  k i  rCk = rCk (q), Ak = Ak (q) . (2) +gi (q) = Qi , i = 1,.., n Vận tốc khối tâm và vận tốc góc của các khâu chiếu trong Phương trình Lagrange ở dạng ma trận: hệ cố định như sau: T T d  T   T  vCk = rCk (q) = JTk (q)q, (3)   −  =Q dt  q   q  (14) k = Ak (q)ATk  k = JRk (q)q (4)    T Gia tốc khối tâm và gia tốc góc của các khâu chiếu trong = Bu − Dq −   + JE (q)F T (0)  q  hệ cố định như sau Thực hiện các đạo hàm và ta nhận được phương trình vi aCk = JTk (q)q + JTk (q)q, (5) phân chuyển động dạng ma trận như sau: k = JRk (q)q + JRk (q)q . (6) M(q)q + C(q, q)q + g(q) = Q (15) 2.2. Động lực học = Bu − Dq + JTE (q)F(0) Lực quán tính và ngẫu lực quán tính của vật rắn khi thu T    n gọn về khối tâm của vật với g(q) =  (q)  = − mi JTi T (q)g(0) (16)  q  i = 1 F k qt = −mkaCk , (7) M qt k = −ICk k − k  ICk k = −ICk k + (ICk k )  k  T  T C(q, q)q = M(q)q −   Nguyên lý d’Alembert-Lagrange  q  (17) T Đối với hệ nhiều vật chịu liên kết hôlônôm và lý tưởng 1  (qT M(q)q)  = M(q)q −   ở dạng tọa độ suy rộng đủ, tổng công ảo của các lực hoạt 2 q  động và các lực quán tính triệt tiêu trong mọi di chuyển ảo 3. Ma trận C từ phương trình Lagrange 2   Ak =  (Fka   rk + Mka  k ) k k 3.1. Các phương pháp xác định ma trận C (8) + (F   rk + M  k ) = 0 k qt qt k 3.1.1. Tính trực tiếp từ phương trình Lagrange 2 k Triển khai phương trình Lagrange 2 ở dạng các phương Từ hệ thức trên ta suy ra, tổng lực suy rộng của các lực
  3. Các phương pháp xác định ma trận Coriolis và ly tâm trong phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật trình riêng lẻ (13), các phương trình vi phân chuyển động T M 1  M  nhận được ở dạng sau: C(q, q) = (I  q) −  (q  In ) (23) q n 2  q  n n n m k =1 ik (q)qk +  cijk (q)qkq j + gi (q) = Qi , j =1 k =1 Hay T M 1  M  Theo cách triển khai này, ta có được ma trận Coriolis và C(q, q) = (In  q) − (q  In )T   q 2  q  ly tâm như sau T n M 1  M  C0 := C(q, q) = {Cij (q, q)}, C ij (q, q) =  cijk (q)qk C3 := C(q, q) = (I  q) − (qT  In )  q n  (24) k =1 2  q   mij 1 m jk  trong đó đã sử dụng tính chất (A  B)T = AT  BT . với cijk (q) =  − . (18)  q 2 qi   k  Lưu ý rằng, trong công thức trên đạo hàm ma trận theo 3.1.2. Tính theo Christoffel biến véctơ được định nghĩa như sau Trong nhiều tài liệu, đặc biệt là các sách về mô hình  m  M  m 2 mn  hóa tay máy robot [6,8,11,12,13,16], tính chất đối xứng   = 1 ... , của ma trận khối lượng được khai thác và thực hiện một  q n n 2  q q q  số biến đổi tổng sigma kép, ma trận C được đưa ra như với mk là cột thứ k của ma trận M . sau b) Tính ma trận C theo Lewis & Dawson et al. [15] C1 := C(q, q) = {C ij (q, q)}, f Theo tài liệu này, đạo hàm ma trận M theo biến véctơ q (19) C ij (q, q) = c k =1 ijk (q)qk , được định nghĩa như sau  M / q1    trong đó các đại lượng cijk (q) được thay thế bởi  M   M / q2    = . (25)  q n2 n  ...  1  mij mik m jk  M / qn  cijk (q) =  + −  (20) 2  qk q j qi   Với (25), đạo hàm ma trận theo thời gian được tính như Theo cách này tính chất phản đối xứng của ma trận sau sau đây đã được chứng minh M M(q) = (qT  In ) (26) N(q, q) = M(q) − 2C(q, q) = −NT (q, q) (21) q Từ tính chất này ta suy ra được T T  T  1  (qT M(q)q)  1 T M(q) V(s) = 21 sT [M(q) − 2C(q, q)]s = 0, s và   =   = (In  q ) q (22)  q  2 q  2 q Lưu ý rằng tính chất này là rất quan trọng trong việc thiết Thay vào (17) ta rút ra được ma trận C như sau kế bộ điều khiển dựa trên hàm Lyapunov cho hệ. M 3.1.3. Tính theo tích Kronecker C2 := C(q, q) = (qT  In ) − 21 (In  qT ) . (27) q Dựa trên khái niệm tích Kronecker [17,20,21], nhiều tác giả đưa đưa ra công thức tính ma trận C như trình bày Nếu sử dụng công thức tính đạo hàm theo thời gian ma trong một số tài liệu như [15,16,22,23]. trận khối lượng dạng a) Tính ma trận C theo Khang [22] T  M  Theo đó với khái niệm đạo hàm ma trận theo biến véctơ M = M = (q  In )  T  (28) và tích Kronecker, có được hai đạo hàm sau [22]  q  ta sẽ có M M(q) = (I  q)  T  q n  M  1 T M C(q, q) = (q  In )   − (I  q ) . (29)   q  2 n q  T T    (qT M(q)q)   M    = (q  In ) q c) Tính ma trận C theo Sanh [18,19]  q   q  Theo đó, PTVP CĐ được viết dạng Khi đó ma trận C được tính như sau M(q)q = Q + Qqt1 − Qqt2
  4. Nguyễn Quang Hoàng & Nguyễn Văn Quyền Như thế, ta có sự tương đương sau đây M C2 := C(q, q) = (qT  In ) − 21 (In  qT ) (30) C(q, q)q = −(Q − Q ) và qt 1 qt 2 q Nhận xét: Ba cách tính tính theo [Khang, Lewis-Dawson Q = Bu + JTE (q)F(0) − Dq − g(q) . và Sanh] sẽ cho cùng ma trận C. Ở đây có sự khác nhau của các biểu thức (23), (27), (29) và (30) là do định nghĩa Theo đó tác giả tính các thành phần Qqt1 , Qqt2 như sau khác nhau trong việc đạo hàm ma trận khối lượng theo  T M  biến véctơ tọa độ suy rộng. q   q1  d) Tính ma trận C theo Tuan et al. [23]  T M  1 q Q1 =  q 2  q , qt Theo đó biểu thức động năng được viết lại dạng 2  ...  1 T 1 f f  M  T = q M(q)q =   mij (q)qiq j  qT  2 2 i =1 j =1  qn  1 = (q  q)T vec[M(q) 2 q1qi    Trong biểu thức trên đã sử dụng hàm vec để véctơ hóa ma n  q2qi   n M  Q2 =  Di M  qt  =   qi  q, trận khối lượng M bằng cách đặt các cột chồng lên nhau ...  qi  i =1    i =1 theo thứ tự, theo đó qnqi  M(q) = [m1, m2 ,..., mn ] M với ký hiệu Di M = . qi và vec[M(q)] = [mT1 , mT2 ,..., mTn ]T Ở dạng tích Kronecker các biểu thức trên được viết thành Bằng cách này, các tác giả đã xác định được  M  C(q, q)q = C* (q)(q  q) ,    q1  T  M  M 1   vec[M]  1 1 M với C (q) = −  T  Q1 = (In  q )  q2  q = (In  qT ) * qt q  2 2 q q 2  q   ...   M    Lưu ý rằng (q  q) = (In  q)q = (q  In )q . Như  qn  thế, theo cách này ma trận Coriolis và ly tâm sẽ có dạng  M  như sau:    q1   M 1   vec[M] T   M  C4 := C() =  −    (In  q) (31) M  q 2  q   Q2 = (q  In )  q2  q = (qT  In ) qt T q   q  ...   M  Hoặc ta sử dụng công thức dạng    qn   M 1   vec[M] T  C4 := C() =  −    (q  In ) (32) Theo đó đạo hàm ma trận theo biến véctơ được tính  q 2  q     tương tự như Lewis, Dawson, et al. [15]. e) Cải tiến các công thức tính (29) và (30) Tổng hợp hai đại lượng Qqt1 , Qqt2 ta nhận được Do ma trận khối lượng đối xứng nên ta có được C(q, q)q = −(Qqt1 − Qqt2 ) M = MT = 21 M + 21 MT (33) 1 M M = − (In  qT ) q + (qT  In ) q Với công thức (33), nhân hai vế công thức (29) với q 2 q q và viết lại thành  1  M = (qT  In ) − (In  qT ) q  2  q Theo cách tính này, ma trận Coriolis và ly tâm sẽ là
  5. Các phương pháp xác định ma trận Coriolis và ly tâm trong phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật 3.2. Xác định C từ nguyên lý d’Alembert-Lagrange 1 M C(q, q)q = Mq − (In  qT ) q 2 q Theo nguyên lý d’Alembert-Lagrange, tổng lực suy (34) 1 1 1 M rộng của các lực quán tính và lực suy rộng của các lực = Mq + MT q − (In  qT ) q 2 2 2 q hoạt động bằng không: Với (26) ta có được Qkqt + Qka = 0, k = 1,..., f  Qqt + Qa = 0 T  M  Như ta biết lực suy rộng của các lực hoạt động (bao gồm M = T  (q  In ) (35)  q  lực điều khiển, lực ma sát nhớt tại khớp, trọng lực, lực tác dụng tại điểm cuối E) được viết lại dạng và sử dụng đẳng thức (q  In )q = (In  q)q ta suy ra Qa = Bu + JTE (q)F(0) − Dq − g(q) được Bây giờ ta tính lực suy rộng của các lực quán tính và T T  M   M  ngẫu lực quán tính. Tổng công ảo của các lực quán tính MT q =   (q  In )q =   (In  q)q (36)  q   q   qT Qqt = (Fkqt   rCk + M kqt  k ) (41) Thay (36) vào (34) ta nhận được ma trận C như sau: Tính toán trong hệ quy chiếu cố định ta được 1   T  M  T M  C8 = M+  (In  q) − (In  q ) (37)  qT Qqt = (FkqtT  rCk + MqtT k ) 2 q  k   q   Với ma trận C tính theo (37) tính chất đối xứng của Thay  rCk = JTk  q, k = JRk  q vào biểu thức trên ta M − 2C theo (21) sẽ được thỏa mãn. nhận được  qT Qqt =  qT (JTTk Fkqt + JTRk Mqtk ) f) Chuyển đổi dạng Christoffel về dạng tích Kronecker Như thế biểu thức lực suy rộng của các lực quán tính như hay dạng tính theo tích Kronecker cải tiến sau Ở đây ta sẽ biến đổi biểu thức (24) về dạng tương ứng với dạng Christoffel (19) và (20). Từ (24) ta có được Qqt = (JTk T Fkqt + JTRk Mqtk ) T = −[JTTk mk aCk + JTRk (ICk k + k ICk k )] M 1  M  C(q, q)q = (In  q)q − (qT  In )   q (38) q 2  q  Chú ý đến các biểu thức động học (5) và (6) ta có Ta thực hiện thay thế sau Qqt = −[JTk T mk aCk + JTRk (ICk k + k ICk k )] = −JTTk mk [ JTk (q)q + JTk (q)q ] M 1 M 1 M (I  q)q = (I  q)q + (I  q)q  I [ J (q)q + JRk (q)q ] q n 2 q n 2 q n −JTRk  Ck Rk  (39)  +k ICk JRk (q)q  1 M 1 M   = (In  q)q + (q  In )q 2 q 2 q Sắp xếp lại các số hạng ta nhận được Qqt = −JTTk mk JTk q − JTTk mk JTk q trong đó hệ thức (In  q)q = (q  In )q đã được sử −JTRk ICk JRk q − JTRk ICk JRk q ] − JTRk k ICk JRk q dụng. Thay biểu thức (39) vào (38) ta rút ra được biểu thức xác định ma trận C như sau: ( = − JTTk mk JTk + JTRk ICk JRk q ) 1 M 1 M ( − J mk JTk + J I JRk + JTRk k ICk JRk q T Tk T Rk Ck ) C5 C(q, q) = (In  q) + (q  In ) = −M(q)q − C(q, q)q 2 q 2 q T (40) Theo cách trình bày trên, ta có được ma trận khối lượng 1  M  − (qT  In )   M và ma trận C như sau: 2  q  ( M(q) =  JTTk mk JTk + JTRk ICk JRk ) =  (J ) So sánh biểu thức (40) và các biểu thức (19), (20) có thể T Tk mk JTk + J A I ATk JRk T Rk (k ) k Ck thấy rằng hai cách xác định ma trận C này là tương đương. Như thế, có thể nói rằng dạng (40) chính là sự C(q, q) = (JTTk mk JTk + JTRk ICk JRk + JTRk k ICk JRk ) chuyển đổi từ dạng Christoffel sang dạng tích Kronecker. Hay Với ma trận C tính theo (40) tính chất đối xứng của M − 2C theo (21) sẽ được thỏa mãn.
  6. Nguyễn Quang Hoàng & Nguyễn Văn Quyền C6 := (JTTk mk JTk + JTRk Ak ICk (k ) T Ak JRk  +   vCk , aCk = vCk  = vCk b d vCk (42) dt + J k A I A JRk ) T Rk (k ) k Ck T k (k ) và aCk = JTk (k ) q + JTk (k ) q + k(k ) JTk (k ) q. Ma trận C tính theo (42) thỏa mãn tính tính chất phản đối xứng của M − 2C . Nếu tính công của lực quán tính trong hệ cố định và công của ngẫu lực quán tính trong hệ khâu ta nhận được Các dạng cải biến của (42) ( M =  JTTk mk JTk + J(Rkk )T ICk (k ) (k ) JRk ) Lưu ý rằng, nếu sử dụng biểu thức  JT mk JTk +  (45) C9 =   Tk  k  ICk k = −(ICk k )  k  k ICk k = −S (ICk k )k  JRk ICk JRk + JRk k ICk JRk  (k )T (k ) (k ) (k )T (k ) (k ) (k )   khi đó ta sẽ nhận được một ma trận C như sau: Tương tự như công thức (42) và (43), ta có thể biến hóa các công thức (44) và (45) để nhận được rất nhiều ma C(q, q) = JTTk mk JTk + JTRk ICk JRk + JTRk S (ICk k )JRk trận C khác nhau. Tuy nhiên, các ma trận này không đáp Hay ứng được tính chất phản đối xứng của M − 2C . C7 := J mk JTk + T Tk Trong các biểu thức trên, nếu sử dụng khái niệm tích (43) Kronecker và định nghĩa đạo hàm ma trận theo véctơ là J Ak ICk T Rk Ak JRk − JTRk S (Ak ICk (k ) T Ak k )JRk (k ) T đạo hàm từng cột ma trận theo véctơ đó, ta có thể thay thế trong đó hàm S (u)  u . các đạo hàm theo thời gian của các ma trận như sau: JTk JRk Lưu ý rằng −k ICk k = S (ICk k )k nhưng JTk = (In  q), JRk = (In  q), q q −k ICk  S (ICk k ) . Do đó hai ma trận C(q, q ) tính theo hai biểu thức (42) và (43) ở trên là khác nhau. Như Ak (q) Ak (q) = (In  q) . vậy, khi sử dụng nguyên lý d’Alembert-Lagrange để thiết q lập phương trình vi phân chuyển động cho hệ nhiều vật, 4. Ví dụ minh họa ta nhận được các ma trận C khác nhau. Lưu ý rằng, với Để minh họa cho các công thức tính trên, ở đây xét tay hệ cấu trúc cây n vật (n bậc tự do), khi ta áp dụng hai máy không gian 2 bậc tự do. Các tọa độ suy rộng được cách tính số hạng −k  ICk k theo −k ICk k hoặc chọn là q = [q1, q2 ]T = [ ,  ]T . S (ICk k )k sẽ cho ta 2n ma trận C(q, q ) nói chung C x2 là khác nhau. z1 y2 z0 l Trong các biểu thức trên b  ICk = Ak ICk (k ) T Ak , A z2 B với I (k ) = const, là ma trận quán tính của vật k đối với h Ck hệ gắn liền vật có gốc tại khối tâm. x1 O  Các dạng cải biến khác suy ra từ (41) x0 Ngoài các công thức nêu trên, dưới đây là hai công Hình 2. Tay máy hai khâu không gian thức khác nữa để tính ma trận C. Nếu thực hiện triển khai công thức (41) trong các hệ trục tọa độ gắn liền khâu ta Các thông số của tay máy bao gồm: nhận được Khâu 1: M =  JTk( (k )T (k ) mk JTk + J(Rkk )T ICk (k ) (k ) JRk ) m1, uC(1) = [xC 1, 0, zC 1 ]T , IC(1) = diag([I 1x , I 1y , I 1z ]) C8 =  (J (k )T Tk (k ) mk JTk + JTk (k )T mk k(k ) JTk (k ) + ) (44) Khâu 2:  J ( (k )T (k ) (k ) Rk I J Ck Rk +J (k )T Rk  I J (k ) (k ) (k ) k Ck Rk ) m2 , uC(2) = [xC 2 , 0, 0]T , IC(2) = diag([I 2x , I 2y , I 2z ]) Trong đó gia tốc khối tâm tính trong hệ tọa độ khâu được Các ma trận quay: thực hiện theo công thức
  7. Các phương pháp xác định ma trận Coriolis và ly tâm trong phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật A10 = rotz (q1 ), A12 = rotx ( / 2)rotz (q2 ) 0 sin q   1  A =AA 0 0 1 JR2 = 0 − cos q1  . 2 1 2 1 0  Các ma trận Jacobi tịnh tiến và quay:   Áp dụng công thức ta xác định được ma trận khối  −x sin q 0  C1 1  lượng JT 1 =  xC 1 cos q1 0 ,  m 0  0 0 M =  11   2  0 0  0 I 2z + m2xC 2    JR1 = 0 0 với 1 0    m11 = I 1z + m1xC2 1 + m2b 2 + 2m2bxC 2 cos q2 +m2xC2 2 cos2 q2 + I 2x sin2 q2 + I 2y cos2 q2  −sq (b + x cq ) −x cq sq   1 C2 2 C2 1 2  Áp dụng các công thức ở phần trên, nhờ công cụ JT 2 =  cq1 (b + xC 2cq2 ) −xC 2sq1sq2  ,  0 xC 2cq2  Maple ta nhận được các ma trận C như sau:   2q2 sin q2 m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 I 2x cos q2 cos q2I 2y 0 C0 2 q1 sin q2 m2bxC 2 m2xC 2 cos q2 I 2x cos q2 cos q2I 2y 0 m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 q2 sin q2 q1 sin q2 I 2x cos q2 cos q2I 2y I 2x cos q2 cos q2I 2y C1 m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 q1 sin q2 0 I 2x cos q2 cos q2I 2y 2q2 sin q2 m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 I 2x cos q2 cos q2I 2y 0 C4 C3 C2 C0 2 q1 sin q2 m2bxC 2 m2xC 2 cos q2 I 2x cos q2 cos q2I 2y 0 m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 0 2q1 sin q2 I 2x cos q2 I 2y cos q2 C4 m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 q1 sin q2 0 I 2x cos q2 I 2y cos q2 m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 q2 sin q2 q1 sin q2 I 2x cos q2 cos q2I 2y I 2x cos q2 cos q2I 2y C5 m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 q1 sin q2 0 I 2x cos q2 cos q2I 2y m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 q2 sin q2 q1 sin q2 I 2x cos q2 cos q2I 2y I 2x cos q2 cos q2I 2y C6 m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 q1 sin q2 0 I 2x cos q2 cos q2I 2y
  8. Nguyễn Quang Hoàng & Nguyễn Văn Quyền m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 m2xC 2q2 sin q2 b xC 2 cos q2 q1 sin q2 2I 2x cos q2 2I 2y cos q 2 C7 m2bxC 2 m2xC 22 cos q2 q1 sin q2 0 I 2x cos q2 I 2y cos q2 Nhận xét: 8. Reza N. Jazar: Advanced Dynamics: Rigid Body, - Các ma trận C0 , C2 , C3 , C4 giống nhau, không thỏa Multibody, and Aerospace Applications, John Wiley & mãn tính chất phản đối xứng của (M − 2C) . Sons, 2011. 9. L.-W. Tsai, Robot analysis: the mechanics of serial and - Các ma trận C1, C5 , C6 và C 8 giống nhau và đảm parallel manipulators. John Wiley & Sons, 1999. bảo tính chất phản đối xứng của (M − 2C) . 10. M. Ceccarelli, Fundamentals of mechanics of robotic - Các ma trận C4 , C7 không giống các ma trận khác manipulation, vol. 27. Springer Science & Business Media, và cũng không đảm bảo tính chất phản đối xứng của 2013. (M − 2C) . 11. L. Sciavicco and B. Siciliano, Modelling and control of robot manipulators. Springer Science & Business Media, 5. Kết luận 2012. Bài báo này đã tổng hợp nhiều dạng công thức để xác 12. M. W. Spong, S. Hutchinson, and M. Vidyasagar, Robot định ma trận Coriolis và Ly tâm trong PTVP CĐ của hệ modeling and control, vol. 3. Wiley New York, 2006. nhiều vật. Các công thức tính trực tiếp từ biểu thức động 13. Bruno Siciliano, Oussama Khatib (2017): Springer Handbook Robotics, Springer; 2nd Ed. năng – ma trận khối lượng – cho ra cùng một kết quả mặc 14. Bruno Siciliano, Lorenzo Sciavicco, Luigi Villani, dù công thức có thể khác nhau. Đó là do cách định nghĩa Giuseppe Oriolo (2009) Robotics- Modelling, Planning đạo hàm ma trận theo véctơ tọa độ suy rộng theo các cách and Control. Springer-Verlag. khác nhau. Nếu chỉ lập PTVP CĐ để khảo sát động lực 15. Frank L. Lewis, Darren M. Dawson, Chaouki T. Abdallah - học thì ta có thể dùng tùy ý một trong các ma trận Robot Manipulator Control - Theory and Practice, CRC Coriolis và ly tâm nêu trên, vì chúng luôn đảm bảo tích Press (2003). C(q, q)q như nhau. Tuy nhiên, trong trường hợp cần 16. Nguyen Van Khang - Dynamics of Multibody Systems, (2. thiết kế bộ điều khiển dựa trên mô hình động lực cho hệ, Ed.) (in Vietnamese). Hanoi Science and Technics các ma trận dạng C1 , C5 tính theo Christoffel và C6 Publishing House, 2017. tính từ nguyên lý d’Alembert-Lagrange cũng như C 8 tỏ 17. Brewer J. - Kronecker products and matrix calculus in ra có ưu điểm hơn các công thức còn lại do nó đảm bảo system theory, IEEE Transactions on Circuits and Systems, tính chất phản đối xứng của ma trận (M − 2C) , một tính 25 (9) (1978) 772-781. chất rất hữu ích khi phân tích tính ổn định của bộ điều 18. Đỗ Sanh. Cơ học giải tích, NXB Bách khoa, Hà Nội, 2008. 19. Đỗ Sanh, Đỗ Đăng Khoa. Động lực học giải tích, NXB khiển bằng hàm Lyapunov. Bách khoa, Hà Nội, 2017. 20. Nguyen Van Khang: Partial derivative of matrix functions References with respect to a vector variable, VJMech - Vol 30, No 4 (2008). 1. Ahmed A. Shabana: Dynamics of multibody systems, 3ed., 21. Nguyen Van Khang - Consistent definition of partial Cambridge University Press, 2005. derivatives of matrix functions in dynamics of mechanical 2. Kane, T.R. and Levinson, D.A., Dynamics: theory and systems, Mechanism and Machine Theory, 45 (2010) applications, McGraw-Hill, New York 1985. 981-988. 3. Jens Wittenburg: Dynamics of multibody systems, 22. Nguyen Van Khang - Kronecker product and a new matrix Springer, 2007. form of Lagrangian equations with multipliers for 4. Schiehlen W. and Eberhard P. - Applied Dynamics (Vol. constrained multibody systems, Mechanics Research 57), Springer, 2014, pp. 215. Communications, 38 (2011) 294-299. 5. Farid Amirouche: Fundamentals of Multibody Dynamics - 23. Nguyen Thai Minh Tuan, Pham Thanh Chung, Do Dang Theory and Applications, Birkhaeuser Boston, 2006. Khoa, Phan Dang Phong. Kinematic and dynamic analysis 6. R. M. Murray, Zexiang Li, S. Shankar Sastry: A of multibody systems using the kronecker product. mathematical introduction to robotic manipulation. CRC Vietnam Journal of Science and Technology 57 (1) (2019) press, 2017. 112-127. 7. Francis C. Moon: Applied Dynamics with Applications to Multibody and Mechatronic Systems, John Wiley & Sons, Inc., 1998.
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2