Cao Văn Dũng
SV: L p K50A1s-Sp Toán – Khoa S Ph m – ĐHQGHNớ ư ạ
Nhi u Cách Đ Ch ng Minh Cho B t Đ ng Th c Schurề ể ứ ấ ẳ ứ
B t đ ng th c Schur là m t b t đ ng th c ch t và đ p m t có nhi u ngấ ẳ ứ ộ ấ ẳ ứ ặ ẹ ắ ề ứ
d ng đ gi i toán, nh ng khi áp d ng nó thì ph i ch ng minh nó xong r iụ ể ả ư ụ ả ứ ồ
m i đ c áp d ng. Bài vi t này xin nêu ra m t s cách đ ch ng minh,ớ ượ ụ ế ộ ố ể ứ
mong b n đ c có them nhi u cách hay khác n a đóng góp đ cho bài vi tạ ọ ề ữ ể ế
tr nên phong phú h n.ở ơ
Ta có bài toán b t đ ng th c Schur: V i các s th c không âm a,b,c taấ ẳ ứ ớ ố ự
luôn có b t đ ng th c sau: ấ ẳ ứ
( )( ) ( )( ) ( )( )
0≥−−+−−+−− bcaccabcbbcabaa
.
CM:
Cách 1: (Đ t n ph ) ặ ẩ ụ
Do vai trò c a a,b,c là nh nhau nên ta có th gi s ủ ư ể ả ử
cba ≥≥
.
Đ t ặ
0;0 ≥−=≥−= cbybax
nên b t đ ng th c đ c vi t l i thành:ấ ẳ ứ ượ ế ạ
( ) ( ) ( ) ( )
.0≥+++++−+ yxxyxcxyycyyxc
( )
( )
02
222 ≥++++⇔ yxxyxyxc
luôn đúng do x,y,c là các s không âm.ố
D u “=” x y ra khi ấ ả
cba ==
ho c ặ
0; == cba
ho c các hoán v c a nó.ặ ị ủ
Cách 2:
Do vai trò c a a,b,c là nh nhau nên ta có th gi s ủ ư ể ả ử
cba
≥≥
.
TH: 2 trong 3 s a,b,c b ng nhau thì b t đ ng th c hi n nhiên đúng.ố ằ ấ ẳ ứ ể
TH:
cba
>>
ta chia v trái b t đ ng th c cho ế ấ ẳ ứ
( )( )( )
0>−−− cacbba
nên b tấ
đ ng th c t ng đ ng: ẳ ứ ươ ươ
b t đ ng th c trên luôn đúng doấ ẳ ứ
.
0
0
ca
b
cb
a
cacb
ba
−
>
−
⇒
−<−<
>>
Cách 3: (Kh o sát hàm)ả
Do vai trò c a a,b,c là nh nhau nên ta có th gi s ủ ư ể ả ử
cba ≥≥
.
B t đ ng th c trên đ c vi t l i:ấ ẳ ứ ượ ế ạ
( ) ( ) ( )
.03
333 ≥+−+−+−+++ accacbbcbaababccba
.
Ta xét hàm s sau: ố
( ) ( ) ( )
accacbbcbaababccbaaf +−+−+−+++= 3)( 333
1
Ta có
( ) ( )
( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
02222
22222233)( 2222222'
≥−+−++−=−+−−−++−=
−+−+−+−=−−−−+=
cbccababacbcbacbaababa
cbcacbcababacacbabbcaxf
Nên
)(xf
đ ng bi nồ ế
Nên
( ) ( ) ( ) ( )
.023 2
23 ≥−=+−+=≥ caccaaccacbfaf
V y b t đ ng th c đ c ch ng minh xong.ậ ấ ẳ ứ ượ ứ
Cách 4: (Đánh giá)
Do vai trò a,b,c là nh nhau nên ta gi s ư ả ử
cba ≥≥
.
Khi đó ta có:
( )( )
0≥−− bcacc
.
Ta xét:
( ) ( ) ( )( )
0
22 ≥−+−=+−−=−−− cbababcbacacbbcaa
.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
00 ≥−−+−−⇔≥−−−−−⇒ abcbbcabaabacbbcabaa
.
V y c ng 2 b t đ ng th c trên ta đ c đi u ph i ch ng minh .ậ ộ ấ ẳ ứ ượ ề ả ứ
Cách 5: (D n bi n) ồ ế
Do vai trò a,b,c là nh nhau nên ta gi s ư ả ử
.cba
≤≤
Ta xét hàm s : ố
( ) ( ) ( ) ( )
accacbbcbaababccbacbaf +−+−+−+++= 3,, 333
Ta có
( ) ( ) ( )
.
2
,
2
,,,0
4
5
2
,
2
,,, 2
++
≥⇒≥−
−+=
++
−cbcb
afcbafcbacb
cbcb
afcbaf
Nh v y đ ch ng minh b t đ ng th c trên ta ch c n ch ng minh ư ậ ể ứ ấ ẳ ứ ỉ ầ ứ
( )
0,, ≥bbaf
Mà
( ) ( )
.02,, 2
223 ≥−=−+= baabaababbaf
V y b t đ ng th c trên đ c ch ng minh xong.ậ ấ ẳ ứ ượ ứ
Tài li u tham kh o.ệ ả
[1]. Ph m Kim Hùng, 2006, Sáng t o b t đ ng th c, NXB Tri Th c.ạ ạ ấ ẳ ứ ứ
[2]. Cao Văn Dũng, Nhi u cách đ ch ng minh cho b t đ ng th c Schur, T pề ể ứ ấ ẳ ứ ạ
chí toán h c tu i th 2 tháng 7/ 2008, NXB GD.ọ ổ ơ
2