intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Chia sẻ: Phan Duy Hùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST
Báo xấu
236
lượt xem 24
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

§3.1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM Cho hàm số f : D lân cận V và x là điểm trong của D, nghĩa là có f (s) f ( x) s x có giới hạn khi s x thì giá trị của giới hạn này được gọi là đạo hàm của f tại x và được ký hiệu là f ( x) , nghĩa là, (x ,x ) của x chứa trong D. Nếu tỉ số f ( x) f (s) s x s lim f ( x) x h lim f (x 0 h) h f ( x) . Ta cũng hay viết x s x (x h) f (x) f (x h) lim x...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

  1. CHÖÔNG 3 PHEÙP TÍNH VI PHAÂN CUÛA HAØM SOÁ §3.1. KHAÙI NIEÄM ÑAÏO HAØM VAØ VI PHAÂN 1. ÑAÏO HAØM Cho haøm soá f : D vaø x laø ñieåm trong cuûa D, nghóa laø coù f (s) f ( x) laân caän V (x ,x ) cuûa x chöùa trong D. Neáu tæ soá sx x thì giaù trò cuûa giôùi haïn naøy ñöôïc goïi laø ñaïo coù giôùi haïn khi s haøm cuûa f taïi x vaø ñöôïc kyù hieäu laø f ( x) , nghóa laø, f (s) f ( x) f (x h) f ( x) f ( x) lim lim . s x h sx h 0 f (x) f (x h) f ( x) f (s) f ( x) vaø Ta cuõng hay vieát f ( x) x, do ñoù f ( x) x s x (x h) lim . x x0 dy hoaëc Dx y . Neáu ñaët y f ( x) thì f ( x) coøn ñöôïc kyù hieäu laø dx Neáu hai giôùi haïn sau ñaây toàn taïi f (s) f ( x) f (s) f ( x) k1 vaø lim k2 lim sx sx sx sx thì hai giaù trò k1 vaø k2 laàn löôït ñöôïc goïi laø ñaïo haøm beân traùi vaø ñaïo haøm beân phaûi cuûa f taïi x. Dó nhieân raèng f coù ñaïo haøm taïi x khi vaø chæ khi f coù ñaïo haøm hai beân taïi x, ñoàng thôøi giaù trò ñaïo haøm hai beân baèng nhau. Tröôøng hôïp moïi ñieåm thuoäc D ñeàu laø ñieåm trong cuûa D thì ta noùi D laø taäp hôïp môû trong , vaø luùc ñoù neáu f coù ñaïo haøm taïi moïi ñieåm x thuoäc D thì ta coù ñaïo haøm baäc nhaát f :D x f ( x), vaø khi haøm soá f cuõng coù ñaïo haøm thì ta coù ñaïo haøm baäc hai cuûa f laø f :D x f ( x) ( f ) ( x), 2 dy 2 hoaëc Dx y (neáu ñaët y f ( x) ). luùc ñoù f ( x) cuõng ñöôïc vieát laø dx2
  2. Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung Toång quaùt, ta coù ñònh nghóa ñaïo haøm baäc n cuûa f theo kieåu qui naïp dn 1 y d dn y f (n ( f (n) ) ( x) hoaëc n n 1) hoaëc Dx 1 y ( x) Dx ( Dx y). dx dxn dxn 1 2. YÙ NGHÓA ÑAÏO HAØM & ÑÒNH NGHÓA SÖÏ KHAÛ VI coù ñaïo haøm taïi x. Giaû söû haøm soá f : D a) Khaùi nieäm tieáp tuyeán Goïi (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá f, nghóa laø 2 (C) x; f ( x) x D . Xeùt caùc ñieåm thuoäc (C) laø M x; f ( x) vaø f (s) f ( x) M s; f (s) thì tæ soá laø heä soá goùc caùt tuyeán MM’ cuûa ñöôøng sx cong (C), töùc laø giaù trò tan cuûa goùc löôïng giaùc hôïp bôûi tia Ox vôùi tia MM’: t y M’ f(s) f(x) M O x x s Theo ñònh nghóa ñaïo haøm, khi s x thì M’ tieán veà M treân (C), heä soá goùc cuûa caùt tuyeán MM’ tieán veà moät giaù trò giôùi haïn k, cuõng coù nghóa laø caùt tuyeán MM’ di chuyeån ñeán moät vò trí giôùi haïn Mt maø ta goïi laø tieáp tuyeán taïi M cuûa (C). Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán chính laø k f ( x). Giaù trò k f ( x) cuõng noùi leân ñoä doác cuûa (C) taïi M, hoaëc ñoä bieán 2
  3. Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán thieân cuûa haøm soá f taïi x. Do ñoù, tieáp tuyeán Mt cuûa (C) taïi ñieåm M xM ; f ( xM ) coù phöông trình laø (Mt) : y f ( xM ) f ( xM ).( x xM ) . b) Khaùi nieäm vaän toác töùc thôøi Trong cô hoïc, giaû söû moät ñoäng töû chuyeån ñoäng thaúng treân truïc x’Ox sao cho taïi thôøi ñieåm x, ñoäng töû ôû vò trí M ñònh bôûi OM f ( x). Taïi thôøi ñieåm x + h, ñoäng töû ôû vò trí M’ ñònh bôûi OM f (x h). Vaäy trong khoaûng thôøi gian h, ñoäng töû di chuyeån ñöôïc quaõng ñöôøng coù ñoä daøi ñaïi soá laø MM f (x h) f ( x) vaø vaän toác trung bình cuûa ñoäng f (x h) f ( x) . Khi h tieán veà 0, vaän töû trong khoaûng thôøi gian ñoù laø h toác trung bình tieán veà moät giaù trò giôùi haïn f ( x) maø ta goïi laø vaän toác töùc thôøi cuûa ñoäng töû taïi thôøi ñieåm x. c) Khaùi nieäm khaû vi vaø vi phaân f (x h) f ( x) (h) (h) f ( x) thì ta coù 0 khi Neáu ta ñaët h h 0, ñoàng thôøi f (x h) f (x) f (x).h h. (h) (1) Töø ñaúng thöùc (1), ta coù khaùi nieäm khaû vi sau ñaây Ñònh nghóa. Haøm soá f ñöôïc goïi laø khaû vi taïi x, vôùi x laø ñieåm trong cuûa taäp xaùc ñònh D, coù nghóa laø toàn taïi haøm soá : ( , ) vaø moät soá thöïc kx thoûa hai ñieàu sau: h , ), x h D ( (i) h , ), f ( x h) f ( x) kx .h h. (h). (ii) lim (h) ( 0 vaø h0 Deã thaáy raèng f khaû vi taïi x töông ñöông vôùi f coù ñaïo haøm taïi x. Hôn nöõa, khi f khaû vi taïi x thì soá kx trong (ii) cuõng laø f ( x). Ñaúng thöùc (1) coù theå ñöôïc vieát laïi döôùi daïng f (s) f ( x) f ( x).(s x) (s x). (s x), 3
  4. Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung x. Neáu kyù hieäu trong ñoù (s x) 0 khi s x s x, ñöôïc goïi laø soá gia cuûa x, vaø kyù hieäu f (x), ñöôïc goïi laø soá gia cuûa y f (s) y f ( x) thì ñaúng thöùc treân ñöôïc vieát laïi nhö sau y f (x). x x. ( x). Khi soá gia x “raát laø nhoû” thì ta thaáy f ( x). x, vaø yù y nghóa cuûa söï xaáp xæ naøy ñöôïc kyù hieäu bôûi ñaúng thöùc dy f ( x)dx , kyù hieäu dy ñöôïc goïi laø vi phaân cuûa haøm soá y f ( x) taïi x. Ñaúng thöùc dy f ( x)dx cuõng giaûi thích cho yù nghóa cuûa kyù hieäu ñeå chæ ñaïo dy dx f ( x) taïi ñieåm x, noùi caùch khaùc haøm cuûa y dy y f ( x). lim dx x x 0 Baøi taäp 1. Duøng ñònh nghóa ñaïo haøm, chöùng minh raèng a) Neáu f ( x) x2 thì f (x) 2x; b) Neáu f ( x) x3 thì f ( x) 3x2 ; 1 c) Neáu f ( x) x thì f ( x) (vôùi x 0); 2x 1 3 d) Neáu f ( x) x thì f ( x) (vôùi x 0). 3 3 x2 2. Söû duïng ñònh nghóa ñaïo haøm vaø chaáp nhaän keát quaû sin u lim 1, haõy chöùng minh ñaïo haøm cuûa sin laø cos; ñaïo haøm u u 0 sin . cuûa cos laø 3. Khaûo saùt ñaïo haøm beân traùi vaø beân phaûi taïi x = 2 cuûa haøm soá f ñònh bôûi f ( x) x 2 3. 4. Khaûo saùt ñaïo haøm beân traùi vaø beân phaûi taïi x = 1 cuûa haøm soá f x2 ñònh bôûi f ( x) 2x x 1. 4
  5. Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán 5. Khaûo saùt söï khaû vi taïi x = 0 cuûa haøm soá f : ñònh bôûi 1 x sin khi x 0, f ( x) x khi x 0 0. 6. Cho haøm soá f : ñònh bôûi 1 x2 sin khi x 0, f ( x) x khi x 0 0. Chöùng minh f coù ñaïo haøm taïi x = 0 vaø tính f ( x). 7. Cho haøm soá f : ñònh bôûi 1 x3 sin khi x 0, f ( x) x khi x 0 0. Chöùng minh f coù ñaïo haøm caáp hai taïi x = 0. 5
  6. Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung §3.2. COÂNG THÖÙC ÑAÏO HAØM CUÛA CAÙC HAØM SÔ CAÁP CÔ BAÛN 1. CAÙC TÍNH CHAÁT CUÛA PHEÙP TÍNH ÑAÏO HAØM Vieäc chöùng minh caùc meänh ñeà sau ñaây daønh cho sinh vieân nhö laø baøi taäp. Meänh ñeà 3.2.1. Neáu haøm soá f khaû vi (coù ñaïo haøm) taïi x thì f lieân tuïc taïi x. Meänh ñeà 3.2.2. Cho f , g : D laø hai haøm soá khaû vi taïi x D. Ta coù caùc haøm soá f ) vaø f.g laø caùc haøm khaû vi taïi x vaø g, f( (i) ( f g) ( x) f ( x) g ( x), (ii) ( f ) ( x) f ( x), (iii) ( fg) ( x) f ( x) g( x) f (x) g ( x). 1 Hôn nöõa, khi g( x) 0 thì haøm soá xaùc ñònh treân moät laân g g ( x) 1 caän cuûa x vaø laø haøm khaû vi taïi x vôùi , heä quaû laø ( x) g g 2 ( x) f f ( x) g( x) f ( x) g ( x) ( x) . g 2 g ( x) Meänh ñeà 3.2.3 [Ñaïo haøm cuûa haøm hôïp] f g . Neáu f khaû vi taïi x D1 vaø g Xeùt caùc haøm soá D1 D2 khaû vi taïi y f ( x) D2 thì haøm hôïp g f g( f ) khaû vi taïi x vaø (g f ) ( x) g ( y). f ( x) g f ( x) . f ( x). Meänh ñeà 3.2.4 [Ñaïo haøm cuûa haøm ngöôïc] Cho f : D laø moät ñôn aùnh. Neáu f khaû vi taïi x D vaø f ( x) 0 thì haøm ngöôïc 1 f : f ( D) khaû vi taïi y f ( x) f ( D) vaø 1 1 1 (f ) ( y) . f ( x) 1 ff ( y) 6
  7. Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán 2. COÂNG THÖÙC ÑAÏO HAØM CUÛA CAÙC HAØM SÔ CAÁP CÔ BAÛN Söû duïng giôùi haïn cuûa caùc haøm sô caáp cô baûn trong chöông tröôùc vaø caùc meänh ñeà ôû muïc treân, sinh vieân coù theå chöùng minh keát quaû sau f ( x) f ’ ( x) ex , x ex 1) 1 ln x, x 0 2) x x ,x 3) 0 vaø 1 x a x , vôùi 0 a 4) 1 a x . ln a 1 log a x, 0 a 1, x 0 5) x. ln a sin x, x cos x 6) cos x, x sin x 7) 1 tan2 x 1 tan x, vôùi x k ,k 8) cos2 x 2 1 cot x, vôùi x k ,k cot 2 x) (1 9) sin2 x 1 arcsin x, vôùi x 1 1 10) x2 1 1 arccos x, vôùi x 1 1 11) x2 1 1 arctan x, vôùi x 12) x2 1 1 arccot x, vôùi x 13) x2 1 Baøi taäp 1. Chöùng minh caùc meänh ñeà töø 3.2.1 ñeán 3.2.4. 7
  8. Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung 2. Söû duïng giôùi haïn cuûa caùc haøm sô caáp cô baûn, haõy chöùng minh coâng thöùc ñaïo haøm cuûa caùc haøm sô caáp cô baûn. 8
  9. Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán §3.3. CAÙC ÑÒNH LYÙ SOÁ GIA HÖÕU HAÏN Sinh vieân thöïc haønh chöùng minh caùc meänh ñeà sau coù söï höôùng daãn treân lôùp: 1. CAÙC ÑÒNH LYÙ SOÁ GIA HÖÕU HAÏN Ñònh lyù 3.3.1 [ñònh lyù Fermat]. Neáu f : D khaû vi taïi x D vaø ñaït cöïc trò ñòa phöông taïi x, nghóa laø giaù trò f(x) hoaëc laø lôùn nhaát; hoaëc laø nhoû nhaát treân moät laân caän naøo ñoù cuûa x, thì f ( x) 0. Ghi chuù. Baát kyø moät giaù trò x thoûa f ( x) 0 ñöôïc goïi laø ñieåm döøng cuûa haøm soá f. Ñònh lyù 3.3.2 [ñònh lyù Roll]. Cho haøm soá f : [a, b] lieân tuïc treân [a, b] vaø khaû vi treân (a, b) vaø f (a) f (b) thì toàn taïi c (a, b) sao cho f (c) 0. Ñònh lyù 3.3.3 [ñònh lyù Cauchy]. Cho hai haøm soá lieân tuïc f , g : [a, b] . Neáu f, g khaû vi treân khoaûng (a, b) thì toàn taïi c (a, b) sao cho g(b) g(a) . f (c) f (b) f (a) . g (c), vaø khi g(b) g(a) vaø x (a, b), g(x) 0 thì ñaúng thöùc treân ñöôïc vieát f (b) f (a) f (c) . thaønh daïng g(b) g(a) g (c) Ñònh lyù 3.3.4 [ñònh lyù Lagrange-Giaù trò trung bình]. Cho haøm soá lieân tuïc f : [a, b] . Neáu f khaû vi treân (a, b) thì toàn taïi c (a, b) sao cho f (b) f (a) (b a).f (c). 2. ÖÙNG DUÏNG ÑÒNH LYÙ LAGRANGE: KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ Töø ñònh lyù giaù trò trung bình cuûa Lagrange 3.3.4, ta coù meänh ñeà sau nhö laø moät heä quaû tröïc tieáp Meänh ñeà 3.3.5. Cho haøm soá khaû vi f : (a, b) vôùi a, b . Khi ñoù 9
  10. Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung (i) Neáu 0 , thì f laø haøm soá ñoàng bieán. x (a, b), f (x) (ii) Neáu 0 , thì f laø haøm soá nghòch bieán. x (a, b), f ( x) (iii) Neáu 0, thì f laø haøm haèng. x (a, b), f ( x) Meänh ñeà 3.3.5 ôû treân keát hôïp vôùi ñaïo haøm baäc hai cuûa f cuõng cho ta moät tieâu chuaån ñeå kieåm tra f coù ñaït cöïc trò ñòa phöông taïi moät ñieåm döøng hay khoâng, cuï theå laø Meänh ñeà 3.3.6. Cho f : (a, b) coù ñaïo haøm baäc hai treân (a, b). (i) Neáu f ( x) 0 thì f ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi x. 0 vaø f ( x) (ii) Neáu f ( x) 0 thì f ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi x. 0 vaø f ( x) Chöùng minh. Ta chöùng minh (ii), phaàn (i) töông töï. Theo ñònh nghóa veà tính khaû vi taïi x cuûa haøm soá f , ta coù laân caän V cuûa x sao cho t V, f (t) f (x) f (x).(t x) (t x). (t) vôùi lim (t) 0. Vôùi t thuoäc laân caän V1 cuûa x ñuû nhoû (yù noùi t ñuû gaàn x) t x thì f ( x) 0, vaø (t) x)2 t V1 , f (t) f ( x) (t x) f (x) (t) (t 0. Maët khaùc, f ( x) 0 neân ta coù hai ñieàu sau t V1 , neáu t x thì f (t) 0, t V1 , neáu t x thì f (t) 0. Töø hai ñieàu treân vaø aùp duïng ñònh lyù Lagrange cho haøm soá f, vôùi moïi giaù trò s thuoäc V1, toàn taïi moät soá t naèm giöõa s vaø x sao cho f (s) f ( x) f (t)(s x) 0, nghóa laø f ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi x. Keát thuùc chöùng minh.  Meänh ñeà 3.3.5 vaø 3.3.6 laø cô sôû cho vieäc khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá maø sinh vieân ñaõ laøm quen ôû trung hoïc phoå thoâng. Baøi taäp C1 (a, b). Giaû söû raèng haøm soá u v 1. Cho u, v uv khoâng trieät tieâu treân (a, b). Chöùng minh raèng giöõa hai nghieäm x1 < x2 cuûa phöông 10
  11. Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán trình u( x) 0 (neáu coù nghieäm), coù ít nhaát moät nghieäm cuûa phöông trình v( x) 0. a0 an a1 2. 1 an Chöùng minh raèng neáu 0 thì phöông n n 1 2 trình aån x: a0 xn a1 xn 1 an 1 x an 0 coù ít nhaát moät nghieäm trong khoaûng (0, 1). 3. Giaû söû phöông trình a0 xn a1 xn 1 an 1 x 0 coù nghieäm x0 0. Chöùng minh phöông trình sau coù nghieäm döông nhoû hôn x0: na0 xn 1)a1 xn 1 2 (n an 0. 1 4. xm (1 xn ), vôùi m, n * Cho f ( x) . Chöùng minh raèng 1 0 coù ít nhaát moät nghieäm x0 (0,1). phöông f ( x) 5. Chöùng minh raèng phöông trình xn px q 0 coù a) toái ña hai nghieäm neáu n chaün; b) toái ña ba nghieäm neáu n leû. 6. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau ab aab (vôùi 0 b a) ; ln a) a b b b) nyn 1 ( x xn yn nxn 1 ( x y) y) (vôùi x y 0, n 1); x 15 x (vôùi x 1 4 15); c) 8 x x x (vôùi x 1, x d) 1 1 1 0); 2 x 21 x x) x (vôùi x 1, x ln(1 0); e) x 1 x y x y tan x tan y y x f) (vôùi 0 ); 2 cos2 y cos2 y x 1 e) arctan x (vôùi x 1); 4 2 11
  12. Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung x arctan x x (vôùi x 0); g) x2 1 sin x 2 x h) 1 (vôùi 0 ). x 2 7. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau a) §3.4. ÑÒNH LYÙ TAYLOR VAØ XAÁP XÆ HAØM SOÁ Khi f coù ñaïo haøm tôùi baäc n, thì do meänh ñeà 3.3.1, caùc ñaïo haøm baäc thaáp hôn (vôùi qui öôùc f (0) f ) cuõng lieân tuïc. Neáu f coù ñaïo haøm ( n) caáp n treân D vaø f laø haøm soá lieân tuïc treân D thì ta noùi f thuoäc lôùp Cn treân D, kyù hieäu laø f Cn ( D). 1. ÑÒNH LYÙ KHAI TRIEÅN HAØM SOÁ THAØNH ÑA THÖÙC Ñònh lyù 3.4.1 [ñònh lyù Taylor vôùi dö soá Lagrange]. Cn 1 (Va ) vôùi Va laø moät laân caän cuûa a. Khi ñoù, vôùi moïi Cho f x thuoäc Va, ta coù khai trieån sau ñaây f ( k) (a) n a) k f ( x) (x Rn ( x), (T) k! k0 f (n 1) ( ) a)n 1 trong ñoù Rn ( x) (x vaø  laø moät giaù trò naøo ñoù naèm (n 1) ! giöõa a vaø x. Ghi chuù. a) Bieåu thöùc Rn(x) ñöôïc goïi laø dö soá Lagrange trong coâng thöùc Taylor. b) Coâng thöùc (T) ñöôïc goïi laø coâng thöùc khai trieån Taylor cuûa f ñeán baäc n xung quanh ñieåm a. c) Tröôøng hôïp a = 0 thì coâng thöùc (T) ñöôïc goïi laø coâng thöùc khai trieån Mac-Laurin cuûa f ñeán baäc n. 12
  13. Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán Chöùng minh. Ñaët Q(x) laø bieåu thöùc sao cho f ( k) (a) Q( x) n a) k a)n 1 . f ( x) (x (x k! (n 1) ! k0 Xeùt haøm soá F ñònh bôûi f ( k) (t) Q( x) n t) k t)n 1 F (t) f ( x) (x (x k! (n 1) ! k0 F (a). Sinh vieân töï kieåm chöùng raèng vôùi moïi t thì roõ raøng F ( x) thuoäc Va, ta coù f (n 1) (t) Q( x) ( x t)n ( x t)n . F (t) n! n! Nhö vaäy F thoûa giaû thieát cuûa ñònh lyù Roll, do ñoù toàn taïi moät giaù trò  f (n 1) naèm giöõa a vaø x sao cho F ( ) 0, suy ra Q( x) ( ) vaø ta keát thuùc chöùng minh.  2. XAÁP XÆ HAØM SOÁ BAÈNG ÑA THÖÙC Ñònh lyù 3.4.2 [Khai trieån Taylor vôùi dö soá Peano]. Cn 1 (Va ) vôùi Va laø moät laân caän cuûa a. Giaû söû f coù ñaïo Cho f haøm ñeán baäc n taïi ñieåm a. Khi ñoù, ña thöùc f ( k) (a) n a)k (vôùi x Pn ( x) (x Va ) (T_P) k! k0 laø moät ña thöùc xaáp xæ toái haûo ñeán baäc n cuûa f xung quanh ñieåm a, f ( x) Pn ( x) theo nghóa lim 0. ( x a)n xa a)n ñeå chæ cho baát kyø haøm soá Ghi chuù. Ngöôøi ta duøng kyù hieäu o( x ( x) : Va thoûa tính chaát lim 0 . Do ñoù, trong ñònh lyù treân, a)n (x x a ta coù theå vieát 13
  14. Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung f ( k) (a) n a)k a)n , vôùi x f ( x) (x o( x Va . k! k0 a)n ñöôïc goïi laø dö soá Peano cuûa khai trieån Taylor. Ñaïi löôïng o( x Chöùng minh. Tröôøng hôïp n 1 , theo ñònh nghóa ñaïo haøm cuûa f taïi f ( x) P ( x) f ( x) f (a) ñieåm a thì lim 1 f (a) 0, nghóa laø lim xa xa xa xa ñònh lyù ñuùng khi n 1. Giaû söû ñònh lyù ñuùng vôùi giaù trò n 1 . Theo pheùp qui naïp, ta seõ chöùng minh ñònh lyù ñuùng vôùi giaù trò n 1 , nghóa laø xeùt haøm soá n baát kyø g C (Va ) vaø g coù ñaïo haøm caáp n 1 taïi ñieåm a, ta chöùng g(t) Qn 1 (t) g ( k) (a) n1 a)k vaø t Va . 0 vôùi Qn 1 (t) (t minh lim k! n1 (t a) t a k0 Thaät vaäy, aùp duïng ñònh lyù Lagrange cho haøm G ñònh bôûi G(t) g(t) Qn 1 (t) , löu yù laø G(a) 0, ta coù moät giaù trò x naèm giöõa a vaø t sao cho g(t) Qn 1 (t) G(t) G(a) G ( x).(t a), suy ra g ( k) (a) n1 a) k 1 g(t) Qn 1 (t) g ( x) (x .(t a) (1) 1 (k 1) ! k g thuoäc lôùp Cn 1 (Va ) vaø f coù ñaïo haøm Maët khaùc, haøm soá f caáp n taïi ñieåm a. Töø giaû thieát qui naïp, “ñònh lyù ñuùng vôùi n” aùp duïng cho haøm f g , ta coù g ( x) Pn ( x) g( k) (a) n1 a)k 1 0 vôùi Pn ( x) (x lim (2) 1 (k 1) ! a)n (x x a k 14
  15. Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán Töø (1) vaø (2) ta suy ra g ( k) (a) n1 ( x a) k 1 g ( x) g(t) Qn 1 (t) (k 1) ! k1 lim lim a)n (t a)n 1 (t t a ta g ( x) Pn ( x) ( x a)n lim 0, ( x a)n (t a)n ta a)n (x 1. löu yù trong ñaúng thöùc cuoái cuøng laø do ñònh lyù keïp vaø a)n (t Vaäy ta keát thuùc chöùng minh.  Ñònh lyù 3.4.3 [tính duy nhaát cuûa xaáp xæ toái haûo]. Cn 1 (Va ) vôùi Va laø moät laân caän cuûa a. Giaû söû f coù ñaïo Cho f haøm ñeán baäc n taïi ñieåm a. Khi ñoù, xaáp xæ toái haûo ñeán baäc n cuûa f xung quanh ñieåm a laø duy nhaát, coù nghóa laø neáu n a)k (vôùi x Va ) Q( x) ak ( x k0 f ( k) (a) f ( x) Q( x) laø ña thöùc thoûa lim 0 thì ak ,k 0, n. k! n (x a) x a Chöùng minh. Theo ñònh lyù 3.4.3, ta coù f ( k) (a) n a) k a)n , f ( x) (x o( x k! k0 f ( k) (a) f ( x) Q( x) 1 n ak do ñoù 0 lim lim . Töø keát k! n a)n k (x a) (x x a x ak0 f ( k) (a) quaû naøy, sinh vieân haõy töï suy ra ak ,k 0, n.  k! 15
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2