Chương 4NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

92
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 4 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Hàm ngẫu nhiên là hàm mà trong kết quả thí nghiệm có thể nhận dạng cụ thể nào đó không biết trước được. Dạng cụ thể mà hàm ngẫu nhiên nhận trong kết quả thí nghiệm gọi là hiện của hàm ngẫu nhiên. Nếu thực hiện một nhóm thí nghiệm với hàm ngẫu nhiên, thì ta nhận được một nhóm hay một họ hiện của hàm đó. Rõ ràng mỗi hiện là một hàm bình thường (không ngẫu nhiên). Nếu ta cố định một giá trị...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 4NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG

X (I) = X (I) - A (I, J) * X (J) END DO END DO RETURN END Chương 4 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Hàm ngẫu nhiên là hàm mà trong kết quả thí nghiệm có thể nhận dạng cụ thể nào đó không biết trước được. Dạng cụ thể mà hàm ngẫu nhiên nhận trong kết quả thí nghiệm gọi là hiện của hàm ngẫu nhiên. Nếu thực hiện một nhóm thí nghiệm với hàm ngẫu nhiên, thì ta nhận được một nhóm hay một họ hiện của hàm đó. Rõ ràng mỗi hiện là một hàm bình thường (không ngẫu nhiên). Nếu ta cố định một giá trị nào đó của biến t của hàm ngẫu nhiên X ( t ) , thì hàm X ( t ) lúc này trở thành đại lượng ngẫu nhiên, đại lượng ngẫu nhiên này được quy ước gọi là mặt cắt của hàm ngẫu nhiên tương ứng với t đã cho. 4.1. Các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên Kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên X ( t ) là một hàm không ngẫu nhiên m x ( t ) mà tại từng giá trị của đối số t bằng kỳ vọng toán học của mặt cắt tương ứng của hàm ngẫu nhiên: m x ( t ) = M [ X ( t )] . (4.1) Về ý nghĩa, kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên là một hàm trung bình nào đó mà các hiện cụ thể biến thiên xung quanh nó (hình 4.1). 101 102
4.2. Khái niệm về hàm ngẫu nhiên dừng X(t) Trong thực tế rất hay gặp những quá trình ngẫu nhiên diễn ra trong thời gian gần như đồng nhất và có dạng những dao động ngẫu nhiên liên mx(t) tục xung quanh một giá trị trung bình nào đó; cả biên độ, cả đặc điểm của những dao động ấy không có những biến đổi đáng kể với thời gian. Những quá trình ngẫu nhiên này gọi là các quá trình ngẫu nhiên dừng. t Điều kiện của quá trình ngẫu nhiên dừng: 0 t m x ( t ) = m x = const , (4.6) Hình 4.1. Mô tả các hiện và kỳ vọng toán học D x ( t ) = D x = const , (4.7) của hàm ngẫu nhiên K x ( t, t ′) = K x ( t, t + τ ) = K x (τ ) . (4.8) Phương sai của hàm ngẫu nhiên X ( t ) là hàm không ngẫu nhiên Nhận thấy rằng từ hàm ngẫu nhiên X ( t ) luôn luôn có thể chuyển D x ( t ) , giá trị của nó tại từng giá trị t bằng phương sai của mặt cắt o thành hàm ngẫu nhiên quy tâm X ( t ) có kỳ vọng toán học bằng không, tương ứng của hàm ngẫu nhiên: do đó, thỏa mãn (4.6). Như vậy, nếu quá trình ngẫu nhiên không dừng chỉ D x ( t ) = D[ X ( t )] . (4.2) do kỳ vọng toán học biến đổi, thì điều kiện đó vẫn không cản trở chúng ta Độ lệch bình phương trung bình: nghiên cứu nó như quá trình ngẫu nhiên dừng. Điều kiện (4.7) là trường hợp bộ phận của điều kiện (4.8): khi cho t + τ = t , tức τ = 0 , ta có σ x ( t ) = Dx ( t ) . (4.3) D x ( t ) = K x ( t, t ) = kx ( 0) = const , vậy điều kiện (6.8) là điều kiện đáng Hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên X ( t ) là hàm không ngẫu kể duy nhất để hàm ngẫu nhiên là dừng. nhiên hai đối số K x ( t, t ′) mà ứng với từng cặp giá trị t, t ′ bằng mô men Trong thực tế, thay cho hàm tương quan K x (τ ) thường dùng hàm tương quan của các mặt cắt tương ứng của hàm ngẫu nhiên: tương quan chuẩn hóa: o o K x ( t, t ′) = M [ X ( t ) X ( t ′)] , (4.4) K x (τ ) ρ x (τ ) = , (4.9) o o Dx trong đó X ( t ) = X ( t ) − m x ( t ); X ( t ′) = X ( t ′) − m x ( t ′) . ở đây D x = K x (0) − phương sai không đổi của quá trình ngẫu nhiên Hàm tương quan chuẩn hóa: dừng. Hàm ρ x (τ ) chính là hệ số tương quan giữa các mặt cắt của hàm K x ( t, t ′) rx ( t, t ′) = . (4.5) ngẫu nhiên cách nhau bởi khoảng τ theo thời gian. Rõ ràng ρ x ( 0 ) = 1 . σ x ( t ) σ x ( t ′) 103 104
4.3. Tính chất egođic của những hàm ngẫu nhiên dừng ngẫu nhiên như là “đại biểu toàn quyền” của tập hợp tất cả các hiện có thể có; một hiện đủ độ dài có thể thay thế tập hợp các hiện cùng độ dài Xét hàm ngẫu nhiên X 1 ( t ) (hình 4.2) đặc trưng bằng tính chất sau: tổng cộng trong khi xử lý. mỗi hiện của nó có cùng một dấu hiệu: giá trị trung bình mà xung quanh Hàm ngẫu nhiên X 2 ( t ) (hình 4.3) không có tính chất egođic. đó xảy ra dao động và quy mô trung bình của những dao động. Ta chọn Dấu hiệu để xác định hàm ngẫu nhiên có tính chất egođic hay tùy ý một trong số các hiện ấy và tiếp tục kéo dài ra một đoạn thời gian không: Hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên dừng khi tăng τ không T . Khi T khá lớn, một hiện này có thể cho ta khái niệm khá rõ về tính giảm mà bắt đầu từ τ nào đó giữ nguyên gần như không đổi, thì điều đó chất của hàm ngẫu nhiên về toàn cục. Cụ thể, nếu lấy trung bình các giá là dấu hiệu rằng trong thành phần của hàm ngẫu nhiên có số hạng dưới trị của hiện này dọc theo trục hoành - theo thời gian, ta phải nhận được dạng đại lượng ngẫu nhiên thông thường và quá trình là không egođic. Sự giá trị gần đúng của kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên; nếu lấy trung tiến dần của hàm tương quan tới không khi τ → ∞ nói lên tính chất bình các bình phương của độ lệch so với trung bình này, ta phải nhận egođic của quá trình. được giá trị gần đúng của phương sai, v.v... 4.4. Xác định các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên dừng egođic theo một hiện X1(t) Giả sử có một hiện của hàm ngẫu nhiên X ( t ) trên khoảng thời gian đủ dài T : Hình 4.2. Hàm ngẫu nhiên T 1 có tính chất egođic ∫ mx ≈ x( t )dt ; (4.10) t 0 T 0 X2(t) T −τ o 1 o ∫ x( t ) x( t + τ )dt , kx ≈ (4.11) T −τ 0 trong đó Hình 4.3. Hàm ngẫu nhiên o không có tính chất egođic x( t ) = x( t ) − m x . (4.12) t 0 Trong thực tế, thường các tích phân (4.10) và (4.12) được thay thế bằng các tổng hữu hạn. Người ta làm như sau. Chia khoảng ghi hàm ngẫu Trong trường hợp này, ta nói rằng hàm ngẫu nhiên X 1 ( t ) có tính nhiên ra n phần bằng nhau dài Δt và ký hiệu các điểm giữa t1 , chất egođic. Tính chất egođic biểu hiện ở chỗ mỗi hiện riêng lẻ của hàm t 2 , ..., t n (hình 4.4): 105 106
biến đổi khá đều thì Δt chọn lớn, khi nó biến đổi đột ngột thì chọn Δt x ( t) nhỏ hơn. Số lượng điểm chia n khá lớn (hàng trăm hoặc vài trăm). Nếu dao động có thành phần cao tần càng lớn thì số điểm chia càng mau. Nên mx chọn Δt sao cho trong một chu kỳ của thành phần điều hòa cao tần nhất trong hàm ngẫu nhiên phải có khoảng từ 5 đến 10 điểm chia. Nhiều khi việc chọn các điểm chia không phụ thuộc vào người tính, t t2 t1 t3 tn-1 tn t4 mà do máy ghi quyết định. Trong trường hợp này phải xử lý trực tiếp số Δt liệu quan trắc, không nên nội suy thêm những giá trị giữa các quan trắc, vì điều đó không làm tăng độ chính xác của kết quả mà chỉ gây phức tạp Hình 4.4. Biểu diễn quan trắc về hàm ngẫu nhiên vô ích. 4.5. Khai triển phổ hàm ngẫu nhiên dừng trên khoảng thời 1T n 1n ∑ x( ti ) = n ∑ x( ti ) . mx = (4.13) gian hữu hạn T n i=1 i =1 Tính hàm tương quan đối với các giá trị τ tuần tự bằng Tồn tại mối liên hệ giữa đặc điểm của hàm tương quan và cấu trúc 0, Δt, 2Δt, ... Cho τ bằng bên trong của quá trình ngẫu nhiên tương ứng. Tùy thuộc vào những tần số nào và tỷ lệ ra sao giữa các tần số ấy trong thành phần của hàm ngẫu mT τ = mΔt = , nhiên, mà hàm tương quan của nó có dạng này hoặc dạng khác. n chia khoảng tích phân Nếu quá trình dao động biểu thị dưới dạng tổng của các dao động tần số khác nhau (các thành phần điều hòa), thì phổ của quá trình dao mT n − m T −τ = T − = T động là hàm mô tả phân bố của biên độ theo các tần số khác nhau. n n Đối với quá trình ngẫu nhiên cũng có thể mô tả bằng phổ. Chỉ có thành n − m đoạn bằng nhau dài Δt khác là đối với quá trình ngẫu nhiên các biên độ dao động sẽ là các đại 1 n−m o ⎛ mT ⎞ o ∑ x( ti ) x( ti+ m ) . ⎟= kx ⎜ (4.14) lượng ngẫu nhiên. Phổ của hàm ngẫu nhiên dừng sẽ mô tả sự phân bố của ⎝ n ⎠ n − m i=1 phương sai theo các tần số khác nhau. ⎛ mT ⎞ ⎟ cho các m = 0,1, 2, ... cho tới khi hàm tương quan Tính kx ⎜ o Xét hàm ngẫu nhiên dừng X ( t ) quan trắc được trên khoảng ( 0, T ) . ⎝n⎠ o trở nên thực tế bằng không hoặc dao động ít nhiều xung quanh không. Cho hàm tương quan của hàm ngẫu nhiên X ( t ) : Chọn Δt theo đặc điểm của sự biến đổi hàm ngẫu nhiên: nếu X ( t ) 107 108
K x (t , t + τ ) = K x (τ ) . ⎫ T 1 ∫k (τ )dτ D0 = ⎪ x Hàm K x (τ ) là hàm chẵn: 2T ⎪ −T ⎬ (4.16) T kx (τ ) = kx ( −τ ) 1 khi k ≠ 0 ⎪ Dk = ∫ k x (τ ) cos ω kτ dτ ⎪ T −T ⎭ và trên đồ thị được biểu diễn bằng đường cong đối xứng (hình 4.6). Khi thay đổi t từ 0 đến T đối số τ = t ′ − t biến đổi từ − T đến + T . Hoặc, vì k x (τ ) và cos ω kτ là các hàm chẵn, có thể biến đổi thành dạng ⎫ T 1 D0 = ∫ k x (τ )dτ ⎪ T0 ⎪ ⎬ (4.17) T 2 khi k ≠ 0 ⎪ Dk = ∫ k x (τ ) cos ω kτ dτ ⎪ T0 ⎭ Nếu trong biểu thức (4.15) ta chuyển đổi từ đối số τ thành hai đối số t và t ′ : Hình 4.6. Hình dạng của một hàm tương quan điển hình cos ω kτ = cos ω k (t − t ′) = cos ω k t ′ cos ω k t + sin ω k t ′ sin ω k t (4.18) Ta biết rằng hàm chẵn trên khoảng (−T , T ) có thể khai triển thành và đặt (4.18) vào công thức (4.15): chuỗi Fourier, dùng các thành phần điều hòa chẵn (các hàm cosin): ∞ K x (t , t ′) = ∑ ( Dk cos ω k t ′ cos ω k t + Dk sin ω k t ′ sin ω k t ) . ∞ k x (τ ) = ∑ Dk cos ω kτ , (4.15) k =0 k =0 (4.19) trong đó Biểu thức (4.19) chính là khai triển chuẩn hàm tương quan 2π π K x (t , t ′) . Các hàm tọa độ là cosin và sin của tần số là bội của ω1 : ω k = kω1 , ω1 = =, 2T T cos ω k t , sin ω k t (k = 0, 1, ...) . còn các hệ số Dk xác định theo công thức & Do đó, hàm ngẫu nhiên X (t ) có thể biểu thị dưới dạng khai triển chuẩn: 109 110
∞ dưới dạng phổ (phổ phương sai) (hình 4.7). Rõ ràng, tổng của tất cả các X (t ) = ∑ (U k cos ω k t + V k sin ω k t ) , & (4.20) tung độ của phổ được dựng như vậy sẽ bằng phương sai của hàm ngẫu k =0 & nhiên X (t ) . trong đó U k , V k − các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan có kỳ Công thức khai triển phổ trên khoảng thời gian vô tận. Hàm mật độ vọng toán học bằng không và các phương sai như nhau đối với mỗi cặp phổ đại lượng ngẫu nhiên với cùng một chỉ số k : ∞ D[U k ] = D[V k ] = D k . (4.21) k x (τ ) = ∫ S x (ω ) cos ωτ dω , (4.23) Các phương sai D k ứng với k khác nhau được xác định bằng các 0 ∞ 2 công thức (4.17). ∫k S x (ω ) = (τ ) cos ωτ dτ , (4.24) π x Như vậy, ta nhận được trên khoảng (0, T ) khai triển chuẩn của 0 & hàm ngẫu nhiên X (t ) mà các hàm tọa độ là cos ω k t , sin ω k t ứng với trong đó S x (ω ) − mật độ phổ của hàm ngẫu nhiên dừng. các ω k khác nhau. Khai triển kiểu như vậy gọi là khai triển phổ hàm Mật độ phổ chuẩn hóa: ngẫu nhiên dừng. S x (ω ) s x (ω ) = Khai triển phổ biểu diễn hàm ngẫu nhiên dừng thành chuỗi những . (4.25) Dx dao động điều hòa tần số khác nhau: ω1 , ω 2 , ..., ω k , ..., và các biên độ của những dao động này là các đại lượng ngẫu nhiên. & Ta xác định phương sai của hàm ngẫu nhiên X (t ) cho bởi khai triển phổ (4.20). Theo định lý về phương sai của hàm tuyến tính của các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan: ∞ ∞ D x = D [ X (t )] = ∑ (cos 2 ω k t + sin 2 ω k t ) Dk = ∑ Dk . & (4.22) k =0 k =0 Hình 4.7. Đồ thị phổ phương sai của hàm ngẫu nhiên Như vậy, phương sai của hàm ngẫu nhiên dừng bằng tổng phương sai của tất cả các hàm điều hòa của khai triển phổ của nó. Công thức Các hàm tương quan và mật độ phổ chuẩn hóa liên hệ với nhau cũng & (4.22) cho thấy rằng phương sai của hàm X (t ) phân bố theo các tần số. bằng cặp công thức biến đổi Fourier: Sự phân bố của các phương sai theo các tần số có thể thể hiện bằng đồ thị 111 112
⎫ ∞ ρ x (τ ) = ∫ s x (ω ) cos ωτ dω , ⎪ ⎪ 0 ⎬ (4.26) ∞ 2 s x (ω ) = ∫ ρ x (τ ) cos ωτ dτ . ⎪ ⎪ π0 ⎭ Cho τ = 0 , ta có ρ x (0) = 1 , vậy ∞ ∫s (ω )dω = 1 . (4.27) Hình 4.9. Hình dạng của hàm tương quan và phổ theo thí dụ 4.2 x 0 Thí dụ 4.2: Thí dụ 4.1: 1 ⎧τ s x (ω ) = , 0 < τ < τ0, ⎪1 − khi ω 2 − ω1 ρ x (τ ) = ⎨ τ 0 ⎪0 khi τ > τ 0 . ω2 ω2 ⎩ 1 ρ x (τ ) = ∫ s x (ω ) cos ωτ dω = ∫ cos ωτ dω ω 2 − ω1 2 τ0⎛ ⎞ τ 2∞ ω1 ω1 S x (ω ) = ∫ ρ x (τ ) cos ωτ dτ = ∫ ⎜1 − ⎟ cos ωτ dτ ⎜τ ⎟ π0 π 0⎝ ⎛ ω + ω1 ⎞ ⎛ ω 2 + ω1 ⎞ ⎠ 2 0 τ ⎟ sin ⎜ τ ⎟, = cos⎜ 2 τ (ω 2 − ω1 ) ⎝ 2 2 ⎠⎝2 ⎠ = . πτ 0ω (1 − cos ωτ 0 ) 2 (hình 4.9). Trong toán học, hàm thời gian f (t ) có thể biểu diễn bằng tích phân Hình dạng của các hàm được biểu diễn trên hình 4.8. Fourier theo công thức: ∞ ∫ F (σ )e 2 π iσ t dσ , f (t ) = (4.28) −∞ trong đó ∞ ∫ f (t )e − 2 π iσ t F (σ ) = dt . (4.29) −∞ Hàm F (σ ) biểu diễn trong miền tần số σ gọi là hàm phổ, hay mật Hình 4.8. Hình dạng của hàm tương quan và phổ theo thí dụ 4.1 113 114
độ phổ, nó mô tả sự phân bố của biên độ dao động theo các tần số trong không liên tục. hàm f (t ) . Khi hàm f (t ) được cho tại 2n điểm cách đều nhau trên trục thời Cặp công thức (4.28)−(4.29) gọi là những công thức biến đổi gian, các hệ số Fourier được tính theo công thức: Fourier. Khi cho trước hàm f (t ) , công thức (4.29) gọi là biến đổi πk nAk = cos U 2 n −1 − U 2 n − 2 + f (0) , Fourier thuận. Công thức (4.28) cho phép khôi phục lại hàm thời gian N f (t ) theo hàm phổ của nó gọi là biến đổi Fourier ngược. Đại lượng πk nBk = sin U 2 n −1 , | F (σ ) | 2 gọi là phổ công suất. N Khi hàm f (t ) được cho tại những điểm rời rạc trên khoảng hữu hạn U0 = 0, − N ≤ t ≤ N , người ta có thể khai triển Fourier theo công thức: U 1 = f (2n − 1) , πkt πkt ⎞ ∞ ⎛ A f (t ) = 0 + ∑ ⎜ Ak cos dt + Bk cos πk dt ⎟ , (4.30) U m = 2 cos U m −1 − U m − 2 + f (2n − m) (m = 2, 3, ..., 2n − 1) . 2 k =1 ⎝ N N⎠ n trong đó Trong hải dương học thịnh hành tập quán tính hàm phổ của chuỗi πkt N 1 thời gian thông qua biến đổi Fourier đối với hàm tự tương quan. Quan hệ ∫ Ak = (k = 0,1, 2, ...) , f (t ) cos dt (4.31) N N giữa hàm tự tương quan và hàm mật độ phổ cũng là cặp công thức biến −N đổi Fourier: πkt N 1 Bk = (k = 1, 2, ...) . ∫ f (t ) sin N dt (4.32) ∞ 1 ∫ R(τ )e N −iωτ S (ω ) = dτ , (4.33) −N 2π −∞ hoặc dưới dạng phức: ∞ iπ kt ∞ ∫ S (ω )e iωτ R (τ ) = dω . ∑C e (4.34) f (t ) = N k −∞ k = −∞ Nếu hàm thời gian là hàm thực, thì hàm tự tương quan và hàm phổ v ới của nó cũng là các hàm thực và do tính chẵn của các hàm tự tương quan iπ kt N 1 − ∫ f (t )e Ck = và phổ, cặp công thức biến đổi Fourier tương ứng có dạng đơn giản: dt . N 2N ∞ −N R(τ ) = 2 ∫ S (ω ) cos ωτdω , (4.35) Tương tự như trong công thức (4.29), đại lượng ( Ak2 + Bk2 ) được 0 gọi là công suất của dao động tần số k và được biểu diễn dưới dạng phổ 115 116
khi τ ≤ Tm ∞ ⎧1 1 π∫ S (ω ) = R(τ ) cos ωτdτ . λ (τ ) = ⎨ (4.36) khi τ > Tm ⎩0 0 Khi xác định mật độ phổ theo số liệu quan trắc gián đoạn trên - hàm Tukey: khoảng thời gian hạn chế T (độ dài quan trắc), chúng ta có ước lượng ⎧1 − 2a + 2a cos(πτ / Tm ) a = 0,25 khi τ ≤ Tm λ (τ ) = ⎨ thống kê của hàm tương quan R x (τ ) của chuỗi thực đo X (t ) trên đoạn * khi τ > Tm ⎩0 Tm như sau: - hàm Hanning: T −τ 1 ⎧0,5 [1 − cos(πτ / Tm )] khi τ ≤ Tm ∫ [ X (t ) − X R x (τ ) = ][ X (t + τ ) − X 0 ]dt , * (4.37) λ (τ ) = ⎨ T −τ 0 khi τ > Tm ⎩0 0 T 1 T∫ - hàm Parsen: X0 = X (t )dt . (4.38) ⎧1 − (τ / Tm ) 2 khi τ ≤ Tm 0 λ (τ ) = ⎨ Vì không tính tới các trị số của hàm tự tương quan khi τ > Tm và khi τ > Tm ⎩0 ước lượng R x (τ ) khác với hàm tự tương quan thực sự R x (τ ) , nên trong * - hàm Hamming: thực tế phải ước lượng hàm phổ theo công thức: ⎧0,54 + 0,46 cos(πτ / Tm ) khi τ ≤ Tm λ (τ ) = ⎨ Tm 1 khi τ > Tm ∫ λ (τ ) R ⎩0 S x (ω ) = (τ ) cos ωτ dτ , * * (4.39) π x 0 Kinh nghiệm xử lý chuỗi thời gian trong hải dương học cho thấy trong đó hàm λ (τ ) gọi là hàm là trơn tỷ trọng và Tm gọi là điểm cắt của hàm tự tương quan trong nhiều trường hợp giảm rất chậm theo thời gian hàm tự tương quan. và có tính chu kỳ rõ rệt. Khi sử dụng công thức (4.39), do không tính đến những trị số khác không đáng kể ở đoạn τ > Tm , nên ước lượng phổ sẽ Thí dụ về những hàm là trơn của các tác giả khác nhau được dùng trong phân tích các chuỗi thời gian những yếu tố hải dương học (xem bao hàm sai số hệ thống và có tính chất chệch, nhưng nếu tăng Tm thì sai [1]): số ước lượng R x (τ ) sẽ lớn tại những Tm lớn và sẽ làm tăng độ tản mạn * - hàm Bartlett: của ước lượng S * (ω ) . Biểu hiện của hiệu ứng này thể hiện ở chỗ khi lấy khi τ ≤ Tm ⎧1 λ (τ ) = ⎨ Tm nhỏ, thì các đỉnh phổ trên đồ thị sẽ bị là trơn, còn khi tăng dần Tm , khi τ > Tm ⎩0 thì các đỉnh phổ dần dần thể hiện rõ hơn, nhưng khi tăng Tm tiếp nữa, thì - hàm Bartlett cải biên: 117 118
với giá trị của hàm tương quan Ri bước trễ i được biểu diễn thành đồ thị phổ không còn phản ánh được đặc điểm của hàm phổ nữa mà tiến tới đồ thị của chính hàm thời gian X (t ) mà từ đó hàm tương quan được 2mΔt log i . Ứng với giá trị hàm phổ S i chu kỳ sẽ là log . xác định. i Như vậy, để có được ước lượng phổ khả dĩ hiện thực trong trường Thí dụ 4.3: Tính hàm tương quan và hàm phổ thực nghiệm dựa trên hợp này thực sự là một quá trình khó khăn. Trong thực tế, việc tính toán số liệu quan trắc về một quá trình ngẫu nhiên. Cho chuỗi số liệu quan trắc phổ là cả một quá trình thử nghiệm và đòi hỏi kinh nghiệm của người độ cao sóng biển ngày 6/12/1988 tại vùng biển mỏ dầu Bạch Hổ. 1 T đến phân tích. Theo [5] trong thực hành có thể lấy Tm bằng khoảng Trên hình 4.10 thể hiện kết quả tính các ước lượng hàm tương quan 5 và hàm phổ theo các công thức (4.40) và (4.41). Trục ngang của đồ thị 1 hàm phổ biểu diễn thành chu kỳ. T. 10 Trên hình 4.10 trục ngang của đồ thị hàm phổ biểu diễn thành chu Các công thức tính hàm tương quan và hàm phổ áp dụng với chuỗi kỳ dao động (giây). Nhận thấy rõ đỉnh phổ ứng với chu kỳ sóng gió bằng thời gian X (t ) được quan trắc tại n điểm thời gian với độ gián đoạn Δt khoảng 4,5 giây, các chu kỳ sóng lừng bằng khoảng 9,1 và 10,8 giây. không đổi: Trong phụ lục chương 4 có mã chương trình tính hàm tương quan và Δt n −i phổ cho trường hợp chuỗi quan trắc với độ gián đoạn Δt không đổi theo ∑ ( x j − x )( x j +i − x ) n − i j =1 các công thức (4.40) và (4.41). Ri = , i = 0,1, ..., m , (4.40) σ2 1n 1n ∑ ( x j − x ) 2 , m − bước trễ cực đại của ∑ xj , σ = trong đó x = n j =1 n j =1 hàm tương quan. ⎛ iπ ⎞ R0 2 m + ∑ R j cos⎜ Si = j ⎟, i = 0,1, ..., m . (4.41) m m j =1 ⎝m ⎠ Công thức là trơn phổ: S 0 = 0,5S 0 , S m = 0,5S m , S k = 0,5S k + 0,25( S k −1 + S k +1 ), k = 1, m − 1 . Ghi chú: Khi tính ra hàm tương quan và hàm phổ, người ta vẽ đồ thị các hàm này với trục hoành biểu diễn ở thang logarit, do đó tương ứng 119 120
Phụ lục chương 4 A. Mã Fortran của thủ tục tính các hàm tương quan theo công thức (4.40) SUBROUTINE TinhHTQ (miss, n, x, lag, r) C biến x − lưu chuỗi số liệu với độ dài quan trắc n giá trị C biến miss − giá trị khuyết thường quy ước bằng -99999 C biến lag − bước trễ cực đại của hàm tương quan C biến r − lưu các giá trị của hàm tương quan PARAMETER (n0 = 1000000, m0 = n0/8) REAL x(n0), r(0:m0) INTEGER n DO i = 0, lag n1 = n - i t1 = 0.0 t2 = 0.0 s1 = 0.0 s2 = 0.0 r(i) = 0.0 s = 0.0 DO j = 1, n1 k=j+i IF (x(j).NE.miss.AND.x(k).NE.miss) THEN s=s+1 Hình 4.10. Hàm tương quan và hàm phổ độ cao sóng quan trắc ngày 6/12/1988 tại vùng mỏ Bạch Hổ t1 = t1 + x(j) 121 122
t2 = t2 + x(k) INTEGER lag s1 = s1 + x(j)*x(j) a = pi/lag s2 = s2 + x(k)*x(k) DO i = 0, lag r(i) = r(i) + x(j)*x(k) hp(i) = 0.0 ENDIF d = a*i ENDDO DO j = 1, lag-1 t1 = t1/s hp(i) = hp(i) + r(j)*COS(d*j) t2 = t2/s ENDDO s1 = s1/s - t1*t1 hp(i) = r(0)/lag + 2*hp(i)/lag s2 = s2/s - t2*t2 IF (MOD(i, 2).EQ.0) THEN r(i) = r(i)/s - t1*t2 hp(i) = hp(i) + r(lag)/lag r(i) = r(i)/sqrt(s1*s2) ELSE ENDDO hp(i) = hp(i) - r(lag)/lag RETURN ENDIF END ENDDO hp(0) = 0.5*hp(0) hp(lag) = 0.5*hp(lag) B. Mã Fortran của thủ tục tính các hàm phổ theo công thức (4.41) s(0) = hp(0) SUBROUTINE TinhHP (r, lag, disp, s) s(lag) = hp(lag) C biến r − lưu giá trị của hàm tương quan DO i = 1, lag - 1 ! Là trơn phổ theo Turkey C biến lag − bước trễ cực đại của hàm tương quan s(i) = 0.5*hp(i) + 0.25*(hp(i-1) + hp(i+1)) C biến disp − lưu giá trị phương sai của chuỗi quan trắc ENDDO C biến s lưu chuỗi giá trị của hàm phổ RETURN PARAMETER (pi=3.141593,n0=1000000,m0=n0/8) END REAL r(0:m0), s(0:m0), hp(0:m0), picm 123 124

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn