Chuyên đ b i d ng h c sinh gi iề ồ ưỡ ọ ỏ
Ph n Iầ:
H Đ M – CÁC QUI T C TH C HÀNH PHÉP TÍNHỆ Ế Ắ Ự .
I. Khái ni m v h đ m:ệ ề ệ ế
Trong sinh ho t hàng ngày c a XH loài ng i, khái ni m v s g n li n v i vi c hìnhạ ủ ườ ệ ề ố ắ ề ớ ệ
thành các ký hi u s . T th i x a ng i ta ch a c n các s l n thì m t s hình nh tr thànhệ ố ừ ờ ư ườ ư ầ ố ớ ộ ố ả ở
ph ng ti n bi u di n các s nh : M t tr i, đôi m t, s ngón tay trên m t bàn tay… D nươ ệ ể ễ ố ư ặ ờ ắ ố ộ ầ
d n các kí hi u thay đ i khác v i hình t ng ban đ u và ch còn có ý nghĩa qui c. các kíầ ệ ổ ớ ượ ầ ỉ ướ
hi u s hi n nay )1, 2, 3, 4,..,8, 9) là nh ng qui c v kí hi u s hi n nay và có t/c qu c t .ệ ố ệ ữ ướ ề ệ ố ệ ố ế
(Nh ng v tên g i thì tùy theo các dân t c khác nhau và nó ch có tính ngôn ng h c khôngư ề ọ ộ ỉ ữ ọ
ph thu c ph m trù toán h c). Xã h i ngày càng phát tri n, c n s d ng nh ng s l n thìụ ộ ạ ọ ộ ể ầ ử ụ ữ ố ớ
các kí hi u s qui đ nh dùng không đ . V y ph i tìm cách bi u di n các s t nhiên b t kỳệ ố ị ủ ậ ả ể ễ ố ự ấ
b ng m t s ít kí hi u đã ch n. Loài ng i đã sáng t o ra vi c đ m theo nhóm các đ n vằ ộ ố ệ ọ ườ ạ ệ ế ơ ị
theo nguyên t c sau: “M t s nh t đ nh các đ n v thành l p m t đ n v b c cao h n; S nh tắ ộ ố ấ ị ơ ị ậ ộ ơ ị ậ ơ ố ấ
đ nh đó g i là c s c a phép đ m. Phép đ m v i c s nh t đ nh g i là h th ng đ m.ị ọ ơ ố ủ ế ế ớ ơ ố ấ ị ọ ệ ố ế
Hi n nay ngoài h th ng đ m c s 10, ta còn có các h th ng đ m:ệ ệ ố ế ơ ố ệ ố ế
- H c s 2 (Dùng trong máy tính đi n t ).ệ ơ ố ệ ử
- H c s 12 ( ng v i 12 l n trăng tròn trong 1 năm).ệ ơ ố Ứ ớ ầ
- H c s 5 ( ng v i 5 ngón tay trên m t bàn tay).ệ ơ ố Ứ ớ ộ
- H c s 60 ( ng v i s đo th i gian).ệ ơ ố ứ ớ ố ờ
II. H đ m theo c sệ ế ơ ố:
1. H đ m theo c s 10:ệ ế ơ ố
a. Cách đ c:ọ
10 đ n v b c này l p thành m t đ n v b c cao h n (hàng 2). 10 đ n v hàng 2 l pơ ị ậ ậ ộ ơ ị ậ ơ ơ ị ậ
thành m t đ n v hàng 3 ….. Đ gi m b t cách g i tên các hàng, ng i ta qui đ nh ba hàngộ ơ ị ể ả ớ ọ ườ ị
liên ti p nhau t o thành m t l p:ế ạ ộ ớ
L p đ n v g m hàng 1, hàng 2, hàng 3.ớ ơ ị ồ
L p nghì g m hàng 4, hàng 5, hàng 6.ớ ồ
=> T đó mu n đ c m t s nào đó, ta l n l t đ c s đ n v kèm theo hàng theo th t làừ ố ọ ộ ố ầ ượ ọ ố ơ ị ứ ự
b c cao đ n b c th p trong l p cao nh t và đ c tên l p và c ti p t c nh v y.ậ ế ậ ấ ớ ấ ọ ớ ứ ế ụ ư ậ
Ví d : 234 110 768. Đ c là: Hai trăm ba t tri u, m t trăm m i ngh ,b y trăm sáu támụ ọ ư ệ ộ ườ ị ả
đ n v .ơ ị
b. Cách vi tế: theo hai cách
- C ng và tr kí hi u.ộ ừ ệ
- Theo nguyên t c giá tr v trí.ắ ị ị
* Cách bi u di n: ể ễ
+ Ta vi t các kí hi u (1, 2, 3, …… , 9 và 0) theo hàng ngang v i nguyên t c quiế ệ ớ ắ
c cùng m t s vi t hai hàng k ti p thì giá tr c a kí hi u bên trái g p 10 l n giá tr kíướ ộ ố ế ở ế ế ị ủ ệ ấ ầ ị
hi u vi t bên ph i…ệ ế ả
GV: Lê Chí Tôn 1
Chuyên đ b i d ng h c sinh gi iề ồ ưỡ ọ ỏ
+ Nh v y khi bi t c s c a h đ m, ta có th bi u di n b t kì m t s tư ậ ế ơ ố ủ ệ ế ể ể ễ ấ ộ ố ự
nhiên nào d i d ng m t dòng các ch . Dòng này có th phân tích thành m t t ng trong đóướ ạ ộ ữ ể ộ ổ
m i s h ng là m t lũy th a c a c s nhân v i m t sô thích h p nh h n c s .ỗ ố ạ ộ ừ ủ ơ ố ớ ộ ợ ỏ ơ ơ ố
Ví dụ: Có m t s có 6 ch s , ch s hàng 6 kí hi u là ch a, hàng 5 là ch b, hàng 4 làộ ố ữ ố ữ ố ệ ữ ữ
ch c, hàng 3 là ch d, hàng 2 là ch e, hàng 1 là ch f: ữ ữ ữ ữ
0
ef .100000 .10000 .1000 .100 .10 .10
5 4 3 2 1
= a.10 .10 .10 .10 .10
N abcd a b c d e f
b c d e f
= = + + + + +
+ + + + +
2. H đ m theo c s tùy ý:ệ ế ơ ố
T ng t nh h th p phân, nh ng c n chú ý trong h c s k, thì c k đ n v l pươ ự ư ệ ậ ư ầ ệ ơ ố ứ ơ ị ậ
thành m t hàng nào đó thì l p thành m t đ n v c a hàng cao ti p theo. Vì th c n ch n k tênộ ậ ộ ơ ị ủ ế ế ầ ọ
riêng đ u tiên và tên các hàng đ dùng vào vi c đ c s . Ch n k – 1 kí hi u đ u và kí hi u 0ầ ể ệ ọ ố ọ ệ ầ ệ
đ vi t s .ể ế ố
Ví dụ:
5 4 3 2 1 0
= abcdef = a.k b.k c.k + d.k e.k f.kN+ + + +
Chú ý: Đ kh i l m l n v i các s trong c s 10, ta vi t thêm ch s vào phía d iể ỏ ầ ẫ ớ ố ơ ố ế ữ ố ướ
bên ph i s đó.ả ố 425 c s 5 = 425ơ ố (5).
Lũy th a c a c s ph i b ng s ch s trong ssó đó tr đi 1.ừ ủ ơ ố ả ằ ố ữ ố ừ
3. Đ i m t s t h th ng c s này sang h th ng c s khác:ổ ộ ố ừ ệ ố ơ ố ệ ố ơ ố
a. Nh n xét:ậ
M t s đã cho vi t theo h c s a mu n vi t sang h c s b thì l y h c s th pộ ố ế ệ ơ ố ố ế ệ ơ ố ấ ệ ơ ố ậ
phân làm trung gian. Vì th ta xét hai tr ng h p đ i sau:ế ườ ợ ổ
- Vi t m t s t h c s tùy ý sang h th p phân.ế ộ ố ừ ệ ơ ố ệ ậ
- Vi t m t s t h c s th p phân sang h c s khác.ế ộ ố ừ ệ ơ ố ậ ệ ơ ố
b. Cách đ i:ổ
* - Cách đ i th nh t: d a vào cách bi u di n m t s thành m t t ng các lũy th a.ổ ứ ấ ự ể ễ ộ ố ộ ổ ừ
Ví d :ụ Đ i 11101ổ(2) sang h th p phânệ ậ
11101(2) =1.24 + 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 = 16 + 8 + 4 + 1 = 29
- Cách đ i th hai: d a vào nguyên t c vi t s theo th t v trí. Gi a hai hàng kổ ứ ự ắ ế ố ứ ự ị ữ ế
ti p nhau thì đ n v hàng bên trái g p k l n đ n v hàng bên ph i. D a vào nguyênế ơ ị ấ ầ ơ ị ả ự
t c đó, ta đ i các hàng ra đ n v và vi t theo h th p phân.ắ ổ ơ ị ế ệ ậ
Ví d : Vi t 32075ụ ế (8) ra h th p phânệ ậ
- 3.8 + 2 = 26 đ n v hàng 4ơ ị
- 26.3 + 0 = 208 đ n v hàng 3ơ ị
- 208.8 + 7 = 1671 đ n v hàng 2ơ ị
- 1671.8 + 5 = 13373 đ n v hàng 1ơ ị
V y 32075ậ(8) = 13373(10).
* C s lý lu n c a cách đ i này:ơ ở ậ ủ ổ
Gi s ta có m t s N vi t theo h th p phân – Ta c n đ i nó ra s có c s r vi tả ử ộ ố ế ệ ậ ầ ổ ố ơ ố ế
d i d ng: ướ ạ
( )
1 0
10
N P P P
nnr
� �
￷
￷￷
￷￷
￷￷
￷
� �
=���
-
. Nghĩa là ta ph i tìm ra các ch s Pả ữ ố i < r sao cho: N = Pn.rn
+ Pn-1.rn-1 +……….+ P1.r + P0.
GV: Lê Chí Tôn 2
Chuyên đ b i d ng h c sinh gi iề ồ ưỡ ọ ỏ
Th t v y; ta có th bi u di n N nh sau:ậ ậ ể ể ễ ư
N = (Pn.rn-1 + Pn-1. rn-2 + ……+ P1.r0)r + P0
V y Pậ0 là s d trong phép chia N co r và th ng là: ố ư ươ
Q0 = Pn.rn-1 + Pn-1.rn-2 + ….. + P1.
Ta l i có: Qạ0 = (Pn.rn-2 + Pn-1.rn-3 + …. + P2).r + P1
V y Pậ1 là s d c a Qố ư ủ 0 cho r và th ng là:ươ
Q1 = Pn.rn-2 + Pn-1.rn-3 + …. + P2.
Ti p t c chia Qế ụ 1 cho r ta đ c th ng Qượ ươ 2 và s d Pố ư 2 …..
Cu i cùng ta có Qốn-1 chia cho r đ c s th ng Qượ ố ươ n = 0.
Tóm l i: N u chia liên ti p s N và các th ng b ph n (Qạ ế ế ố ươ ộ ậ 0, Q1, Q2,….Qn-1) cho r ta
đ c các ch s Pượ ữ ố i là các ch c u t o nên s Nữ ấ ạ ố (r) và vi t các s đó theo th t :ế ố ứ ự
1 2 1 0
......
n n n
P P P PP
- -
.
Ví d :ụ Vi t 138 theo c s 3ế ơ ố
(3)
138 = 12010
4
3
2
1
P
P
P
0
P
P
1
0
2
1
3
3
3
3
3
0
3
0
1
5
0
138
4. Bài t p ng d ng:ậ ứ ụ
1. Tính s trang c a m t quy n sách bi t r ng đ đánh s trang quy n sách đó ng iố ủ ộ ể ế ằ ể ố ể ườ
ta ph i dùng 3897 ch s .ả ữ ố
Gi i:ả
- Đ đánh s trang có 1 ch s ph i dùng 9 x 1 = 9 ch s .ể ố ữ ố ả ữ ố
- Đ đánh s trang có 2 ch s ph i dùng 90 x 2 = 180 ch s .ể ố ữ ố ả ữ ố
- Đ đánh s trang có 3 ch s ph i dùng 900 x 3 = 270 ch s .ể ố ữ ố ả ữ ố
Nh v y đã dùng h t 9 + 180 + 2700 = 2889 ch s . ư ậ ế ữ ố
S còn l i ph i dùng đ đánh trang có 4 ch s là: 3897 – 2889 = 1008 (ch s ). M i trangố ạ ả ể ữ ố ữ ố ỗ
có 4 ch s nên s trang có 4 ch s c n đánh là: ữ ố ố ữ ố ầ
1008 : 4 = 252 (trang). S nh nh t có 4 ch s là s 1000.ố ỏ ấ ữ ố ố
V y cu n sách đó có: 1000 + 252 – 1 = 1251 (trang).ậ ấ
……………………….
2. Cho m t s có hai ch s , ch s hàng ch c là a, ch s hàng đ n v là b.ộ ố ữ ố ữ ố ụ ữ ố ơ ị
a. N u ta xen gi a hai ch s đó m t s 0 , thì s m i l n h n s cũ bao nhiêu l n?ế ữ ữ ố ộ ố ố ớ ớ ơ ố ầ
b. N u ta xen gi a 2, 3, 4,……, n ch s 0 thì s m i tăng bao nhiêu đ n v so v i sế ữ ữ ố ố ớ ơ ị ớ ố
cũ.
GV: Lê Chí Tôn 3
Chuyên đ b i d ng h c sinh gi iề ồ ưỡ ọ ỏ
Gi i:ả
S đã cho có th bi u di n: ố ể ể ễ
10ab a b= +
.
- Sau khi xen vào gi a hai ch s đ ch s 0 ta có: ữ ữ ố ố ữ ố
0 100a b a b= +
.
Hi u c a hai s m i và cũ là: ệ ủ ố ớ
0 100 10 90a b ab a b a b a- = + - - =
.
- K t qu này (90a) cho ta k t lu n làế ả ế ậ : vi c thay đ i trên không ph thu c ch s đ nệ ổ ụ ộ ữ ố ơ
v .ị
N u tăng thêm 2, 3, 4, …… n ch s 0 thì k t qu tăng ế ữ ố ế ả
n ch s��
900........0.a
14442 4443
………………………………
3. T ng các ch s c a m t s có hai ch s là 10. N u tahy đ i th t các ch s thìổ ữ ố ủ ộ ố ữ ố ế ổ ứ ự ữ ố
s m i gi m 36 đ n v . Tìm s đó.ố ớ ả ơ ị ố
Gi i:ả
S đã cho có th vi t: ố ể ế
ab
và a + b = 10 (1)
N u đ i th t ch s thì s m i là: ế ổ ứ ự ữ ố ố ớ
ba
. Khi đó ta có:
ab ba 10a + b -10b - a = 36 => 9a - 9b = 36 => a - b = 4 (2)- =
(1) v (2) ta c : � � � a + b = 10 2a = 14 a = 7 vﾵ b = 3.
a - b = 4
S cho l : 73��� �
T￷
￷
￷
￷
￷
￷
￷� �
………………………………
4. Tìm m t s g m ba ch s , bi t t ng các ch s là 14, ch s hàng ch c g p đôiộ ố ồ ữ ố ế ổ ữ ố ữ ố ụ ấ
ch s hàng đ n v và s đ o ng c l n h n s cũ là 198.ữ ố ơ ị ố ả ượ ớ ơ ố
Gi i:ả
S đã cho có th vi t ố ể ế
abc
. Theo bài ra thì:
a + b + c = 14 (1)
b = 2c (2)
cba abc 198 (3)- =
T (3) ta có: 100c + 10b + a – 100a – 10b – c = 198ừ
=> 99c – 99a = 198 => c- a = 2 => c = a + 2.
Thay c = a + 2 và (1) và (2) ta có:
a + b + a + 2 = 14 2a + b = 12 2b = 16 b = 8
b = 2. (a + 2) -2a + b = 4
￷￷
￷￷
� � � �
� �
� �
￷
￷￷
￷￷
b 8
c = = 4 vﾵ a = 14 - (4 + 8) = 14 - 12 = 2
2 2 =�
. S ph i tìm là 284.ố ả
………………………………….
5. Vi t theo h c s 5 dãy s t 1 đ n 30.ế ệ ơ ố ố ừ ế
Gi i:ả
Ta vi t: 1. 2. 3. 4. 10. 11. 12. 13. 14. 20. 21. 22. 23. 24. 30. 31. 32. 33. 34. 40. 41. 42. 43. 44.ế
50. 51. 52. 53. 54. 60.
…………………………………..
GV: Lê Chí Tôn 4
Chuyên đ b i d ng h c sinh gi iề ồ ưỡ ọ ỏ
6. Đ i s 1463ổ ố (7) sang c s 12.ơ ố
Gi i:ả
* Ta đ i 1463ổ(7) sang c s 10ơ ố
1463(7) = 1. 73 + 4. 72 + 6. 71 + 3 = 343 + 196 + 42 + 3 = 584
* Ta đ i 584 sang c s 12ổ ơ ố
104
8
0
0
4
4
48
48
12
12
12
48
584
V y ậ1463(7) = 408(12)
…………………………………..
7. V i c s nào thì 167 đ c vi t thành 326 ?ớ ơ ố ượ ế
Gi i:ả
G i x là c s c a 326 ta có: 167ọ ơ ố ủ (10) = 326(x)
Đ i 326ổ(x) ta đ cượ : 326(x) = 3.x2 + 2.x + 6.
Gi i ph ng trình b c hai 3xả ươ ậ 2 + 2x + 6 = 167 ta đ c xượ 1 = 7 ; x2 =
23
3
-
.
X = 7 là th a mãn. V y v i c s 7 thì 326 = 167ỏ ậ ớ ơ ố (10).
……………………………………
8. Trong h th ng c s 8 hãy tính t ng ệ ố ơ ố ổ
43 17+
?
Gi iả :
- Mu n tính t ng ố ổ
43 17+
ta đ i các s h ng ra c s th p phânổ ố ạ ơ ố ậ
43(8) = 4.8 + 3 = 35
17(8) = 1.8 + 7 = 15
=>
43
(8) +
17
(8) = 50(10)
- Ta đ i t ng tìm đ c sang c s 8ổ ổ ượ ơ ố
2
6
0
6
8
8
50
V y 43ậ(8) + 17(8) = 62(8)
……………………………………
9. Trong m t h th ng đ m ta có 53 + 76 = 140. Hãy xác đ nh c s c a h th ng đóộ ệ ố ế ị ơ ố ủ ệ ố ?
Gi iả :
G i c s c a h th ng đ m đó là x, ta cóọ ơ ố ủ ệ ố ế :
GV: Lê Chí Tôn 5