Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i ưỡ
Ph n I:
H Đ M – CÁC QUI T C TH C HÀNH PHÉP TÍNH .
I. Khái ni m v h đ m: ế
Trong sinh ho t hàng ngày c a XH loài ng i, khái ni m v s g n li n v i vi c hình ườ
thành các ký hi u s . T th i x a ng i ta ch a c n các s l n thì m t s hình nh tr thành ư ườ ư
ph ng ti n bi u di n các s nh : M t tr i, đôi m t, s ngón tay trên m t bàn tay… D nươ ư
d n các hi u thay đ i khác v i hình t ng ban đ u ch còn ý nghĩa qui c. các ượ ướ
hi u s hi n nay )1, 2, 3, 4,..,8, 9) nh ng qui c v hi u s hi n nay và có t/c qu c t . ướ ế
(Nh ng v tên g i thì tùy theo các dân t c khác nhau ch tính ngôn ng h c khôngư
ph thu c ph m trù toán h c). h i ngày càng phát tri n, c n s d ng nh ng s l n thì
các hi u s qui đ nh dùng không đ . V y ph i tìm cách bi u di n các s t nhiên b t kỳ
b ng m t s ít hi u đã ch n. Loài ng i đã sáng t o ra vi c đ m theo nhóm các đ n v ườ ế ơ
theo nguyên t c sau: “M t s nh t đ nh các đ n v thành l p m t đ n v b c cao h n; S nh t ơ ơ ơ
đ nh đó g i là c s c a phép đ m. Phép đ m v i c s nh t đ nh g i là h th ng đ m. ơ ế ế ơ ế
Hi n nay ngoài h th ng đ m c s 10, ta còn có các h th ng đ m: ế ơ ế
- H c s 2 (Dùng trong máy tính đi n t ). ơ
- H c s 12 ( ng v i 12 l n trăng tròn trong 1 năm). ơ
- H c s 5 ( ng v i 5 ngón tay trên m t bàn tay). ơ
- H c s 60 ( ng v i s đo th i gian). ơ
II. H đ m theo c s ế ơ :
1. H đ m theo c s 10: ế ơ
a. Cách đ c:
10 đ n v b c này l p thành m t đ n v b c cao h n (hàng 2). 10 đ n v hàng 2 l pơ ơ ơ ơ
thành m t đ n v hàng 3 ….. Đ gi m b t cách g i tên các hàng, ng i ta qui đ nh ba hàng ơ ườ
liên ti p nhau t o thành m t l p:ế
L p đ n v g m hàng 1, hàng 2, hàng 3. ơ
L p nghì g m hàng 4, hàng 5, hàng 6.
=> T đó mu n đ c m t s nào đó, ta l n l t đ c s đ n v kèm theo hàng theo th t ượ ơ
b c cao đ n b c th p trong l p cao nh t và đ c tên l p và c ti p t c nh v y. ế ế ư
Ví d : 234 110 768. Đ c là: Hai trăm ba t tri u, m t trăm m i ngh ,b y trăm sáu tám ư ườ
đ n v .ơ
b. Cách vi tế: theo hai cách
- C ng và tr kí hi u.
- Theo nguyên t c giá tr v trí.
* Cách bi u di n:
+ Ta vi t các hi u (1, 2, 3, …… , 9 0) theo hàng ngang v i nguyên t c quiế
c cùng m t s vi t hai hàng k ti p thì giá tr c a hi u bên trái g p 10 l n giá tr ướ ế ế ế
hi u vi t bên ph i… ế
GV: Lê Chí Tôn 1
Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i ưỡ
+ Nh v y khi bi t c s c a h đ m, ta th bi u di n b t m t s tư ế ơ ế
nhiên nào d i d ng m t dòng các ch . Dòng này th phân tích thành m t t ng trong đóướ
m i s h ng là m t lũy th a c a c s nhân v i m t sô thích h p nh h n c s . ơ ơ ơ
Ví d: Có m t s có 6 ch s , ch s hàng 6 kí hi u là ch a, hàng 5 là ch b, hàng 4
ch c, hàng 3 là ch d, hàng 2 là ch e, hàng 1 là ch f:
0
ef .100000 .10000 .1000 .100 .10 .10
5 4 3 2 1
= a.10 .10 .10 .10 .10
N abcd a b c d e f
b c d e f
= = + + + + +
+ + + + +
2. H đ m theo c s tùy ý: ế ơ
T ng t nh h th p phân, nh ng c n chú ý trong h c s k, thì c k đ n v l pươ ư ư ơ ơ
thành m t hàng nào đó thì l p thành m t đ n v c a hàng cao ti p theo. Vì th c n ch n k tên ơ ế ế
riêng đ u tiên tên các hàng đ dùng vào vi c đ c s . Ch n k 1 hi u đ u hi u 0
đ vi t s . ế
Ví d:
5 4 3 2 1 0
= abcdef = a.k b.k c.k + d.k e.k f.kN+ + + +
Chú ý: Đ kh i l m l n v i các s trong c s 10, ta vi t thêm ch s vào phía d i ơ ế ướ
bên ph i s đó. 425 c s 5 = 425ơ (5).
Lũy th a c a c s ph i b ng s ch s trong ssó đó tr đi 1. ơ
3. Đ i m t s t h th ng c s này sang h th ng c s khác: ơ ơ
a. Nh n xét:
M t s đã cho vi t theo h c s a mu n vi t sang h c s b thì l y h c s th p ế ơ ế ơ ơ
phân làm trung gian. Vì th ta xét hai tr ng h p đ i sau:ế ườ
- Vi t m t s t h c s tùy ý sang h th p phân.ế ơ
- Vi t m t s t h c s th p phân sang h c s khác.ế ơ ơ
b. Cách đ i:
* - Cách đ i th nh t: d a vào cách bi u di n m t s thành m t t ng các lũy th a.
Ví d : Đ i 11101(2) sang h th p phân
11101(2) =1.24 + 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 = 16 + 8 + 4 + 1 = 29
- Cách đ i th hai: d a vào nguyên t c vi t s theo th t v trí. Gi a hai hàng k ế ế
ti p nhau thì đ n v hàng bên trái g p k l n đ n v hàng bên ph i. D a vào nguyênế ơ ơ
t c đó, ta đ i các hàng ra đ n v và vi t theo h th p phân. ơ ế
Ví d : Vi t 32075 ế (8) ra h th p phân
- 3.8 + 2 = 26 đ n v hàng 4ơ
- 26.3 + 0 = 208 đ n v hàng 3ơ
- 208.8 + 7 = 1671 đ n v hàng 2ơ
- 1671.8 + 5 = 13373 đ n v hàng 1ơ
V y 32075(8) = 13373(10).
* C s lý lu n c a cách đ i này:ơ
Gi s ta m t s N vi t theo h th p phân Ta c n đ i ra s c s r vi t ế ơ ế
d i d ng: ướ
( )
1 0
10
N P P P
nnr
=���
-
. Nghĩa là ta ph i tìm ra các ch s P i < r sao cho: N = Pn.rn
+ Pn-1.rn-1 +……….+ P1.r + P0.
GV: Lê Chí Tôn 2
Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i ưỡ
Th t v y; ta có th bi u di n N nh sau: ư
N = (Pn.rn-1 + Pn-1. rn-2 + ……+ P1.r0)r + P0
V y P0 là s d trong phép chia N co r và th ng là: ư ươ
Q0 = Pn.rn-1 + Pn-1.rn-2 + ….. + P1.
Ta l i có: Q0 = (Pn.rn-2 + Pn-1.rn-3 + …. + P2).r + P1
V y P1 là s d c a Q ư 0 cho r và th ng là:ươ
Q1 = Pn.rn-2 + Pn-1.rn-3 + …. + P2.
Ti p t c chia Qế 1 cho r ta đ c th ng Qượ ươ 2 và s d P ư 2 …..
Cu i cùng ta có Qn-1 chia cho r đ c s th ng Qượ ươ n = 0.
Tóm l i: N u chia liên ti p s N các th ng b ph n (Q ế ế ươ 0, Q1, Q2,….Qn-1) cho r ta
đ c các ch s Pượ i là các ch c u t o nên s N (r) và vi t các s đó theo th t :ế
1 2 1 0
......
n n n
P P P PP
- -
.
Ví d : Vi t 138 theo c s 3ế ơ
(3)
138 = 12010
4
3
2
1
P
P
P
0
P
P
1
0
2
1
3
3
3
3
3
0
3
0
1
5
0
138
4. Bài t p ng d ng:
1. Tính s trang c a m t quy n sách bi t r ng đ đánh s trang quy n sách đó ng i ế ườ
ta ph i dùng 3897 ch s .
Gi i:
- Đ đánh s trang có 1 ch s ph i dùng 9 x 1 = 9 ch s .
- Đ đánh s trang có 2 ch s ph i dùng 90 x 2 = 180 ch s .
- Đ đánh s trang có 3 ch s ph i dùng 900 x 3 = 270 ch s .
Nh v y đã dùng h t 9 + 180 + 2700 = 2889 ch s . ư ế
S còn l i ph i dùng đ đánh trang 4 ch s là: 3897 2889 = 1008 (ch s ). M i trang
có 4 ch s nên s trang có 4 ch s c n đánh là:
1008 : 4 = 252 (trang). S nh nh t có 4 ch s là s 1000.
V y cu n sách đó có: 1000 + 252 – 1 = 1251 (trang).
……………………….
2. Cho m t s có hai ch s , ch s hàng ch c là a, ch s hàng đ n v là b. ơ
a. N u ta xen gi a hai ch s đó m t s 0 , thì s m i l n h n s cũ bao nhiêu l n?ế ơ
b. N u ta xen gi a 2, 3, 4,……, n ch s 0 thì s m i tăng bao nhiêu đ n v so v i sế ơ
cũ.
GV: Lê Chí Tôn 3
Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i ưỡ
Gi i:
S đã cho có th bi u di n:
10ab a b= +
.
- Sau khi xen vào gi a hai ch s đ ch s 0 ta có:
0 100a b a b= +
.
Hi u c a hai s m i và cũ là:
0 100 10 90a b ab a b a b a- = + - - =
.
- K t qu này (90a) cho ta k t lu nế ế : vi c thay đ i trên không ph thu c ch s đ n ơ
v .
N u tăng thêm 2, 3, 4, …… n ch s 0 thì k t qu tăng ế ế
n ch s
900........0.a
14442 4443
………………………………
3. T ng các ch s c a m t s hai ch s 10. N u tahy đ i th t các ch s thì ế
s m i gi m 36 đ n v . Tìm s đó. ơ
Gi i:
S đã cho có th vi t: ế
ab
và a + b = 10 (1)
N u đ i th t ch s thì s m i là: ế
ba
. Khi đó ta có:
ab ba 10a + b -10b - a = 36 => 9a - 9b = 36 => a - b = 4 (2)- =
(1) v (2) ta c : a + b = 10 2a = 14 a = 7 vᄉ b = 3.
a - b = 4
S cho l : 73��
T
………………………………
4. Tìm m t s g m ba ch s , bi t t ng các ch s 14, ch s hàng ch c g p đôi ế
ch s hàng đ n v và s đ o ng c l n h n s cũ là 198. ơ ượ ơ
Gi i:
S đã cho có th vi t ế
abc
. Theo bài ra thì:
a + b + c = 14 (1)
b = 2c (2)
cba abc 198 (3)- =
T (3) ta có: 100c + 10b + a – 100a – 10b – c = 198
=> 99c – 99a = 198 => c- a = 2 => c = a + 2.
Thay c = a + 2 và (1) và (2) ta có:
a + b + a + 2 = 14 2a + b = 12 2b = 16 b = 8
b = 2. (a + 2) -2a + b = 4
b 8
c = = 4 v a = 14 - (4 + 8) = 14 - 12 = 2
2 2 =
. S ph i tìm là 284.
………………………………….
5. Vi t theo h c s 5 dãy s t 1 đ n 30.ế ơ ế
Gi i:
Ta vi t: 1. 2. 3. 4. 10. 11. 12. 13. 14. 20. 21. 22. 23. 24. 30. 31. 32. 33. 34. 40. 41. 42. 43. 44.ế
50. 51. 52. 53. 54. 60.
…………………………………..
GV: Lê Chí Tôn 4
Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i ưỡ
6. Đ i s 1463 (7) sang c s 12.ơ
Gi i:
* Ta đ i 1463(7) sang c s 10ơ
1463(7) = 1. 73 + 4. 72 + 6. 71 + 3 = 343 + 196 + 42 + 3 = 584
* Ta đ i 584 sang c s 12 ơ
104
8
0
0
4
4
48
48
12
12
12
48
584
V y 1463(7) = 408(12)
…………………………………..
7. V i c s nào thì 167 đ c vi t thành 326 ? ơ ượ ế
Gi i:
G i x là c s c a 326 ta có: 167 ơ (10) = 326(x)
Đ i 326(x) ta đ cượ : 326(x) = 3.x2 + 2.x + 6.
Gi i ph ng trình b c hai 3x ươ 2 + 2x + 6 = 167 ta đ c xượ 1 = 7 ; x2 =
23
3
-
.
X = 7 là th a mãn. V y v i c s 7 thì 326 = 167 ơ (10).
……………………………………
8. Trong h th ng c s 8 hãy tính t ng ơ
43 17+
?
Gi i :
- Mu n tính t ng
43 17+
ta đ i các s h ng ra c s th p phân ơ
43(8) = 4.8 + 3 = 35
17(8) = 1.8 + 7 = 15
=>
43
(8) +
17
(8) = 50(10)
- Ta đ i t ng tìm đ c sang c s 8 ượ ơ
2
6
0
6
8
8
50
V y 43(8) + 17(8) = 62(8)
……………………………………
9. Trong m t h th ng đ m ta có 53 + 76 = 140. Hãy xác đ nh c s c a h th ng đó ế ơ ?
Gi i :
G i c s c a h th ng đ m đó là x, ta có ơ ế :
GV: Lê Chí Tôn 5