Sở GD&ĐT Hà Nam
Trung Tâm GDTX Duy Tiên
Chuyên đề
Chuyên đề hàm số
BÙI QUỸ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
1.1 Tóm tắt lí thuyết
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (a;b). Ta nói:
- Hàm số y=f(x)đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b)nếu với mọi x1, x2∈(a;b)mà x1< x2thì
f(x1)< f(x2).
- Hàm số y=f(x)nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b)nếu với mọi x1, x2∈(a;b)mà x1< x2
thì f(x1)> f(x2).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi là đơn điệu trên khoảng đó.
2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu
Định lý 1.1 (Định lí Lagrange) Nếu hàm số y=f(x)liên tục trên đoạn [a;b]và có đạo hàm
trên khoảng (a;b)thì tồn tại một điểm c∈(a;b)sao cho
f(b)−f(a) = f′(c)(b−a)hay f′(c) = f(b)−f(a)
b−a
Định lý 1.2 Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm trên khoảng (a;b).
a) Nếu f′(x)>0∀x∈(a;b)thì hàm số y=f(x)đồng biến trên khoảng đó.
b) Nếu f′(x)<0∀x∈(a;b)thì hàm số y=f(x)nghịch biến trên khoảng đó.
Định lý 1.3 Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm trên khoảng (a;b). Nếu f′(x)≥0hoặc f′(x)≤
0) ∀x∈(a;b), và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a;b)thì hàm số
y=f(x)đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó.
Chú ý 1 Trong các hàm số sơ cấp được học (ngoại trừ hàm hằng), ta có kết quả sau:
-y=f(x)là hàm số đồng biến trên (a;b)⇐⇒ f′(x)≥0∀x∈(a;b)
-y=f(x)là hàm số nghịch biến trên (a;b)⇐⇒ f′(x)≤0∀x∈(a;b)
* Các bước xét tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm các điểm tới hạn
- Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
- Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra chiều biến thiên của hàm số.
3. Nhắc lại định lí dấu tam thức bậc hai1
1.2 Ví dụ và bài tập
⊲1.1 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
1Phải nhắc lại định lí thuận và định lí đảo
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 2
a) y= 4x3−3x+ 1
b) y=3
4x4+x3−3x2+ 1
c) y=x+ 1
x−1
d) y=x2+ 3x+ 3
x+ 1
e) y=x4+ 2x2−3
x2
f) y=x4−3x2+ 15
⊲1.2 Cho hàm số y=−1
3x3+ (m−1)x2+ (m+ 3)x−4. Tìm mđể hàm số tăng trên (0; 3)
⊲1.3 Cho hàm số y= 2x2+ 2mx +m−1. Tìm mđể hàm số tăng trên (−1; +∞)
⊲1.4 Cho hàm số y=x3−3mx2+ 3(2m−1)x+ 1. Tìm mđể hàm số tăng trên tập xác định
⊲1.5 Cho hàm số y=mx2+ 6x−2
x+ 2 . Tìm mđể hàm số giảm trên (1; +∞)
⊲1.6 Cho hàm số y=1
3mx3−(m−1)x2+ 3(m−2)x+1
3. Tìm mđể hàm số tăng trên (2; +∞)
⊲1.7 Cho hàm số y=2x2+ (1 −m)x+ 1 + m
x−m. Tìm mđể hàm số tăng trên (1; +∞)
⊲1.8 Cho hàm số y=1
3x3+mx2−mx + 1. Tìm mđể hàm số:
a) Tăng trên tập xác định
b) Tăng trên (−∞; 0)
⊲1.9 Cho hàm số y=x2+mx −5
3−x. Tìm mđể hàm số:
a) Giảm trên tập xác định b) Giảm trên (−1; 0) c) Tăng trên (−2; 2)
2 Cực đại và cực tiểu
2.1 Tóm tắt lí thuyết
1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Định lý 2.1 (Định lí Fermat) Nếu hàm số y=f(x)có đạo hàm tại x0và đạt cực trị tại điểm
đó thì f′(x0) = 0.
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lý 2.2 (Dấu hiệu I) Giả sử hàm số y=f(x)có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0
(có thể trừ điểm x0).
i) Nếu f′(x)>0trên khoảng (x0−δ;x0);f′(x)<0trên khoảng (x0;x0+δ)thì x0là một điểm
cực đại của hàm số y=f(x).
ii) Nếu f′(x)<0trên khoảng (x0−δ;x0);f′(x)>0trên khoảng (x0;x0+δ)thì x0là một điểm
cực tiểu của hàm số y=f(x)
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 3
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì x0là một điểm cực trị. Và nếu đổi
dấu từ + sang - thì x0là điểm cực đại còn nếu đổi dấu từ - sang + thì x0là điểm cực tiểu.
Quy tắc I
- Tìm f′(x)
- Tìm các điểm tới hạn
- Xét dấu đạo hàm
- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Định lý 2.3 (Dấu hiệu II) Giả sử y=f(x)có đạo hàm tới cấp hai liên tục tại x0và f′(x0) =
0, f′′(x0)6= 0 thì x0là một điểm cực trị hàm số, hơn nữa:
- Nếu f′′(x0)>0thì x0là điểm cực tiểu.
- Nếu f′′(x0)<0thì x0là điểm cực đại.
Quy tắc II
- Tìm f′(x). Giải phương trình f′(x) = 0. Gọi xilà các nghiệm
- Tính f′′(x)
- Từ dấu của f′′(xi)suy ra các điểm cực trị.
Chú ý 2 - Nếu f′(x0) = f′′(x0) = 0 thì không thể khẳng định được x0có là điểm cực trị hay
không.
- Chúng ta dùng dấu hiệu I trong trường hợp tổng quát, còn dấu hiệu II chỉ dùng khi gặp các hàm
số dễ tính đạo hàm (như hàm đa thức, hàm lượng giác).
2.2 Ví dụ và bài tập
⊲2.1 Tìm cực trị của các hàm số:
a) y= 2x2−x4b) y=x2−x+ 1
x2+x+ 1 c) y=x+√3x2+ 6
d) y=x
ln xe) y=exsin xf) y=5
√x4
⊲2.2 Xác định mđể hàm số y=x2+mx + 1
x+mđạt cực đại tại x= 2.
⊲2.3 Chứng minh rằng hàm số y=x2+ 2x+m
x2+ 2 luôn có một cực đại và một cực tiểu.
⊲2.4 Tìm avà bđể các cực trị của hàm số y=5
3a2x3+ 2ax2−9x+bđều là những số dương và
x0=−5
9là điểm cực đại.
⊲2.5 Cho hàm số y=x3−3mx2+ 3(m2−1)x−(m2−1). Tìm mđể hàm số đạt cực đại tại x= 1.
⊲2.6 Cho hàm số y=asin x+1
3sin 3x. Tìm ađể hàm số đạt cực trị tại x=π
3.
⊲2.7 Tìm mđể hàm số dưới đây đạt cực đại và cực tiểu
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - BÙI QUỸ - TT GDTX DUY TIÊN 4
a) y=1
3x3+mx2+ (m+ 6)x−1b) y=x2−2x+m
4−x
⊲2.8 Cho hàm số y=x2+mx + 1
x+m. Tìm mđể hàm số đạt cực đại tại x= 2.
⊲2.9 Cho hàm số y=x3−(m−3)x2+ (4m−1)x−m. Tìm mđể hàm số đạt cực trị tại các điểm
x1, x2thoả mãn điều kiện x1<−2< x2.
⊲2.10 Cho hàm số y=x2−x+m
x+ 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m= 2
b) Tìm mđể hàm số có hai cực trị.
c) Tìm mđể hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu.
⊲2.11 Cho hàm số y=x2+ (m+ 1)x+ 1 −m
x−m. Tìm mđể hàm số có:
a) Một cực đại và một cực tiểu.
b) Hai cực trị và các giá trị cực trị trái dấu.
c) Cực tiểu có hoành độ nhỏ hơn 1.
⊲2.12 Cho hàm số y=mx + 1
1−x2. Tìm mđể hàm số có hai cực trị. Trong trường hợp đó chứng
minh rằng các điểm cực trị của đồ thị ở cùng một phía đối với trục hoành.
⊲2.13 Cho hàm số y=mx2−2x+m
x2−x. Tìm mđể hàm số:
a) Tăng trên từng khoảng xác định.
b) Chỉ có một cực trị.
c) Đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương.
⊲2.14 Tìm mđể hàm số
y=−x3+ 3(m+ 1)x2−(3m2+ 7m−1)x+m2−1
đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
⊲2.15 Tìm mđể hàm số sau có ba cực trị
y=x4+ 4mx3+ 3(m+ 1)x2+ 1
⊲2.16 Cho hàm số
y=x4+ 8mx3+ 3(1 + 2m)x2−4
Tìm mđể hàm số có một cực tiểu mà không có cực đại.