CHUYEÂN ÑEÀ 6
HYPEBOL
Ñeå giaûi caùc baøi toaùn coù lieân quan ñeán ñöôøng hypebol ta caàn naém vöõng caùc vaán ñeà cô
baûn sau:
Hypebol (H) coù taâm O, hai truïc ñoái xöùng laø x
′
x, y
′
y.
Phöông trình
chính taéc
. Hypebol coù tieâu ñieåm
treân x
′
x
2
2
x
a –
2
2
y
b = 1
. Hypebol coù tieâu ñieåm t
reân y
′
y
2
2
x
a –
2
2
y
b = –1
vôùi c2 = a2 + b2 vôùi c2 = a2 + b2
Tieâu ñieåm
Tieâu cöï
Truïc thöïc, ñoä daøi
Truïc aûo, ñoä daøi
Ñænh
Tieäm caän
Taâm sai
Baùn kính
M(xM, yM) ∈ (H)
F1(–c, 0), F2(c, 0)
2c
Ox, 2a
Oy, 2b
A1(–a, 0), A2(a, 0)
y =
±
b
ax
e = c
a
11
22
M
M
rFMex a
rFMex a
=
=+
⎧
⎨
=
=−
⎩
(xM a)≥
1
2
M
M
rex
rex
a
a
=
−−
⎧
⎨
=
−+
⎩
(xM
≤
– a)
F1(0, –c), F2(0, c)
2c
Oy, 2b
Ox, 2a
A1(0, –b), A2(0, b)
y = ±a
bx
e = c
b
11
22
M
M
rFMey b
rFMey b
=
=+
⎧
⎨
=
=−
⎩
(yM ≥ b)
1
2
M
M
rey
rey
b
b
=
−−
⎧
⎨
=
−+
⎩
(yM ≤ – b)
1
Ñöôøng chuaån
Phöông trình tieáp
tuyeán taïi tieáp
ñieåm M0(x0, y0) ∈ (H)
x =
±
a
e
02
xx
a – 02
yy
b = 1
y = ±b
e
02
xx
a – 02
yy
b = –1
Ngoaøi ra ta cuõng caàn löu yù:
. Ñieàu kieän ñeå:
(D) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (H) :
2
2
x
a –
2
2
y
b = 1 laø
a
2A2 – b2B2 = C2 > 0
(D) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (H) :
2
2
x
a –
2
2
y
b = –1 laø
a
2A2 – b2B2 = –C2 < 0
Ví duï :
Cho hypebol (H) : 4x2 – y2 = 4
1) Xaùc ñònh tieâu ñieåm, ñænh, taâm sai, caùc ñöôøng tieäm caän vaø ñöôøng chuaån cuûa (H)
2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi ñieåm M(1, 0)
3) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) phaùt xuaát töø ñieåm N(1, 4) tìm toïa ñoä tieáp ñieåm.
Giaûi
1) Caùc phaàn töû cuûa hypebol (H)
(H) : 4x2 – y2 = 4 x
2 – ⇔2
4
y = 1 coù daïng
2
2
x
a –
2
2
y
b = 1 vôùi
a2 = 1 a = 1, b2 = 4 ⇒ b = 2 vaø c2 = a2 + b2 = 5 ⇒
Vaäy hypebol (H) coù 2 tieâu ñieåm F1(5
−
, 0), F2(5, 0) ; hai ñænh A1(–1, 0), A2(1, 0) ;
taâm sai e = c
a = 5 ; hai ñöôøng tieäm caän phöông trình y =
±
2x vaø hai ñöôøng chuaån phöông
trình
x = ±a
e = ±1
5
2
2) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi tieáp ñieåm M(1, 0)
Ta coù M(1, 0) ∈ (H) : 4x2 – y2 = 4
⇒ Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) taïi tieáp ñieåm M(1, 0) laø
4x
Mx – yMy = 4
⇔ 4x – 0y = 4 x = 1 ⇔
3) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (H) phaùt xuaát töø N(1, 4). Hai tieáp tuyeán cuøng phöông vôùi
0y laø x = a = 1. Vaäy x=1 laø moät tieáp tuyeán qua N(1, 4). ± ±
Tieáp tuyeán
(
qua N(1, 4) khoâng cuøng phöông vôùi 0y coù daïng:
)
Δ
: y – 4 = k(x – 1)
()
Δ
⇔
kx – y + 4 – k = 0
()
Δ tieáp xuùc vôùi hypebol (H) :
2
1
x –
2
4
y = 1
⇔ k
2 . 12 – 4(–1)2 = (4 – k)2
⇔ k
2 - 4 = 16 – 8k + k2
⇔ k =
20 5
82
= .Vaäy :
()
Δ5
2x – y – 4 – 5
2 = 0
⇔ 5x – 2y – 13 = 0
Toùm laïi coù hai tieáp tuyeán qua ñieåm N(1, 4) laø x = 1, vaø 5x – 2y – 13 = 0.
* * *
3
