www.VNMATH.com
CHUYÊN Đ : KHO NG CÁCH TRONG HÀM SỀ Ả Ố
CHUYÊN Đ : KHO NG CÁCH TRONG HÀM SỀ Ả Ố
I. LÝ THUY TẾ
1. Cho hai đi m ể
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1
; ; ;A x y B x y AB x x y y= − + −�
.
2. Cho đi m ể
( )
0 0
;M x y
và đ ng th ng d : Ax +By+C=0 , thì kho ng cách t M đ n d :ườ ẳ ả ừ ế
( )
0 0
2 2
Ax
;By C
h M d
A B
+ +
=�+
3. Kho ng cách t ả ừ
( )
0 0
;M x y
đ n ti m c n đ ng : x=a là ế ệ ậ ứ
0
h x a= −
4. Kho ng cách t ả ừ
( )
0 0
;M x y
đ n ti m c n ngang : y=b là : ế ệ ậ
0
h y b= −
5. Chú ý : Hai đi m A và B th ng là hai đi m c c đ i , c c ti u ho c là giao c a m tể ườ ể ự ạ ự ể ặ ủ ộ
đ ng th ng v i m t đ ng cong (C) nào đó . Vì v y tr c khi áp d ng công th c , taườ ẳ ớ ộ ườ ậ ướ ụ ứ
c n ph i tìm t a đ c a chúng ( Tìm đi u ki n t n t i A và B )ầ ả ọ ộ ủ ề ệ ồ ạ
- Nh đi u ki n t n t i hai đi m c c tr cho hàm phân th c và hàm đa th c ớ ề ệ ồ ạ ể ự ị ứ ứ
- Khi tìm giao hai đ ng : L p ph ng trình hoành đ đi m chung , sau đó tìm đi uườ ậ ươ ộ ể ề
ki n cho ph ng trình có hai nghi m phân bi t ệ ươ ệ ệ
II. CÁC BÀI TOÁN TH NG G PƯỜ Ặ
A.Đ I V I HÀM PHÂN TH C H U TỐ Ớ Ứ Ữ Ỷ
1. Cho hàm s y=f(x) có đ th (C) . Hãy tìm trên (C) hai đi m A và B sao cho kho ngố ồ ị ể ả
cách AB ng n nh t .ắ ấ CÁCH GI IẢ
- Gi s (C) có ti m c n đ ng : x=a . Do tính ch t c a hàm phân th c , đ th n m vả ử ệ ậ ứ ấ ủ ứ ồ ị ằ ề
hai phía c a ti m c n đ ng . Cho nên g i hai s ủ ệ ậ ứ ọ ố
,
α β
là hai s d ng ố ươ
- N u A thu c nhánh trái ế ộ
( )
A A
x a x a a C
α
< = − <� �
, và
- B thu c nhánh ph i ộ ả
( )
B B
x a x a a C
β
> = + >� �
- Tính :
( ); ( )
A A B B
y f x y f x= =
; Sau đó tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2
B A B A B A
AB x x y y b a y y
β α
= − + − = + − − + −� �
� �
- Khi đó AB có d ng : ạ
( )
2
; ; .AB g a b
α β α β
= + +� �
� �
. Áp d ng b t đ ng th c Cô-si , ta cóụ ấ ẳ ứ
k t qu c n tìm .ế ả ầ VÍ D ÁP D NGỤ Ụ
Ví d 1. ( ĐH-NGo i Th ng -99).ụ ạ ươ Cho hàm s ố
a. Kh o sát và v đ th (C)ả ẽ ồ ị
b. Tìm trên (C) hai đi m A,B thu c hai nhánh khác nhau , sao cho AB ng n nh t .ể ộ ắ ấ
GI I Ả
a. H c sinh t v đ th (C) ọ ự ẽ ồ ị
Nguy n Đình S -ĐT : 02403833608ễ ỹ 1
www.VNMATH.com
CHUYÊN Đ : KHO NG CÁCH TRONG HÀM SỀ Ả Ố
b. G i A thu c nhánh trái ọ ộ
1
A
x<
v i s ớ ố
0
α
>
, đ tặ
( )
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
A A A
A
x y x x
α α α
α α
= − < = + = − + = − −�− − −
- T ng t B thu c nhánh ph i ươ ự ộ ả
1
B
x>
v i s ớ ố
β
>0 , đ t :ặ
( )
1 1 1
1 ; 1 1 2
1 1 1
B B B
B
x y x x
β β β
β β
= + = + = + + = + +�− + −
- V yậ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 1
1 1 1 1
1 1 1 2 1
( ; ) 1 2 1 1
2 1 4
( ; ) 2 2 1 1 8 8 8 2 4.8 8 8 2
B A B A
AB x x y y
g
g
AB
β α β α
β α
α β α β α β α β α β α β αβ
α β αβ αβ α β
α β αβ αβ αβ
αβ α β αβ
� �
� � � �
= − + − = + − − + + + − − −
� � � �
� �
� �
� � � �
� �
� �
� � � � � �
= + + + + + = + + + + = + + + + +
� � � � � �
� � � � � �
� �
+ + + + = + + + = +
� �
� �
8 8 2 +
- D u đ ng th c x y ra khi : ấ ẳ ứ ả
( )
24
1
;
41
82
2
α β α β
α β
αβ αβ
αβ
=
=
� � = =� � �
� �
==
� �
- Do đó ta tìm đ c hai đi m : ượ ể
4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 ;1 2 ; 1 ;1 2
2 2 2 2
A B
� � � �
− − − + + +
� � � �
� � � �
Ví d 2.( ĐH-GTVT-98).ụ Cho hàm s ố
( )
2
3 3 13
5
2 2
x x
y x C
x x
+ +
= = + +
− −
a. Kh o sát và v đ th (C)ả ẽ ồ ị
b. Tìm trên (C) hai đi m A,B thu c hai nhánh khác nhau sao cho AB ng n nh t .ể ộ ắ ấ
GI I Ả
a. H c sinh t v đ th (C) ọ ự ẽ ồ ị
b. G i A thu c nhánh trái ọ ộ
2
A
x<
v i s ớ ố
0
α
>
, đ tặ
( )
13 13 13
2 2 5 7 7 1
2 2 2
A A A
A
x y x x
α α α
α α
= − < = + + = − + = − −�− − −
- T ng t B thu c nhánh ph i ươ ự ộ ả
2
B
x>
v i s ớ ố
β
>0 , đ t :ặ
( )
13 1 13
2 ; 5 2 5 7 2
2 2 2
B B B
B
x y x x
β β β
β β
= + = + + = + + + = + +�− + −
Nguy n Đình S -ĐT : 02403833608ễ ỹ
2
www.VNMATH.com
CHUYÊN Đ : KHO NG CÁCH TRONG HÀM SỀ Ả Ố
- V yậ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
13 13
2 2 7 7
13 13 13 26 169
( ; ) 1 2 1 1
26 169 52
( ; ) 2 2 1 1 8 104
B A B A
AB x x y y
g
g
β α β α
β α
α β α β α β α β α β α β αβ
α β αβ αβ α β
α β αβ αβ αβ
αβ α β αβ
� �
� � � �
= − + − = + − − + + + − − −
� � � �
� �
� �
� � � �
� �
� �
� � � � � �
= + + + + + = + + + + = + + + + +
� � � � � �
� � � � � �
� �
+ + + + = + +
� �
� � 104 104 2
104 104 2 2 26 26 2AB
+
+ = +۳
- D u đ ng th c x y ra khi : ấ ẳ ứ ả
( )
22
1
;
52
8338 338
α β α β α β
αβ αβ
αβ
=
=
� � = =� � �
� �
==
- Do đó ta tìm đ c hai đi m : ượ ể
13 13
2 338;7 338 ; 2 338;7 338
338 338
A B
� � � �
− − − + + +
� � � �
� � � �
Ví d 3. (ĐH-SPTPHCM-2000ụ). Cho hàm s ố
( )
2
3 3 1
2
1 1
x x
y x C
x x
+ +
= = + +
+ +
a. Kh o sát và v đ th (C)ả ẽ ồ ị
b. Tìm trên (C) hai đi m A,B thu c hai nhánh khác nhau sao cho AB ng n nh t .ể ộ ắ ấ
GI I Ả
a. H c sinh t v đ th (C) ọ ự ẽ ồ ị
b. G i A thu c nhánh trái ọ ộ
1
A
x< −
v i s ớ ố
0
α
>
, đ tặ
( )
1 1 1
1 1 2 1 2 1 1
1 1 1
A A A
A
x y x x
α α α
α α
= − < = + + = − − + + = − −�+ − − +
- T ng t B thu c nhánh ph i ươ ự ộ ả
1
B
x> −
v i s ớ ố
β
>0 , đ t :ặ
( )
1 1 1
1 ; 2 1 2 1 2
1 1 1
B B B
B
x y x x
β β β
β β
= + = + + = − + + + = + +�− − + +
- V yậ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 1
1 1 1 1
1 1 1 2 1
( ; ) 1 2 1 1
2 1 4
( ; ) 2 2 1 1 8 8 8 2 4.8 8 8 2
B A B A
AB x x y y
g
g
β α β α
β α
α β α β α β α β α β α β αβ
α β αβ αβ α β
α β αβ αβ αβ
αβ α β αβ
� �
� � � �
= − + − = − + − − − + + + − − −
� � � �
� �
� �
� � � �
� �
� �
� � � � � �
= + + + + + = + + + + = + + + + +
� � � � � �
� � � � � �
� �
+ + + + = + + + = +
� �
� �
8 8 2AB +
- D u đ ng th c x y ra khi : ấ ẳ ứ ả
Nguy n Đình S -ĐT : 02403833608ễ ỹ 3
www.VNMATH.com
CHUYÊN Đ : KHO NG CÁCH TRONG HÀM SỀ Ả Ố
( )
24
1
;
41
82
2
α β α β
α β
αβ αβ
αβ
=
=
� � = =� � �
� �
==
� �
- Do đó ta tìm đ c hai đi m : ượ ể
4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 ;1 2 ; 1 ;1 2
2 2 2 2
A B
� � � �
− − + − − + + +
� � � �
� � � �
Ví d 4.( ĐH-An ninh-98).ụ Cho hàm s ố
( )
2
1
1
1 1
x
y x C
x x
= = + +
− −
a. Kh o sát và v đ th (C)ả ẽ ồ ị
b. Tìm trên (C) hai đi m A,B thu c hai nhánh khác nhau sao cho AB ng n nh t .ể ộ ắ ấ
GI I Ả
a. H c sinh t v đ th (C) ọ ự ẽ ồ ị
b. G i A thu c nhánh trái ọ ộ
1
A
x<
v i s ớ ố
0
α
>
, đ tặ
( )
1 1 1
1 1 1 1 1 2 1
1 1 1
A A A
A
x y x x
α α α
α α
= − < = + + = − + + = − −�− − −
- T ng t B thu c nhánh ph i ươ ự ộ ả
1
B
x>
v i s ớ ố
β
>0 , đ t :ặ
( )
1 1 1
1 ; 1 1 1 2 2
1 1 1
B B B
B
x y x x
β β β
β β
= + = + + = + + + = + +�− + −
- V yậ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 1
1 1 2 2
1 1 1 2 1
( ; ) 1 2 1 1
2 1 4
( ; ) 2 2 1 1 8 8 8 2 4.8 8 8 2
B A B A
AB x x y y
g
g
AB
β α β α
β α
α β α β α β α β α β α β αβ
α β αβ αβ α β
α β αβ αβ αβ
αβ α β αβ
� �
� � � �
= − + − = + − − + + + − − −
� � � �
� �
� �
� � � �
� �
� �
� � � � � �
= + + + + + = + + + + = + + + + +
� � � � � �
� � � � � �
� �
+ + + + = + + + = +
� �
� �
8 8 2 +
- D u đ ng th c x y ra khi : ấ ẳ ứ ả
( )
24
1
;
41
82
2
α β α β
α β
αβ αβ
αβ
=
=
� � = =� � �
� �
==
� �
- Do đó ta tìm đ c hai đi m : ượ ể
4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 ;2 2 ; 1 ;2 2
2 2 2 2
A B
� � � �
− − − + + +
� � � �
� � � �
Ví d 5ụ. Cho hàm s ố
( )
3 6
1
3 3
x
y C
x x
+
= = +
− −
a. Kh o sát và v đ th (C)ả ẽ ồ ị
b. Tìm trên (C) hai đi m A,B thu c hai nhánh khác nhau sao cho AB ng n nh t .ể ộ ắ ấ
GI I Ả
Nguy n Đình S -ĐT : 02403833608ễ ỹ
4
www.VNMATH.com
CHUYÊN Đ : KHO NG CÁCH TRONG HÀM SỀ Ả Ố
a. H c sinh t v đ th (C) ọ ự ẽ ồ ị
b. G i A thu c nhánh trái ọ ộ
3
A
x<
v i s ớ ố
0
α
>
, đ tặ
( )
6 6 6
3 3 1 1 1 1
3 3 3
A A
A
x y x
αα α
= − < = + = + = −�− − −
- T ng t B thu c nhánh ph i ươ ự ộ ả
1
B
x>
v i s ớ ố
β
>0 , đ t :ặ
( )
6 6 6
3 ; 1 1 1 2
3 3 3
B B
B
x y x
ββ β
= + = + = + = +�− + −
V y :ậ
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2
6 6
3 3 1 1
B A B A
AB x x y y
β α β α
� �
� � � �
= − + − = + − − + + − −� � � �
� �
� �
� � � �
� �
� �
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
6 6 1 2 1
( ; ) 6 1 2 1 36
2 1 4
( ; ) 2 2 1 36 148 8 8 2 4.148 8 8 37
8 8 37
g
g
AB
α β α β α β α β α β αβ
α β αβ αβ α β
α β αβ αβ αβ
αβ α β αβ
� � � � � �
= + + + = + + + + = + + + + +
� � � � � �
� � � � � �
� �
+ + + + = + + + = +
� �
� �
+۳
- D u đ ng th c x y ra khi : ấ ẳ ứ ả
( )
24
1
;
41
148 37
37
α β α β
α β
αβ αβ
αβ
=
=
� � = =� � �
� �
==
� �
- Do đó ta tìm đ c hai đi m : ượ ể
4 4 4 4
1 6 1 6
3 ;1 ; 3 ;1
37 37 37 37
A B
� � � �
− − + +
� � � �
� � � �
2. BÀI TOÁN 2 .
Cho đ th (C) có ph ng trình y=f(x) ồ ị ươ
Tìm trên (C) đi m M sao cho ể
a. T ng kho ng cách t M đ n hai tr c t a đ là nh nh t ổ ả ừ ế ụ ọ ộ ỏ ấ
b. Kho ng cách t M đ n hai tr c t a đ b ng nhau ( Hay : Kho ng cách t M đ n tr cả ừ ế ụ ọ ộ ằ ả ừ ế ụ
hoành b ng k l n kho ng cách t M đ n tr c tung )ằ ầ ả ừ ế ụ
c. Kho ng cách t M đ n I ( là giao hai ti m c n ) là nh nh t .ả ừ ế ệ ậ ỏ ấ
CÁCH GI IẢ
A. Đ i v i câu h i : T ng kho ng cách t M đ n hai tr c t a đ nh nh t .ố ớ ỏ ổ ả ừ ế ụ ọ ộ ỏ ấ
- G i M(x;y) v i y=f(x). thì t ng kho ng cách t M đ n hai tr c là d ọ ớ ổ ả ừ ế ụ
d x y= +�
- Xét các kho ng cách t M đ n hai tr c khi M n m các v trí đ c bi t : Trên tr cả ừ ế ụ ằ ở ị ặ ệ ụ
hoành , trên tr c tung .ụ
- Sau đó xét t ng quát ,nh ng đi m M có hoành đ , ho c tung đ l n h n hoành đổ ữ ể ộ ặ ộ ớ ơ ộ
ho c tung đ c a M khi n m trên hai tr c , đ suy ra cách tìm GTLN-GTNN c a d .ặ ộ ủ ằ ụ ể ủ
Nguy n Đình S -ĐT : 02403833608ễ ỹ 5