TOÁN 9
CHUYÊN Đ : BI N ĐI & RÚT G N CĂN TH C B C HAIỀ Ế Ổ Ọ Ứ Ậ
A – LÝ THUY TẾ
I . Bi n đi đn gi n bi u th c ch a căn th c b c haiế ổ ơ ả ể ứ ứ ứ ậ :
Đa th a s ra ngoài d u căn:ư ừ ố ấ (B ≥ 0)
Đa th a s vào trong d u căn:ư ừ ố ấ (v i A ≥ 0 và B ≥ 0)ớ
(v i A < 0 và B ≥ 0)ớ
Kh m u c a bi u th c l y ử ẫ ủ ể ứ ấ
căn: (v i AB ≥ 0, B ≠ 0)ớ
Tr c căn th c m u:ụ ứ ở ẫ (A > 0)
(A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B)
II . Rút g n bi u th c ch a căn th c b c haiọ ể ứ ứ ứ ậ :
B c 1ướ : Dùng các phép bi n đi đn gi n đ đa các căn th c b c hai ph c t pế ổ ơ ả ể ư ứ ậ ứ ạ
thành căn th c b c hai đn gi n.ứ ậ ơ ả
B c 2ướ : Th c hi n phép tính theo th t đã bi t.ự ệ ứ ự ế
B – BÀI T PẬ
D NG 1Ạ: Tính giá tr c a bi u th c.ị ủ ể ứ
Bài t p 1: ậTính:
a) ; b) ;
c) ; d) .
Bài t p 2: ậTính:
a) A = ;
b) B = ;
c) C = .
Bài t p 3: ậTh c hi n phép tính: B = .ự ệ
Bài t p 4: ậTh c hi n phép tính: A = .ự ệ
Bài t p 5: ậTính giá tr c a bi u th c: M = v i .ị ủ ể ứ ớ
Bài t p 6: ậCho , . Tính .
Bài t p 7: ậCho bi t: .ế
Tính: .
Bài t p 8: ậCho bi u th c .ể ứ
Tính giá tr c a bi u th c: M = .ị ủ ể ứ
D NG 2Ạ: Rút g n bi u th c.ọ ể ứ
Bài t p 9: ậTr c căn th c m u: ụ ứ ở ẫ
Bài t p 10: ậRút g n bi u th c: A = .ọ ể ứ
Bài t p 11: ậRút g n các bi u th c:ọ ể ứ
a) ; b) ;
c) ; d) .
Bài t p 12: ậRút g n các bi u th c:ọ ể ứ
a) ;
b) v i a ≥ 0;ớ
c) v i b ≥ 0.ớ
Bài t p 13: ậTr c căn th c m u và rút g n (n u có th ):ụ ứ ở ẫ ọ ế ể
a) ; b) ;
c) ; d) .
Bài t p 14: ậRút g n bi u th c: A = .ọ ể ứ
Bài t p 15: ậRút g n các bi u th c:ọ ể ứ
a) ; b) ;
c) ; d) .
Bài t p 16: ậRút g n các bi u th c:ọ ể ứ
a) A = ; c) C = .
b) B = ;
Bài t p 17: ậRút g n các bi u th c:ọ ể ứ
a) A = ;
b) B = ;
c) C =
v i và .ớ
Bài t p 18: ậRút g n bi u th c: P = .ọ ể ứ
Bài t p 19: ậRút g n bi u th c: Q = v i x > y > 0.ọ ể ứ ớ
Bài t p 20: ậRút g n bi u th c:ọ ể ứ
A = v i và b > a > 0.ớ
Bài t p 21: ậRút g n bi u th c: B = v i và 0 < a < 1.ọ ể ứ ớ
Bài t p 22: ậRút g n bi u th c: M = ọ ể ứ
v i a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1.ớ
Bài t p 23: ậRút g n bi u th c: A = .ọ ể ứ
Bài t p 24: ậRút g n bi u th c: A = .ọ ể ứ
Bài t p 25: ậRút g n bi u th c: A = .ọ ể ứ
Bài t p 26: ậRút g n bi u th c: B = .ọ ể ứ
Bài t p 27: ậRút g n r i tính giá tr c a bi u th c t i x = 3.ọ ồ ị ủ ể ứ ạ
M = .
Bài t p 28: ậRút g n các bi u th c:ọ ể ứ
a) A = ;
b) B = .
Bài t p 29: ậTr c căn th c m u c a các bi u th c sau:ụ ứ ở ẫ ủ ể ứ
a) A = trong đó a, b, c là các s d ng th a mãn đi u ki n c là trung bình nhân c aố ươ ỏ ề ệ ủ
hai s a và b.ố
b) B = trong đó a, b, c, d là các s d ng th a mãn đi u ki n ab = cd và a + b ≠ c +ố ươ ỏ ề ệ
d.
D NG 3Ạ: Gi i ph ng trình, b t ph ng trình.ả ươ ấ ươ
Bài t p 30: ậGi i ph ng trình:ả ươ
a) ; b) ;
c) ; d) .
Bài t p 31: ậGi i ph ng trình:ả ươ
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Bài t p 32: ậCho A = trong đó x .
Xác đnh x đ giá tr c a A là m t s t nhiên.ị ể ị ủ ộ ố ự
Bài t p 33: ậTìm các s t nhiên x, y sao cho x > y > 0 th a mãn đi u ki n: ố ự ỏ ề ệ
Bài t p 34: ậTìm s t nhiên n nh nh t sao cho .ố ự ỏ ấ
D NG 4Ạ: Tìm GTLN, GTNN c a bi u th c.ủ ể ứ
Bài t p 35: ậTính giá tr l n nh t c a bi u th c: S = , bi t x + y = 8.ị ớ ấ ủ ể ứ ế
D NG 5Ạ: Ch ng minh bi u th c.ứ ể ứ
Bài t p 36: ậKhông dùng máy tính ho c b ng s , so sánh các s sau:ặ ả ố ố
a) và ;
b) và ;
c) và .
Bài t p 37: ậKhông dùng máy tính ho c b ng s , ch ng minh r ng: .ặ ả ố ứ ằ
Bài t p 38: ậCho a, b, c là các s d ng. Ch ng minh r ng:ố ươ ứ ằ
a) v i a > c, b > c.ớ
b) N u thì b + c ≥ 2a.ế
Bài t p 39: ậ
Cho bi u th c: P = . Ch ng minh r ng: P = ể ứ ứ ằ
Bài t p 40: ậCh ng minh r ng: ứ ằ
Bài t p 41: ậCh ng minh r ng:ứ ằ
a) ;
b) .
Bài t p 42: ậCh ng minh r ng A < B v i:ứ ằ ớ
A = và B = .
Bài t p 43: ậCh ng minh các h ng đng th c:ứ ằ ẳ ứ
a) ;
b) .
Bài t p 44: ậCho A = .
Hãy bi u di n A d i d ng t ng c a ba căn th c.ể ễ ướ ạ ổ ủ ứ
Bài t p 45: ậCh ng minh h ng đng th c sau v i x ≥ 2:ứ ằ ẳ ứ ớ
Bài t p 46: ậCh ng minh r ng .ứ ằ
Áp d ng tính .ụ
Bài t p 47: ậCh ng minh r ng v i n ứ ằ ớ .
Áp d ng tính t ng:ụ ổ .
Bài t p 48: ậTính giá tr c a bi u th c:ị ủ ể ứ
.
Bài t p 49: ậCho a = .
a) Vi t aế2, a3 d i d ng trong đó m là s t nhiên.ướ ạ ố ự
b*) Ch ng minh r ng v i m i s nguyên d ng n, s aứ ằ ớ ọ ố ươ ố n vi t đc d i d ng trên.ế ượ ướ ạ
Bài t p 50: ậCh ng minh r ng v i m i x > 0, y > 0 và x ≠ y, giá tr c a bi u th c sauứ ằ ớ ọ ị ủ ể ứ
không ph thu c vào giá tr c a các bi n x, y.ụ ộ ị ủ ế
A = .
Bài t p 51: ậCho x, y, z > 0 và khác nhau đôi m t. Ch ng minh r ng giá tr c a bi u th cộ ứ ằ ị ủ ể ứ
P không ph thu c vào giá tr c a các bi n.ụ ộ ị ủ ế
P = .
Bài t p 52: ậCh ng minh r ng giá tr c a bi u th c sau không ph thu c vào giá tr c aứ ằ ị ủ ể ứ ụ ộ ị ủ
bi n:ế
a) Q = v i x > 1.ớ
b) R = v i x ≥ 0.ớ
D NG 6Ạ: Các bài toán t ng h p.ổ ợ
Bài t p 53: ậCho: M = .
a) Tìm các s nguyên a đ m là s nguyên;ố ể ố
b) Ch ng minh r ng v i a = thì M là s nguyên;ứ ằ ớ ố
c) Tìm các s h u t a đ M là s nguyên.ố ữ ỉ ể ố
Bài t p 54: ậCho bi u th c: M = .ể ứ
a) Tìm các s nguyên a đ m là s nguyên.ố ể ố