ƯƠ Ộ Ẩ Ậ CHUYÊN Đ II. PH NG TRÌNH B C HAI M T N ậ ả
ươ ươ : Gi ả Ề ng trình b c hai. ng trình D ạng 1 Bài 1: Gi
2) x2 – 2( 3 1)x 2 3 = 0.
ả ệ ằ ẩ i ph i các ph 1) x2 – 6x + 14 = 0 ; i các ph ng trình sau b ng cách nh m nghi m: Bài 2: Gi
2) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 1 = 0 ;
i các pt sau:
2) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) ; ố . ườ ươ 1) 5x2 – 17x + 12 = 0 ; ả Bài t p: ậ Gi 1) x2 – 4x + 2 = 0 ; ả : Gi ng pháp D ạng 2 ươ Ph ươ i ph : Xét các tr ệ ấ ậ ứ ng trình b c hai có ch a tham s ợ ủ ệ ố ng h p c a h s a : ươ ướ ậ ng trình b c nh t . c sau: (cid:0) (cid:0) ( ' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ố ch a tham s ). ) ( '
. ) ợ ủ ng h p c a ươ ủ ( ' ( N u ế ) ố ng trình theo tham s . ả ế N u a = 0 thì tìm nghi m ph (cid:0) 0 thì ti n hành các b ế ế N u a ệ ố t s + Tính bi ườ + Xét các tr ệ + Tìm nghi m c a ph ươ ng trình ( i ph Gi m là tham số) : (m 1)x2 2mx + m + 2 = 0
'
HD n :ẫ * m =1 : x = 3 2 (cid:0) * m (cid:0) 1 = 2 m
: : Vô nghi m.ệ ệ + m > 2 + m = 2 : x = 2 (nghi m kép ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m m m m 2 2 (cid:0) (cid:0) + m < 2 : ; Bài t p: ậ x 1 x 2 (cid:0) (cid:0) m m 1 1 ả Gi i ph ng trình ( m là tham số) :
ươ 1) (m 1)x2 + 3mx + 2m + 1 = 0 2) x2 2(m + 1)x + 2(m + 5) = 0 ố ể ươ ị ủ ệ ệ : Tìm giá tr c a tham s đ ph ng trình có n kép,có hai nghi m ệ phân bi t, có nghi m,vô
'
D ạng 3 nghi mệ ươ ề ệ ể ươ Ph ng pháp (cid:0) (cid:0) : Đi u ki n đ ph a ậ ng trình b c 2 có : 0 (cid:0) ệ Nghi m kép (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) a 0 (cid:0) ệ ệ Hai nghi m phân bi t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) '
ệ ố 0 ứ (cid:0) (cid:0) Có nghi m :+Xét a= 0 (N u a ch a tham s ) a ế 0 (cid:0) +Xét (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 '
ệ (cid:0) (cid:0) Vô nghi m : + Xét a= 0 a 0 (cid:0) + Xét (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 '
ể ươ ị ủ ệ
ệ
ng trình sau có 2 nghi m phân bi t :
(m < 2) ị ủ ể ươ ệ ng trình sau có nghi m kép : (cid:0) (m = ) 3 ị ủ ể ươ ệ ng trình sau vô nghi m : Bài 1 : Tìm các giá tr c a m đ ph
a) 2x2 4x + m = 0
Bài 2 : Tìm các giá tr c a m đ ph
a) 3x2 2mx + 1 = 0
Bài 3 : Tìm các giá tr c a m đ ph a) 3x2 + 2mx + 4 = 0 (2 3 Bài t p: ậ 2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( n x).
ng trình có nghi m kép. Tính nghi m kép này.
2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. Bài 1: ươ ẩ
ệ ệ ươ a) Cho ph
ị
Xác đ nh m đ ph
b) Cho ph ng trình (m – 1)x
ể ươ
ng trình (2m – 1)x ng trình có nghi m. 2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0. ệ ủ
ệ ủ ệ
2 – 2mx + m – 4 = 0.
ệ
ệ ể ươ
ể ươ ệ ng trình có nghi m.
ng trình có nghi m kép. Tính nghi m kép đó. ệ ệ ể ươ
Tìm m đ ph
ươ
c) Cho ph
ng trình: (m – 1)x
- Tìm đi u ki n c a m đ ph
ề
- Tìm đi u ki n c a m đ ph
ề
ươ
ng trình: (a – 3)x
d) Cho ph
ể ươ
Tìm a đ ph ng trình có hai nghi m phân bi t. 2 2 *Bài 2: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ a) Cho ph ng trình: . 2 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác đ nh m đ ph ệ ấ
ng trình có ít nh t m t nghi m. ể ươ ị ng trình ị
Xác đ nh m đ ph
b) Cho ph ể ươ
ng trình: (m
ệ ươ
ấ ệ ộ
có ít nh t m t nghi m.
: Ch ng minh ph
ậ ươ D ạng 4
ứ
Ch ng minh ph
Ph ứ
ươ
ng pháp ươ
ng trình có nghi m
ệ .
ng trình b c 2 có nghi m
: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ' 0 ứ
Cách 1 : Ch ng minh
ứ
Cách 2 : Ch ng minh ac < 0 (cid:0) ườ ề ả ế ố ứ
0 n u a ch a tham s ) ợ
ng h p a = 0 và a
( Chú ý : C 2 cách đ u ph i xét các tr
ớ ọ
ệ
ng trình sau có nghi m v i m i giá tr c a ị ủ m : ả
Bài 1 : CMR các ph 2 1, xx
ươ 2 1 2 2 2 ươ ế ằ ệ ươ
a) x2 + (m + 1)x + m = 0
ng trình d) x2 + 4x m2 + 4m 9 = 0
) có nghi m, bi t r ng 5 a + 2c = b . ax2 + bx + c = 0 ( a 0(cid:0) (cid:0) = b2 4ac = (5a + 2c)2 4ac = ( 4a + 2c)2 + 9a2 0(cid:0) ươ ươ ủ ng Bài 2 : CMR ph
HD n : ẫ
Bài 3 : Cho ph (cid:0) ng trình
ứ ằ ế ệ trình (1) . Ch ng minh r ng n u ệ
là 2 nghi m c a ph
2
ng trình (1) có nghi m kép. (cid:0) x 2 1 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m x 2 2 ) ( ẫ
HD n :+ x (cid:0) x 2 xx
21 x
1 mx2 (2m 1)x + m = 0 (1) .G i ọ
2
thì ph
x
1
2 (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) m + (cid:0) ế ậ
k t lu n ? m
' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m 1(cid:0)
2 21 0 ị ủ ể ươ ệ ng trình sau có nghi m : Bài t p: ậ
Bài 1 : Tìm các giá tr c a m đ ph ệ ớ ọ a, b, c : Bài 2 : CMR ph ớ a) mx2 2(m + 1)x + m + 3 = 0
b) (m2 m)x2 + 2mx + 1 = 0
ươ
ng trình sau có nghi m v i m i
a) x.(x a) + x.(x b) + (x a).(x b) = 0
b) (x a).(x b) + (x b).(x c) + (x c).(x a) = 0
c) a.(x b).(x c) + b.(x c).(x a) + c.(x a).(x b) = 0 (V i a + b + c (cid:0) 0) HD n :ẫ 2 2 2 2 2 2 (cid:0) =(a )2+ 0 a/ 3x2 2.(a + b + c)x + ab = 0
b
2 3 2
(cid:0)b
4 b/ 3x2 2.(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b c ab bc ca ba cb ac 0 1
2 c/ (a + b + c)x2 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0 (cid:0) = a2b2 + b2c2 + c2a2 a2bc ab2c abc2
ệ ằ ứ ng trình sau luôn có nghi m. Bài 3: Ch ng minh r ng các ph 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ;
4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ;
6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; ươ
1) x2 – 2(m 1)x – 3 – m = 0 ;
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ;
5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ;
7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 Bài 4: ứ ằ ớ ố ự ệ a) Ch ng minh r ng v i a, b , c là các s th c thì ph ng trình sau luôn có nghi m: ươ
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 ố ứ ứ ằ ớ ệ ươ ệ b) Ch ng minh r ng v i ba s th c a, b , c phân bi t thì ph ng trình sau có hai nghi m phân bi ế
t: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghi m v i a, b, c là đ dài ba c nh
ạ ươ ệ ớ ộ ng trình: c ươ ậ 2 1 2 1 2 ng trình b c hai: ệ ệ t. ứ ươ ệ .
ng trình đã cho có nghi m ươ (cid:0) (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghi m phân bi
ấ
Ch ng minh ít nh t 1 trong 2 ph
ng pháp
:
1; (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ả ế ế ộ ệ ố ế ợ ể .
0 . 0 Ph
ệ ố
Tính các bi t s
Ch ng minh ho c ặ đ suy ra m t bi t s không âm (Chú ý k t h p gi thi t n u có) 1 2 ươ x2 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x 2m 10 = 0 (2) Bài t pậ : Cho hai ph ươ ệ ng trình trên có nghi m . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ố ng trình :
ấ
ớ ọ m, ít nh t 1 trong 2 ph
CMR : V i m i
có 1 bi t s không âm . 26 > 0 (cid:0) ươ ax2 + bx + c = 0 (1) và ax2 + bx c = 0 (2) ấ ươ ệ HD n : ẫ
Bài t p: ậ
Bài 1 : Cho hai ph
ớ
CMR v i m i ậ
ng trình b c hai :
ọ a, b, c ít nh t 1 ph ng trình có nghi m . 2 2 2 (cid:0)b
m 1
. 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) HD n : ẫ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ố có 1 bi t s không âm . ệ ố
(cid:0) 2
(16 (cid:0)
0
2
m
()1 có 1 bi t s không âm .
)4 0 Bài 2: ứ ằ ấ ộ ươ ệ ậ a) Ch ng minh r ng ít nh t m t trong các ph ng trình b c hai sau đây có nghi m: ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (3) ố ươ b) Cho b n ph ẩ
ng trình ( n x) sau: ứ ệ x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1)
x2 2bx + 4a2 = 0 (2)
x2 4ax + b2 = 0 (3)
x2 + 4bx + a2 = 0 (4)
ươ ấ ng trình trên có ít nh t 2 ph ng trình có nghi m. ằ
ươ
Ch ng minh r ng trong các ph
ẩ
ươ
ng trình ( n x sau):
c) Cho 3 ph (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ố ươ c. ng cho tr
ươ ứ ấ ộ ươ ệ ớ
v i a, b, c là các s d
ằ
Ch ng minh r ng trong các ph ướ
ng trình trên có ít nh t m t ph ng trình có nghi m. ề D ạng 5 ệ ủ
ố ể ươ ệ
ộ ố ố ể
ậ ậ ướ Tìm giá tr c a tham s đ ph (cid:0) R) cho tr ệ .
c làm nghi m : Tìm đi u ki n c a tham s đ pt có nghi m x = a
ị ủ
ng trình b c 2 nh n m t s k (k
ươ ng pháp Ph : ươ 1 1.xx
2 ượ ể x (cid:0) ị
Thay giá tr x = k vào ph
ố ừ
ị ủ
Thay giá tr c a tham s v a tìm đ ố
ng trình tìm tham s .
ho c ặ
c vào ạ
ệ
đ tìm nghi m còn l i x
2 ế ầ
ị ị ủ ể ươ ố m đ ph ng trình : (n u c n).
Bài 1 : Xác đ nh giá tr c a tham s ệ ậ ( m = a) (3m + 4)x2 (5m 1)x + m 3 = 0 nh n 3 làm nghi m. 36
13 ể ươ ệ ệ ạ ộ ị ủ m đ ph ằ
ng trình có m t nghi m b ng 1.Tìm nghi m còn l i : Bài 2 : Tìm các giá tr c a 2 (cid:0)x a) 2x2 3x + m = 0 ( m = 1 , ) 1
2 ươ Bài 3 : Cho ph ằ ng trình (2m 1)
ể ươ
ị ủ
Tìm giá tr c a m đ ph x2 4mx + 4 = 0 (1)
ệ
ng trình (1) có nghi m b ng m. 1 2 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 01 m (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1
2 (cid:0)x x 2 HD n :+ẫ ta có : ; m
' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2
m m 2 1 2( )2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m 2( )2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m 2 m 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ằ Ph ệ
ng trình có nghi m b ng m thì (cid:0) 1 17 (cid:0) (cid:0) (cid:0) m m (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2
m 2 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ệ ả m + m = ph ng trình (1) có nghi m x = 2 không tho mãn. 1
1
2 1
2
ấ ả ố x 1(cid:0) 2 1
2
x2 2mx + m + 1 = 0 (1). Tìm t t c các s nguyên m đ
ươ
ể
ng trình (m 1)
ệ
ng trình (1) có nghi m nguyên. (cid:0) ph
ẫ
HD n : * Bài 4 : Cho ph
ươ
m = 1 : 2x + 2 = 0 (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 1 : m 1 + (2m) +m +1 = 0 ; * m 1(cid:0) (cid:0) (cid:0) m
m m 1
1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m x
1
(cid:0)3;2;0;1 1 2;1 ươ ể ươ ị x2 + (2m 5)x 3n = 0 . Xác đ nh m và n đ ph ng trình có 2 m
ng trình Bài 5 : Cho ph nghiÖm lµ 3 vµ -2. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m 6 nm
3 6 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) HDÉn : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n 4 nm
3 14 2 Bµi 6 : T×m m, n ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y cã nghiÖm duy nhÊt lµ : 1
2 mx2 + (mn + 1)x + n = 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m 0 m 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 HDÉn : (cid:0) (cid:0) n (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) mn n .1 0 (cid:0) m
4 1
2 - ộ ằ ệ Bài tâp. :
ươ
a) Ph ng trình ệ
. Có m t nghi m b ng 2, tìm ứ hai. px 5 0 2 ộ ươ ứ ệ ằ x
ng trình - ươ ệ ế ệ ươ ủ ệ - ế q và hai nghi m c a ph
ệ
ươ t hi u 2 nghi m b ng 11. Tìm
t ph , bi
0
ươ
ng trình : , bi ng trình.
ộ
ng trình có 2 nghi m và có m t +
qx x =
50 0 ệ ệ
ố ể ươ ộ ệ ấ . ng trình có ít nh t m t nghi m chung ằ
ị ủ
ươ + =
2 2
p và nghi m th
+
+ = có m t nghi m b ng 5, tìm
2 5
ệ
q và nghi m th hai.
b) Ph
x
x q
0
+ =
2 7
ằ
ng trình :
c) Cho ph
x q
x
ủ
ệ
d) Tìm q và hai nghi m c a ph
ầ
nghi m b ng 2 l n nghi m kia.
Tìm giá tr c a tham s đ 2 ph
ng pháp Ph : * Cách 1 : ươ ệ ẩ Gi s ố
ng trình ( n x và tham s ) ả ử 0x là nghi m chung, l p h 2 ph
ậ ệ
0x , tìm tham s .ố
ừ
ố ươ ả Gi i h ph
Th l i : Thay các giá tr c a tham s vào t ng ph ng trình, gi i các ươ ng trình tìm
ị ủ
ệ ả ệ ươ
ử ạ
ph ậ
ố ừ 1 ph
ố ế ng trình đã cho
ươ ạ ng trình còn l i tìm x . ng trình, tìm nghi m chung.
- Rút k t lu n .
ế
ươ
* Cách 2 : Rút tham s t
ị ủ
Th giá tr c a tham s vào ph
ị ủ
Thay giá tr c a x tìm m .
ậ
ế
Rút k t lu n . ớ ị ệ ộ ủ k thì hai ph ấ
ng trình sau có ít nh t m t nghi m chung : Ví dụ : V i giá tr nào c a ươ
x2 (k + 4)x + k + 5 = 0
x2 (k + 2)x + k +1 = 0 ươ ng trình sau có nghi m chung: ẫ
0 = 2 ; k = 1
HD n : x
ể
Bài 2: Tìm m đ hai ph ị ủ ệ
2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0
4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0
ệ
ươ ệ ng trình sau có nghi m chung. Tìm nghi m chung đó: Bài 3: V i giá tr nào c a m thì hai ph ươ ệ ấ ể
ị ủ m đ hai ph ng trình sau đây có ít nh t 1 nghi m chung. ớ
2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0;
Bài 1 : Tìm giá tr c a Bài tâp. : 2x2 + (3m 5)x 9 = 0 (1)
6x2 + (7m 15)x 19 = 0 (2) HD n :ẫ ng trình không có nghi m chung. 2 (cid:0) ặ ; m = 4 ho c m = * Cách 1 : m x 0 = 4 : + m = 0 : hai ph
+ m (cid:0) 0 : x 0 = ươ
4
m ệ
8
3 (cid:0) x 29 5 )0(cid:0) m = (x thay vào (2) : * Cách 2 : (1) (cid:0) x x
3 4x2 10x + 6 = 0 ta có x 1 = 1 ; x 2 = 2 (cid:0) ệ ( nghi m chung là m = ) . x 1 = 1 (cid:0)
(cid:0) . x 2 = 3
2
ệ
m = 4 ( nghi m chung là 1)
3
2 8
3 ể ươ 3
2
ng trình : ị ủ m đ 2 ph Bài 2 : Tìm giá tr c a x2 + x + m 2 = 0 (1) ệ x2 + (m 2)x + 8 = 0 (2) có nghi m chung. (cid:0) x 2 8 )0(cid:0) (x thay vào (1) : x
x ) ươ ệ ệ ị (2) (cid:0)
HD n : ẫ
x3 8 = 0 (cid:0)
ớ ệ
m = 4 (nghi m chung là 2
ng trình sau có nghi m chung. Tìm nghi m chung đó: ố ể ươ ị ủ ệ ủ ộ ộ ệ ằ ầ ng trình này có m t nghi m b ng k (k ≠ 0) l n m t nghi m c a ng trình kia:
ươ m =
x = 2 (cid:0)
ủ
Bài 3: V i giá tr nào c a m thì hai ph
a) 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.
b) 2x2 + mx – 1 = 0
c) x2 – mx + 2m + 1 = 0;
ị
Đ nh giá tr c a tham s đ ph
ươ
ph
Xét hai ph ng trình: 0 là m t nghi m c a ph 2 0 0 2
xka' 0 ụ ệ ố ax2 + bx + c = 0 (1)
a’x2 + b’x + c’ = 0 (2)
ộ ủ ệ ằ ầ ộ ươ ị ươ ệ ộ ố
ng trình (2) có m t nghi m b ng k (k ≠ 0) l n m t nghi m c a ph ng trình (1), ta ể ươ ủ ệ ủ ệ ộ ươ ng trình (1) thì kx ệ
ng trình (2), suy ra h i) trong đó các h s a, b, c, a’, b’, c’ ph thu c vào tham s m.
ể
Đ nh m đ sao cho ph
ư
có th làm nh sau:
ả ử 0 là nghi m c a ph
s x
ươ ng trình: Gi
ph (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ax c 0 (cid:0) (*) bx
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) kxb' c' 0
ặ ộ
ươ ằ ế 0
ạ ố ể Gi ng pháp th ho c c ng đ i s đ tìm m.
ượ ể ể ạ ươ
ng trình trên b ng ph
ị
Thay các giá tr m v a tìm đ c vào hai ph ng trình (1) và (2) đ ki m tra l i. ả ệ ươ
i h ph
ii) ươ ừ
ng trình: Bài t pậ : Cho các ph x2 – 5x + k = 0 (1)
x2 – 7x + 2k = 0 (2) ị ể ộ ủ ệ ươ ủ ệ ầ ấ ớ ộ
ng trình (2) l n g p 2 l n m t trong các nghi m c a ph ươ
ng ươ ng trình: Xác đ nh k đ m t trong các nghi m c a ph
trình (1).
BTVN: Cho hai ph ị ủ ể ố x2 – 2mx + 4m = 0 (1)
x2 – mx + 10m = 0 (2)
ộ
ươ ệ ệ ầ ộ ủ
ằ
ng trình (2) có m t nghi m b ng hai l n m t nghi m c a ươ Tìm các giá tr c a tham s m đ ph
ph ị ố ể ươ ậ ươ ươ ớ ng trình b c hai t ng đ ng v i nhau. ươ Đ nh giá tr c a tham s m đ hai ph
Xét hai ph ng trình (1).
ị ủ
ng trình: )3( )4( ỉ ươ ươ ớ ươ ệ ậ ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3)
a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4)
ng v i nhau khi và ch khi hai ph ng đ ng trình có cùng 1 t p nghi m ươ
ể ả ậ ệ ỗ ố ể ị ủ ị ươ ậ ươ ươ ớ ng trình b c hai t ng đ ng v i nhau ta xét hai ng trình (3) và (4) t
Hai ph
(k c t p nghi m là r ng).
Do đó, mu n xác đ nh giá tr c a tham s đ hai ph
tr ươ ứ Tr ợ ả
ng h p c hai ph ng trinhg cuùng vô nghi m, t c là: ỗ
ợ
ườ
ng h p sau:
ườ
i) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ
0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) (3) (4) (3) (4) ả ệ ị i h trên ta t m đ
ườ ố
c giá tr c a tham s .
ề ị ủ
ươ ệ ả ệ ượ
ợ ả
ng h p c hai ph Tr ng trình đ u có nghi m, ta gi i h sau: Gi
ii) (cid:0) (cid:0) Δ 0 (cid:0) (cid:0) Δ 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) S S (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P
(4) 2 h ph ặ ằ ệ ươ ư ậ ẩ Chú ý: B ng cách đ t y = x ấ
ng trình b c nh t 2 n nh sau: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P
(3)
ể ư ề ệ ươ
ng trình (*) có th đ a v h ph
ay bx c (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xb' ya' c' 2. ể ả ư Đ gi ế ế
ề ệ ệ ả
ạ ế
ươ i quy t ti p bài toán, ta làm nh sau:
- Tìm đi u ki n đ h có nghi m r i tính nghi m (x ; y) theo m.
ồ
ệ
ể ệ
- Tìm m tho mãn y = x
- Ki m tra l
ả
ể
i k t qu .
Bài t p :ậ Cho hai ph
ng trình: x2 + x + a = 0
x2 + ax + 1 = 0 ệ ể
ủ ữ ớ ộ
ươ ươ ị ủ
ươ
a) Tìm các giá tr c a a đ cho hai ph
ị
b) V i nh ng giá tr nào c a a thì hai ph ấ
ng trình trên có ít nh t m t nghi m chung.
ươ
ng đ ng trình trên t ng. ươ BTVN:
Cho hai ph ng trình: ệ ị
ị ể
ể ươ ộ
ng. ươ
ươ
ể ươ ệ ệ a) Đ nh m đ hai ph
b) Đ nh m đ hai ph
ị
c) Xác đ nh m đ ph x2 + mx + 2 = 0 (1)
x2 + 2x + m = 0 (2)
ấ
ng trình có ít nh t m t nghi m chung.
ươ
ng đ
ng trình t
2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghi m phân bi
ng trình (x t6mm
0
4x
2x
x
1
x1
1
2m2
2
x
ộ
0
(Èn
x)
1
1
1
cx
ax
bx
ằ
ứ
c) Ch ng minh r ng ph
ộ
ủ
c a m t tam giác.
ằ
ứ
d) Ch ng minh r ng ph
2b
cb
1
ax
x
0
(1)
a
c
cb
c
a
1
bx
x
0
(2)
a
b
a
a
b
cx
x
0
(3)
2c
c
2a
a
b
1
cb
