Ặ
Ọ Ủ
Đ C TR NG HÌNH H C C A Ắ Mômen tĩnh c a m t c t ngang đ i v i m t ặ ắ
Ư M T C T NGANG Ặ ủ
ố ớ
ộ
tr cụ
Mômen quán tính c a m t c t ngang ủ Mômen quán tính c a m t s hình ph ng ủ
ặ ắ ộ ố
ẳ
ơ
ả
Công th c chuy n tr c song song c a
ụ
ủ
đ n gi n ể ứ mômen quán tính ứ
Công th c xoay tr c c a mômen quán tính ụ ủ
1
ặ ắ
Mômen tĩnh c a m t c t ngang ủ đ i v i m t tr c ộ ụ
ố ớ
y
=
S
ydF
X
(cid:236)
F
dF
(cid:242) (cid:239) (cid:239)
C
=
y yC
(cid:237)
S
xdF
y
(cid:239) (cid:242)
F
O
x
x
xC
2
(cid:239) (cid:238)
ố
ủ ớ
ộ ụ ệ
̣ ́
ủ ứ ̣
x, Sy có
ng nên S ươ ặ
ể ặ
ng. ụ ụ
và tr c trung tâm ụ X=0 thì tr c x ụ
ặ ắ ặ ắ ụ ọ ọ ể tr ng ọ
Mômen tĩnh c a m t c t ngang đ i ặ ắ v i m t tr c Sx, Sy mômen tĩnh c a di n tích măt căt ngang x, Sy là (chi u ề đôi v i truc x, y có th nguyên S ́ ớ dài)3 Do x, y có th âm ho c d ể th âm ho c d ươ SX=0, Sy=0 thì tr c x, y là đi qua tr ng tâm m t c t. Ví d S đi qua tr ng tâm m t c t. Giao đi m c a 2 tr c trung tâm là ủ ́ tâm c a măt căt
3
ủ ̣
Tr ng tâm m t c t ặ ắ
ọ
S
=
x
(cid:236)
C
(cid:239)
(cid:239)
(cid:237)
=
y
C
(cid:239)
y F S x F
4
(cid:239) (cid:238)
Mômen quán tính c a m t c t ngang
ặ ắ
ủ
Mômen quán tính c a hình ph ng đ i v i ủ
ố ớ ẳ
ộ ụ m t tr c
=
J
2 dFy
X
(cid:236)
(cid:242)
F
(cid:239) ́ ̉ ̣ ́ (cid:239)
=
(cid:237) ̣
ứ
J
2 dFx
y
(cid:239) (cid:242)
4
JX, Jy là mômen quan ́ tinh cua măt căt ngang đôi v i truc x, ́ ớ y, có th nguyên là (chi u dài) ề
F
5
(cid:239) (cid:238)
Mômen quán tính c a m t c t ngang
ặ ắ
ủ
ự
Mômen quán tính đ c c c (mômen quán ộ ể
y
F
2
r=
J
dF
P
tính đ i v i m t đi m) ố ớ ộ
dF
y
F
p
(cid:242)
ừ
x
ộ
2
2
r là kho ng cách t ả A(x,y) đ n g c t a đ , ố ọ ế v i ớ r 2 = x2 +y2
(
)
O +
x =
+
=
x
y
dF
J
J
J
x
p
y
F
6
(cid:242)
Mômen quán tính c a m t c t ngang
ặ ắ
ủ
Mômen quán tính ly tâm
J
xydF
xy
(cid:242)=
F
7
Mômen quán tính c a m t c t ngang
ặ ắ
ủ
Khi mômen quán tính ly tâm đ i v i h tr c
ố ớ ệ ụ c g i là ọ ượ ằ
̣ ̣ ́ ́ ́ ̣ ̣ ́
ượ ́ ́
̣ ̣ ́ ́
ể ặ
nào đó b ng không thì h tr c đó đ ệ ụ . N u hê truc quan hê truc quan tinh chinh ế c g i tinh chinh qua tr ng tâm m t c t thì đ ọ ặ ắ ọ . là hê truc quan tinh trung tâm T i b t kỳ đi m nào trên m t ph ng c a m t ủ ẳ c m t hê truc ạ ấ ắ ượ ể ộ ị ̣ ̣
ặ c t ta cũng có th xác đ nh đ quan tinh chinh. ́ ́ ́
N u ế măt căt có môt truc đôi x ng ́ ứ
thì b t kỳ ấ ́ ứ ̣ ́ ̣ ̣
̣
8
tr c nào vuông góc v i truc đôi x ng đó cũng ớ ụ l p v i nó thành m t hê truc quan tinh chinh. ậ ớ ộ ̣ ̣ ́ ́ ́
ộ ố
ủ
Mômen quán tính c a m t s hình ph ng đ n gi n ơ
ả
ẳ
M t c t hình ch nh t ậ
ặ ắ
ữ
3
=
J
x
bh 12
3
=
J
y
hb 12
9
ộ ố
ủ
Mômen quán tính c a m t s hình ph ng đ n gi n ơ
ả
ẳ
M t c t hình tam giác
3
ặ ắ
=
J
x
bh 12
10
ộ ố
ủ
Mômen quán tính c a m t s hình ph ng đ n gi n ơ
ả
ẳ
4
M t c t hình tròn
=
=
J
J
x
y
R 2
4
ặ ắ p
4
=
p
J
D1,0
P
D 32
4
»
4
=
=
p
J
J
D05,0
x
y
D 64
11
»
ộ ố
ủ
Mômen quán tính c a m t s hình ph ng đ n gi n ơ
ả
ẳ
M t c t ngang hình vành khăn
ặ ắ
4
4
4
p
p
p
4
4
4
)
)
=
=
h
h
J
( 1
1,0
D
( 1
P
D 32
d 32
D 32
4
p
4
4
)
)4
=
=
=
h
h
- » - -
J
J
( 1
05,0
D
( 1
x
y
J P 2
D 64
12
- » -
Ban kinh quan tinh
=
i
x
J x F
́ ́ ́ ́
́ ́ ́ ́ ̉
́ ớ ̣ ́ ̣
J
=
i
y
y F
13
ix , iy: ban kinh quan tinh cua măt căt ngang đôi v i truc x và truc ỵ
Ban kinh quan tinh
M t c t hình ch nh t:
́ ́ ́ ́
=
=
i x
i y
h 12
b 12
M t c t hình tròn:
ặ ắ ữ ậ
=
=
i
i
y
D 4
ặ ắ
2
a+
=
=
1
i
i
y
x
x M t c t hình vành khăn: D 4
14
ặ ắ
ứ
Công th c chuy n tr c song song ụ ể c a mômen quán tính
ủ
V n đ : bi
t J ề ấ ố ớ ệ ụ ế x, Jy, Jxy đ i v i h tr c Oxy.
Tìm JX, JY, JXY đ i v i h tr c song song OXY ố ớ ệ ụ
(cid:236)
+= axX += byY
(cid:237)
15
(cid:238)
ứ
Công th c chuy n tr c song song ụ ể c a mômen quán tính
ủ
+
=
+
J
J
bS2
2 Fb
X
x
x
(cid:236)
+
=
+
(cid:239)
J
Y
(cid:237)
J =
aS2 +
2 Fa +
+
J
y J
y aS
bS
abF
x
y
xy
(cid:239)
YX
16
(cid:238)
ứ
ủ
Công th c chuy n tr c song song ụ ể c a mômen quán tính ế
N u x, y là h ệ
ệ ụ
N u xy là h tr c quán tính chính trung tâm, thì Sx = Sy = 0 và Jxy = 0
ế ụ
tr c trung tâm, thì Sx = Sy = 0
=
+
J
J
2 Fb
=
+
X
x
J
J
2 Fb
X
x
(cid:236) (cid:236)
=
+
=
+
(cid:239) (cid:239)
J
J
2 Fa
Y
Y
(cid:237) (cid:237)
J =
J =
2 Fa +
J
y abF
J
y J
abF
(cid:239) (cid:239)
YX
xy
YX
17
(cid:238) (cid:238)
ụ ủ
ứ
Công th c xoay tr c c a mômen quán tính
ề
ặ ắ
V n đấ Có di n tích m t c t ngang F Gi
ố ớ ệ ụ
18
ệ t: mômen quán s bi ả ử ế x, Jy, tính c a di n tích F (J ệ ủ Jxy) đ i v i h tr c Oxy. ố ớ ệ ụ Tính mômen quán tính c a ủ di n tích F đ i v i h tr c ệ Ouv
ụ
ứ
Công th c xoay tr c c a mômen quán tính
ủ
ọ ộ ủ
ọ ể ệ ọ
=
J
2 dFv
(cid:236)
u
F
(cid:242) (cid:239)
(cid:239)
=
(cid:239)
J
2 dFu
v
(cid:237) (cid:242)
F
(cid:239) G i (u, v) là t a đ c a đi m A trong h t a đ ộ Ouv, ta có u = xcosa + ysina + ycosa v = -xsina (a) Mômen quán tính đ i v i h ố ớ ệ tr c Ouv là ụ
=
J
uvdF
(cid:239)
uv
F
19
(cid:242) (cid:239) (cid:238)
2
2
=
+a
cos
sin
sin
.
cos
J
J
J
J2
x
u
y
xy
2
2
=
+a
+a
a a - a
sin
cos
sin
.
J
J
J
J2
x
v
y
xy
2
2
cos (
)
=
+a
a a
sin
cos
sin
cos
sin
cos
J
J
J
J
x
uv
y
xy
+
a - a a - a a
J
J
J
J
x
y
x
y
=
+
-
cos
sin
J
2
J
2
u
xy
2
2 +
a - a
J
J
J
J
x
y
x
y
=
+
-
cos
sin
J
+a 2
J
2
v
xy
2
2
a
J
J
x
y
=
-
sin
cos
J
2
J
2
uv
xy
2
20
a - a
ụ
ứ
J2
-=a
2tg
ị
J
xy J
x
y
-
Công th c xoay tr c c a mômen quán tính ủ V trí h tr c quán ệ ụ tính chính trung tâm đ c xác đ nh ị ượ uv=0 t đi u ki n J ệ ừ ề hay
+
J
J
2
2
x
y
(
)
+
=
+
J
J
J
J4
max
x
y
xy
2 +
J
J
2
2
x
y
(
)
=
+
- ị ố
J
J
J
J4
min
x
y
xy
2
1 2 1 2
- -
21
Tr s mômen quán tính đ i v i ố ớ h tr c quán tính ệ ụ chính
Ví d 4.1ụ
ị
ủ ặ
22
Xác đ nh mômen quán tính chính trung tâm c a m t c t ắ
Ví d 4.1ụ
Xác đ nh tr ng ị ọ tâm m t c t ặ ắ
3
yF i
i
i
=
=
y
a
c
= 1 3
5 3
(cid:229)
F i
= 1
i
23
(cid:229)
Ví d 4.1ụ
Mômen quán tính chính trung tâm
=
+
+
J
J
J
J
x
F 2 x
F 3 x
4
=
a
=
+
+
J
J
J
J
F 1 x 143 3 F 1 y
y
F 2 y
F 3 y
4
=
19
a
24
Ví d 4.1ụ
Bán kính quán tính chính
=
=
i
993,1 a
x
J x F
143 2 = a 12.3
J
=
=
i
,1
258
a
y
y F
19 2 = a 12
25
Ví d 4.2ụ M t thanh ghép g m
ồ
có s ố
0 20a Thép góc đ u c nh ề
ộ hai thanh Thép ch ữ (cid:204) hi u Nệ
ạ
ố ệ
ị
ng c a h tr c ươ
26
có s hi u N08(80x80x6). Xác đ nh các mômen quán tính chính và ph ệ ụ ủ quán tính chính trung tâm c a m t c t. ặ ắ ủ
Ví d 4.2ụ
h = 20cm b1= 8cm z1 = 2,27cm F1 = 25cm2 Jx1 = 1660cm4 Jy1 = 137cm4
27
ữ (cid:204) Đ i v i thép ch ố ớ 0 20a) (s hi u N ố ệ
Ví d 4.2ụ
ữ ố ệ
b2= 8cm z2 = 2,19cm F2 = 9,38cm2 Jx2 = Jy2 = 57cm4 Jx0 = Jmax = 90,4cm4 Jy0 = Jmin = 23,5cm4
28
Đ i v i thép ch góc ố ớ 0 đ u c nh (s hi u N ạ ề 8 (80x80x6)
=
=
Ví d 4.2ụ Xác đ nh tr ng ọ ị tâm m t c t: ặ ắ ,1 217 x cm C y
C
13,2 cm
ệ ụ
ộ ọ
L p h tr c trung tâm ậ XCY, g i Cọ 1 và C2 là t a đ tr ng tâm c a ủ ọ thép (cid:204)
và thép V: C1(-1,217; -2,13),
29
C2(3,25; 5,68)
Ví d 4.2ụ
Mômen quán tính
ng c a ủ ươ
+
J
J
ệ ụ
F 2 X
X
=
+
J
F 1 Y
Y
J =
F J 2 Y +
J
J
J
F 1 XY
XY
F 2 XY
30
chính và ph h tr c quán tính chính trung tâm c a ủ m t c t. ặ ắ = F J 1 X
Ví d 4.2ụ
2
2
4
(
=
+
=
+
=
,
J
J
1660
132x25
, cm4 1773
F 1 X
F 1 x 1
) FY C 1 1
2
2
4
(
)
)
=
+
=
+
=
,
J
J
Y
57
( , 685389
, 359 cm6
F 2 X
F 2 x
F 2
2C
2
2
2
4
(
)
=
+
=
+
=
J
J
X
137
, 217 1x25
, cm6 173
F 1 Y
F 1
F 1 y 1
C 1
2
2
4
(
)
=
+
=
+
=
,
J
J
X
57
, 253x389
cm156
F 2 Y
F 2 y
F 2
C
2
2
31
Đ tính đ
ạ
-
Ví d 4.2ụ c mômen quán ượ ể tính ly tâm, tr c tiên ta ph i ả ướ tính mômen ly tâm c a thép ủ góc đ u c nh đ i v i h tr c ố ớ ệ ụ ề O2x2y2. J
J
x
y
0
0
=
+a
sin
cos
J
2
J
2
yx 22
yx 00
2
a
, 523
4
=
=
J
, 33 cm45
-
yx 22
, 4 990 2
32
sin2a =sin900=1 Jx0y0=0
Ví d 4.2ụ
=
+
J
Fba 111
F 1 yx 11
F J 1 XY +=
13,221,10
x
x
25
4
=
,64
4325
cm
=
+
J
F 2 XY
Fba 22 2
J =
F 2 yx 22 +
45,33
38,9)68,525,3(
x
4
=
6,206
cm
33
Ví d 4.2ụ
4
=
+
=
J
J
J
2133
cm
X
F 1 X
F 2 X
4
=
+
=
J
J
J
cm330
Y
F 1 Y
F 2 Y
4
=
+
=
J
J
J
cm271
XY
F 1 XY
F 2 XY
34
Ví d 4.2ụ
ng c a h tr c quán ươ ệ ụ
J2
271
-=a
-=
-=
tan
2
, 301 0
Ph ủ tính chính trung tâm là:
J
XY J
x2 2133
330
X
Y
- -
1= -8036’, a
2=81024’
35
Gi i ra ta đ ả ượ a c
Ví d 4.2ụ
ị ố ố ớ ệ ụ
2
(
)
+
Tr s mômen quán tính đ i v i h tr c quán tính chính trung tâm
+
J
J4
J
J
J
X
2 XY
X
Y
=
-
J
max min
Y 2
2
(
)
+
–
2 +
2133
2 271.4
330
=
-
J
max min
2133 2
330 2
4
2171
5,
cm
=
4
5,292
cm
36
–
Ví d 4.3ụ
ị
Xác đ nh mômen quán tính chính trung tâm c a m t ủ c tắ
37
ặ
ị
ọ ọ ệ ụ ặ ắ
ượ
=
x C y
4
C
Xác đ nh tr ng tâm m t c t ặ ắ Ch n h tr c xOy, chia m t c t thành hai hình, tr ng tâm m t c t ặ ắ ọ ứ công th c đ c xác đ nh t ừ ị = 5,1 a
ọ ặ ắ ọ
ậ
( , aa50C (
ậ ộ ụ
) , )a2a ,
1 C
a V y tr ng tâm m t c t có t a đ C(1,5a; 4a). Qua C l p h ệ 1, tr c trung tâm XCY, khi đó C C2 đ i v i h tr c XCY là
2
38
- - ố ớ ệ ụ
Ví d 4.3ụ
4
=
+
=
J
J
J
a32
X
F 1 X
F 2 X
4
=
+
=
J
J
J
a17
Y
F 1 Y
F 2 Y
4
=
+
=
J
J
J
a12
XY
F 1 XY
F 2 XY
39
Mômen quán tính chính
Ví d 4.3ụ
ươ ủ
4
J2
-=
-=
tan
-=a 2
, 61
a12x2 4
4
Ph chính trung tâm c a m t c t. ng c a h tr c quán tính ệ ụ ủ ặ ắ
J
XY J
a17
a32
X
Y
- -
1= -290, a
2=610
40
Gi i ra ta đ ả ượ a c
Ví d 4.3ụ
2
(
)
+
+
J
J
J4
Tr s mômen quán tính đ i v i ị ố ố ớ h tr c quán tính chính trung ệ ụ tâm là: J
J
X
2 XY
X
Y
=
-
J
max min
2
Y 2
4
4
4
4
(
) 24
) 24
+
–
+
, a65 38
a32
( a124
a32
a17
=
=
-
J
4
max min
2
a17 2
, a85 10
41
–
