Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học
ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - TỪ K62
Nhóm ngành 3 Mã số : MI 1113
1) Kiểm tra giữ a kỳ hệ số 0.3: Tự luận, 60 phút.
Nội dung: Chư ơng 1, chư ơng 2 đến hết tích phân bất định củ a các hàm
phân thứ c hữ u tỉ.
2) Thi cuối kỳ hệ số 0.7: Tự luận, 90 phút.
Chương 1
Phép tính vi phân hàm một biến số
1.1-1.4. Dãy số, hàm số
1. Tìm tập xác định củ a các hàm số
a) y =√arccotx −5π
b) y = arcsin 2x
1 + x
c) y =√x
sin πx
d) y = arccos(sin x).
2. Tìm miền giá trị củ a hàm số
a) y = lg(1 −2cosx)
b) y = arcsin lg x
10
c) y = arctan(sin x)
d) y = arctan(ex).
3. Biểu tính thuế thu nhập cá nhân đư ợ c xác định như sau. Dư ới 5 triệu,
không phải chịu thuế. Từ 5 triệu đến dư ới 10 triệu, chịu thuế 5%, từ 10
triệu đến dư ới 20 triệu, 10%, từ 20 triệu đến dư ới 30 triệu, 15%, từ 30 triệu
đến dư ới 50 triệu, 20%, từ 50 triệu đến dư ới 80 triệu, 25%. Từ 80 triệu,
30%. Tìm hàm biểu diễn tiền thuế phải nộp theo mứ c thu nhập.
4. Tìm f (x)biết
1
a) f x+1
x
=x2+1
x2b) f x
1 + x
=x2.
5. Tìm hàm ngư ợ c củ a hàm số
a) y = 2arcsin xb) y =1−x
1 + xc) y =1
2(ex−e−x).
6. Tìm giới hạn củ a nhữ ng dãy số (nếu hội tụ ) với số hạng tổng quát xn
như sau
a) xn=n−√n2−n
b) xn=ncosnπ
c) xn=sin2n−cos3n
n
d) xn=1+ 1
2+1
4+···+1
2n
1+ 1
3+1
9+···+1
3n
e) xn=1
1.2+1
2.3+··· +1
(n−1).n
f) xn=√ncosn
n+ 1
7. Tìm giới hạn củ a nhữ ng dãy số với số hạng tổng quát xnnhư sau
a) xn=1
√n2+ 1 +1
√n2+ 2 +··· +1
√n2+n
b) xn=1
√2n2+1
√2n2−1+··· +1
√2n2−(n−1)2
c) xn=1
√3n2+ 1 +1
√3n2+ 22+··· +1
√4n2
8. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) củ a các dãy với số hạng tổng quát
xnnhư sau
a) xn=pa+√a+··· +√a (n dấu căn)
b) xn=1
2+ 1
2+ ···+1
2
(n phép chia)
c) xn=1
2
xn−1+1
xn−1
1.5-1.6. Giới hạn hàm số
9. Tìm giới hạn
2
a) lim
x→0
1
x√1 + x−1
x
b) lim
x→1
x100 −2x+ 1
x50 −2x+ 1
c) lim
x→+∞
3
√x3+x2−1−x
d) lim
x→0
m
√1 + αx −n
√1 + βx
x
e) lim
x→+∞x√x2+ 2x−2√x2+x+x
f) lim
x→0
√1+ 4x−1
ln(1+ 3x)
10. Tìm giới hạn
a) lim
x→0+
ln(x+ arccos3x)−ln x
x2
b) lim
x→+∞
sin √x+ 1 −sin √x
c) lim
x→0
√cosx−3
√cosx
sin2x
d) lim
x→0
1−cosxcos2xcos3x
1−cosx.
11. Tìm giới hạn
a) lim
x→∞
x2−1
x2+ 1
x−1
x+ 1
b) lim
x→0+(cos√x)1
x
c) lim
x→0
ln(1+ 4sin x)
3x−1
d) lim
n→∞ n2(n
√x−n+ 1
√x),x > 0.
e) lim
x→∞
sin 1
x+ cos 1
xx.
f) lim
x→1(1 + sin πx)cOT πx
g) lim
x→∞ [(x+ 2) ln(x+ 2) −2(x+ 1) ln(x+ 1) + xln x].
12. So sánh các cặ p VCB sau:
a) α(x) = px+√xvà β(x) = esin x−cosx, khi x→0+.
b) α(x) = 3
√x−√xvà β(x) = cosx−1, khi x→0+.
c) α(x) = x3+ sin2xvà β(x) = 1 −cosx, khi x→0.
1.7. Hàm số liên tục
13. Tìm ađể hàm số liên tụ c tạ i x= 0
a) f(x) =
1−cosx
x2,nếu x6= 0,
a, nếu x= 0.
3
b) g(x) =
ax2+bx + 1, nếu x ≥0,
acosx+bsin x, nếu x < 0.
14. Hàm f (x)sau liên tụ c tại nhữ ng giá trị x nào?
a) f (x) =
0, nếu x hữ u tỉ ,
1, nếu x vô tỉ . b) g(x) =
0, nếu x hữ u tỉ ,
x, nếu x vô tỉ .
15. Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại gì củ a hàm số
a) y =8
1−2cot x
b) y =1
xarcsin x
c) y =sin 1
x
e1
x+ 1
d) y =eax −ebx
x,(a6=b)
16. Các hàm số sau đây có liên tụ c đều trên miền đã cho không?
a) y =x
4−x2;−1≤x≤1b) y = ln x; 0 < x < 1
1.8. Đạo hàm và vi phân
17. Tìm đạohàm củ ahàm số f (x), biết f (x) =
1−x, nếu x < 1,
(1 −x)(2−x), nếu 1≤x≤2,
x−2, nếu x > 2.
18. Tính f ′(x)biết f ′(2017x) = x2.
19. Với điều kiện nào thì hàm số
f(x) =
xnsin 1
x, nếu x 6= 0,
0, nếu x = 0
(n∈Z)
4
a) Liên tụ c tại x = 0
b) Khả vi tại x = 0
c) Có đạo hàm liên tụ c tại x = 0.
20. Trong năm 2016, GDP (tổng thu nhập quốc dân) củ a Việt Nam theo
đầu ngư ờ i là 6.421 USD, dân số (ư ớ c tính) 95.414.640, tố c độ tăng trư ởng
GDP 6,2%, tố c độ tăng dân số 1,1%. Xác định GDP và tố c độ tăng trư ởng
GDP củ a Việt Nam trong năm 2016.
21. Chứ ng minh rằng hàm số f (x) = |x−a|ϕ(x), trong đó ϕ(x)là một
hàm số liên tụ c và ϕ(a)6= 0, không khả vi tại điểm x =a.
22. Tìm vi phân củ a hàm số
a) y =1
aarctan x
a,(a6= 0)
b) y = arcsin x
a,(a6= 0)
c) y =1
2aln
x−a
x+a
,(a6= 0)
d) y = ln
x+√x2+a
.
23. Tìm
a) d
d(x2)
sin x
x
b) d(sin x)
d(cosx)c) d
d(x3)x3−2x6−x9.
24. Cho hàm số f (x), biết rằng đư ờng tiếp tuyến với đồ thị củ a f (x)tại
điểm (4,3) đi qua điểm (0,2), tính f (4) và f ′(4).
25. Nếu C(x)là chi phí sản xuất củ a x đơn vị một mặt hàng nào đó. Khi
đó chi phí biên là C′(x)cho biết chi phí phải bỏ ra khi muốn tăng sản
lư ợng thêm một đơn vị. Cho hàm
C(x) = 2000 + 3x+ 0,01x2+ 0,0002x3.
Tìm hàm chi phí biên, xác định chi phí biên tại x = 100, giá trị đó nói lên
điều gì?
26. Tìm đạo hàm cấp cao củ a hàm số
5