Đề cương ôn tập Toán cao cấp học kì I năm 2016-2017

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP - HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016- 2017

A. Nội dung Chương 1: Ma trận định thức và hệ phương trình tuyến tính

Các phép toán trên ma trận Định thức của các ma trận Hạng của ma trận

1.1 1.2 1.3 1.4 Ma trận nghịch đảo 1.5 1.6 Hệ phương trình tuyến tính Phương trình ma trận

Chương 2: Phép tính vi phân hàm một biến Tính đạo hàm, đạọ hàm cấp cao 2.1 2.2 Vi phân hàm một biến

Chương 3: Nguyên hàm – tích phân

Tích phân bất định Tích phân xác định Tích phân suy rộng 3.1 3.2 3.3 3.4 Ứng dụng của tích phân xác định

Chương 4: Phép tính vi phân hàm nhiều biến Vi phân toàn phần hàm hai biến 4.1 4.2 Cực trị hàm hai biến

Chương 5: Phương trình vi phân

5.1 5.2 5.3 5.4 Phương trình phân ly biến sô Phương trình vi phân đẳng cấp Phương trình vi phân tuyến tính Phương trình Becnoullie

B. Bài tập

A =

; B =

−1 0

3 4 −2 −3

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

2 −1 5

1 0 −2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ B

A B +−

Bài 1: Cho 2 ma trận

a) Tính b) Tìm phần tử thuộc hàng 2, cột 1 của ma trận tích AB ĐS:

A B +

A − =−

16 19

−

⎡ ⎢ 3 = − ⎢ 2 ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 3 ; 2 ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

−

⎤ ; ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

21 ⎡ ⎢ 43 ⎣ a) Tính A2; BBt ; 3A − BBt . b) Có tồn tại ma trận AB, BA không? Vì sao?

Bài 2: Cho các ma trận . b) Phần tử thuộc hàng 2 và cột 1 của ma trận tích AB là 0. 2 01 ⎤ ⎥ 312 ⎦

ĐS:

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 1

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP - HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016- 2017

10 7 15 22

−3 5 −3 14

9 −2 12 −2

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥; BBt = ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥; 3A − BBt = ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ . ⎦

a) A2 =

b) Tồn tại AB vì số cột A bằng số hàng B ; không tồn tại BA vì số cột B khác số hàng A .

Bài 3: Cho các ma trận A cấp 3 × a , B cấp 5 × b , C cấp c × 2 , biết AB = C . Tìm a, b, c . ĐS: a = 5, b = 2, c = 3.

;

−

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 51 ⎦

⎡− ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎣ 2

Bài 4: Cho các ma trận . Tính AB và BA .

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ − 7

− 5

;

− 7

−

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

−

1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

− 2

ĐS:

1 3 2 2 −1 5 2 2 4

1 −1 1 5 3 1 2 1 0

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Bài 5: Tính .

0 7 − 8 −

3 3 2 −

1 −⎡ ⎢ 4 ⎢ 2 ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

ĐS: .

Bài 6: Tính các định thức sau:

det(B) =

) =

; ; ; det(A) =

1 1 2 1 m 2 5 −1 2

det C(

1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1

4 −2 m −5 m 1 −3 4 2

; . det(D) = det(E) =

det(C) = 6m − 16 ;

1 0 0 1 −2 2 3 1 0 3 2 2 3 −1 2 1

1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 3 1 1 1 ĐS: det(A) = −2m2 − 32m + 10 ; det(B) = −7 ; det(D) = −48 ; det(E) = 42 .

A =

1 −2 1 3 1 2

0 −1 −1

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Bài 7: Cho ma trận . Tính det( A);det(3A);det( A2016 );det( A3A−1At ) .

1 4

3 2

ĐS: det( A) = −2;det(3A) = −54;det( A2016 ) = (−2)2016;det( A3 A−1At ) = −8.

; B = Bài 8: Tìm hạng của ma trận A = 2 3

3 4 7 1 1 10 4 17 1 3

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 5 −1 4 2 1 7 11 8 11 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

ĐS: r(A) = 2;r(B) = 2

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP - HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016- 2017

2 1

Bài 9: Cho ma trận A = , tìm điều kiện của m để hạng của A bằng 4.

0 0 2 −1 1 −2 1 m 3 0 5 1 2 2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

ĐS: det(A) ≠ 0 ⇔ m ≠ 12

Bài 10: Cho ma trận B =

0 −1 3 2 1 −2 3 2 0 3 m 23 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

a) Biến đổi ma trận sau về ma trận bậc thang, từ đó biện luận theo m hạng ma trận. b) Biết rằng B là ma trận bổ sung của một hệ phương trình tuyến tính. Với giá trị nào của m thì hệ đó có vô số nghiệm.

ĐS:

a) B... →

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

18−=m

⎡ 2 0 −1 3 ⎢ 1 0 3 −2 ⎢ 0 0 18 + m 0 ⎢ ⎣ - Với m = −18 : r(B) = 2 - Với m ≠ −18 : r(B) = 3. b)

1 1 2

1 2 1 − 1 2 a a 1 1

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

. Bài 11: Biện luận theo a hạng của ma trận

ĐS: hạng ma trận luôn bằng 3 với mọi a ∈! .

. Bài 12: Cho ma trận A =

m −1 −2 3 1 2 1 0 −1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a) Với giá trị nào của m thì A khả nghịch. b) Tìm ma trận nghịch đảo của A khi m = −1.

1 2 −5 2 1 2

1 2 −3 2 1 2

−1 2 −1 2 1 2

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

ĐS: m ≠ −3; A−1 =

A =

2 4 −1 0 1 3 x 1 1

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

) .

( . 5=x

Bài 13: Cho ma trận

a) Tìm x để A khả nghịch. Khi đó tính det A−1 b) Tìm ma trận nghịch đảo của A khi ĐS:

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 3

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP - HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016- 2017

1 2x + 2

; a) x ≠ −1. det( A−1) =

A−1 =

1/ 6

−7 / 4 5 / 4 1/ 4 −5 / 12 11/ 12 −1/ 12 1/ 6 −1/ 6

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

A =

1 −1 2

3 2 −3 0 −4 m

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a) Tìm m để ma trận A khả nghịch. b) Với m = 1, tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A .

Bài 14: Cho ma trận

3 5

ĐS: a)

A−1 =

−

6 5 1 2 2 5

7 5 1 2 4 5

1 5

6m ≠ . ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 ⎡ ⎢ 1 2 = ⎢ 1 1 ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Bài 15: Cho ma trận

0m = , hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A (nếu có).

a) Tìm m để ma trận A khả nghịch. b) Với

ĐS:

A−1 =

b) .

−2 3 2 3 1 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

a) det( A) ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ; 4 1 3 3 −1 −1 3 3 −2 1 3 3

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ Bài 16: Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:

−x + y + 3z − 2t = 1 3x − y + z + 5t = −3 x + y + 8t + z = −1

−4x + 3y − 2z + t = 0 5x − y + 10z + 5t = 0 3x − 5y − 6t − 7z = 0

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

a) ; b) ;

x + 2 y − 3z + 2t = 3 2x + y − 5z + 3t = 6 −2x − 7 y + 7z − 5t = −6

2x + y − z = 1 3x − 2 y − 2z = 2 5x − y − 3z = 2

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

− 7z + 4t = 9

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

c) ; d) .

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 4

−

x z

−= 0 =

25 t

−

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP - HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016- 2017

z − 11 z − 11

x = 4 y + z + 3 t = −3y + z y, z ∈R

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

, Rtz ∈

= Ry ∈

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ t ⎪ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

1 2

;

ĐS: a) ; b) ; c) ; d) Hệ vô nghiệm.

−2 1 2 1 2 3

A =

1 −⎡ = ⎢ 2 2 3 ⎣

⎤ ⎥ ⎦

−1 1 3

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

. Bài 17: Cho các ma trận

a) Tính định thức của ma trận 5A b) Tìm ma trận 𝑋 sao cho XA = B .

ĐS: a) det(5A) = 750

. b) X =

−5 2 −1 2 −5 6 7 6 19 6 1 6 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

; B =

1 6 −1 −7 8 2

3 −5 5

1 −1 2 3 0 −1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

. Bài 18: Cho các ma trận A =

− 2 t

−

Tìm ma trận X sao cho AX = B .

∈∀

3 t

−

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

ĐS : .

x = ; 0

)e2 x+3 tại x = 1;

a) f (x) = (x 2 + b) y = 1− x 2arcsin(−x) tại Bài 19: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1 x 2

y =

x = ; 0

⎛ ⎝⎜

tại c) d) f (x) = 3 x +arccos x ;

arctan

x x

e) ; f) f (x) = x 2 + e2 x ;

( h) y = 2 2x − 1

)5/4 2x + 1 (

)3/4

x − 5 ⎞ ⎠⎟ 3x + 1 1 − 1 + 1 x ĐS:

g) y = arctan tại x = 1 ; .

b) a) f '(1) = 5e5 ; arcsin(−x) − 1; ′y = ′y (0) = −1;

−

⎞ ⎠⎟ 3 x +arccos x ln 3 ;

1 1− x 2

c) y'(0) = −160 ; d) f '(x) = −x 1− x 2 ⎛ 1 ⎝⎜ 2 x

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 5

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP - HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016- 2017

′y =

e) ; f) f '(x) =

(

) .

( h) y' = 5 4x 2 − 1

(

)1/4

−1 1+ x 2 ; −1 2

; + 3 4x 2 − 1 2x − 1 g) y'(1) = x + e2 x x 2 + e2 x )3/4

Bài 20: Cho hàm số f (x) = , tìm f '''(x) .

)4 .

(

ĐS: f '''(x) =

x 2 + 3 x − 1 −24 x − 1 Bài 21: Tính vi phân của các hàm số sau tại điểm cho trước:

tại x = 0; a) y = 1+ 1− 2x

(

f (x) = arctan

b) tại điểm x = 3 ;

)3 x + 3 1− 3x c) y = arccos 2x − x 2 tại điểm x = 1,5 ; d) y = 1− x 2 .s inx tại điểm x = 0 .

ĐS:

dx ;

1 10

2 b) df (3) = a) dy(0) = −12dx ; dx ; d) dy(0) = 1dx 3 c) dy(1,5) = Bài 22: Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) y = x 2 + 1ln(x 2 + 1) ; ex b) f (x) = 1+ ex ĐS:

dx .

(ln(x 2 + 1) + 2)dx ; a) dy =

e− x

b) df = x x 2 + 1 2ex − e2 x (1+ ex ) 1+ ex Bài 23: Tìm các họ nguyên hàm sau:

dx ;

∫

2x − 3 x 2 + 6x + 5

4x 2 2x6 + 5x3 − 7

∫

e− x + 2

1) ; dx ; 4) 3) ; 2) ln 5 − x

(

)2 dx

∫

arcsin x dx

∫

dx s inx

∫

; ; ; 7) 8) . 6) dx 4 − x 2 xdx 4 − x 2 5) ∫ ĐS:

− 5 ln 5 − x + C ;

+ C ; 3) x ln 5 − x −

x 2

4 9

x 3 − 1 2x 3 + 7

2) 1) 2 ln x + 1 − ln x + 5 + C ;

+ C

+ C ;

x 2

arcsin

4) 5) 6) − 4 − x 2 + C ;

+ C ;

1 e− x + 2 1 2

7) ; 8) x arcsin x + 1− x 2 + C .

1+ cos x 1− cos x 2 − x 2 x 3 − 6x + 1

Bài 24: Cho f (x) = , tìm hàm số F(x) thoả mãn F '(x) = f (x) và F(0) = 2 .

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 6

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP - HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016- 2017

ln x 3 − 6x + 1 + 2 .

−1 3

ĐS: F(x) =

3 4

arctan

Bài 25: Tính các tích phân sau:

dx ;

2x − 1

(

)e3x dx

∫

x 2 4 + x 2

2x − 1 x(1− x)

−1

∫ 0

∫ 1 4 π 4

; 2) 3) ; 1)

dx ;

x ln x

dx .

1+ sin 2x cos2 x

x + 5 ex

2x − 1 x 2 − 2x + 5

∫ 1

5) 7)

∫ 1

6) ∫ 0 4) ∫ 0 ĐS:

5 9

π 64

2) ; ; 3) 1) π ;

π 8

1 4

e2 4

11 9e3 − 7 e

; 7) . 5) ; 6) 6 − 4) 1+ ln 2 ;

ln 2 + Bài 26: Tính các tích phân suy rộng sau:

+∞

(

1) x

e dx

I 1

∫

dx x +−

dx 2 x +

∫ 0 4

−∞

+∞

−

; ; ;

sin

x e .

5I =

= ∫

∫

= ∫

1 x

1 2 x

dx x 2

+∞

2 π +∞

+∞

; ;

7I =

∫

dx 2 ln

dx x 2

(

)

; ;

ĐS:

ln 4

I = 3

I 1

I = ; 0 2

1 3

1 e= 2

π 4

; ; ;

I = ; 6 1

8I = +∞ ;

I = 9 1

1 ln 2

;

4 =−

I7 = Bài 27: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x= và y = 0 ;

ĐS: a) (đvdt); b) 108 (đvdt). a) b) y = x 2 − 6x − 7 và y = −2x 2 + 6x + 8 . 37 6 Bài 28: Tính độ dài phần đường cong của đồ thị hàm số

( ) 2ln( f x =

a) , với 5 ≤ x ≤ 8 ;

f (x) =

+− ex + e− x 2

x≤ ≤

b) , với 0 ≤ x ≤ 3 ;

;

f (x) =

x 2 −

ln x , với 1 ≤ x ≤ e .

1 4

c) f (x) = ln x , với 3 1 2 ĐS:

dx = ... = 1;

∫

x x 2 − 4

l =

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 7

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP - HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016- 2017

dx = ... =

∫

e x +e− x 2

e 3−e−3 2

l =

b) ;

dx = ... = 1+

∫

x 2 + 1 x

3 2

1 2

l =

c) ;

dx = ... = )

−

1 4x

e2 2

1 4

e l = (x + ∫ 1

d) .

yxf ;(

2 yx

)

−

a) ; Bài 29: Tìm vi phân toàn phần của các hàm 2 biến sau: x 2

xyxe x ln(

)

=);( yxf yxf );( =

; 2 tại điểm (1, 2); b) c)

;01.0

02,0

x =Δ

y −=Δ

+ y x e) f (x; y) = arcsin(x − 2y) tại (0, 0) ; ) tại điểm (2, 0); ( f) z = y ln x 2 − y2 g) z = ex cos y + x sin y ) tại (0, 0). ( ĐS:

tại điểm (1, 1) với ; d) f (x; y) = arctan

− 3)dx + (2x 2 −

2 x y3 )dy

1 2y2 x

; a) df = (4xy +

b) df = exy(1+ xy)dx + x 2exydy ;

dx +

2 9

8 9

; c) df (1,2) =

d) −0,015 ; e) df (0,0) = dx − 2dy ; f) dz(2,0) = 0dx + ln 4dy ; g) dz(0,0) = dx + 0dy = dx .

Bài 30: Tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) f (x, y) = −8x 3 + 12x 2y − 24x 2 − 6y2 + 1 ; b ) f (x, y) = (x + y2 )ex−2 y ; c) f (x, y) = −x3 + 3x 2 y − 6x 2 − 6 y 2 ; d) f (x, y) = xy(1− x − y) ; e) f (x, y) = 5y3 + 4x 2 − 135y + 8x + 274 ; f) f (x, y) = −x 2 y 2 + 4xy − x 2 + 4x ; g) f (x, y) = 3x 2 + 2e y − 2 y + 3 .

ĐS: a) Hàm số đạt cực đại taị (0,0) , giá trị cực đại tại điểm đó là f (0,0) = 1 ; b) Hàm số đạt cực tiểu tại (−2,−1) và fCT = f(−2,−1) = −1 ; c) Hàm số đạt cực đại tại (0,0) , giá trị cực đại tại điểm đó là f (0,0) = 0 ;

fCD =

1 3

1 27

( d) Hàm số đạt cực đại tại

) và

;

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 8

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP - HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016- 2017

) = 0 ;

e) Hàm số đạt cực tiểu tại

) và ) và ) và

( fCT = f −1,3 fCD = f 2,1( fCT = f 0,1(