Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán học 12 kèm đáp án

SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP Trường THPT Cao lãnh 2

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009 - 2010

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) SÁNG Ngày thi: 20 tháng 9 năm 2009 (Đề thi gồm có: 01 trang)

Câu 1: (3.0 điểm)

2

y





  f x

x  x

1

2

3

1. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) một điểm có hoành độ lớn

)1

)1

m

m











1

x

x

(

(

2. Cho hàm số

3

3

sin

x

hơn 1 sao cho tại điểm này tiếp tuyến của (C) tạo với hai đường tiệm cận của (C) tạo thành một tam giác có chu vi nhỏ nhất. y x  . Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m. Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau. Câu 2: (5.0 điểm)



1 8

x

x





tg

x . 3cos    3 

x  6 2

2.1. Giải phương trình: .

x 3sin.    2 y  x    x x (

 cos   tg .     4    y   y y 1) (

x 1)

2

  

y 2.3. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: yx – x2 + y – x – 1 = 0

2.2. Giải hệ phương trình:



tg



Câu 3: (3.0 điểm)

B 2 B cos





32 3 1

 A tg   2  A cos  sin A



sin4

A



sin41

B

sin

B

3.1. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn: . CMR ABC đều.

sin

B



sin4

B



sin41

C

sin

C

     

2 2 2 2

3.2. Tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn: đều . CM ABC

n

2010

L

Câu 4: (2.0 điểm)

u (

) :

n

  .

lim  n

1 u

i

 1



u



u



1

i

 1

n

2 n

n

u  1  u 

Cho dãy số . Tính giới hạn:

n



2

Câu 5: (2.0 điểm) 5.1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có đúng hai chữ số 1 và 3 chữ số còn lại khác nhau?

2 .2

2 .1

C

C



nn (

....





2).1

2 n

1 n

2n 3 2 C 3 n

n n

5.2. Cho n là số nguyên dương với  . Chứng minh rằng: 2 Cn .  

2

2

Câu 6: (2.0 điểm)



721



x



xy



2

y



721

2

y

x

3



xy

2

2

2

. Trong đó x, y là các số thực thoả Chứng minh rằng: 2 .

sin

sin

sin













1

mãn:   Câu 7: (3.0 điểm) 7.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(10;5), B(3;2), C(6;-5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tìm giao điểm của đường tròn này với đường thẳng y = 5. 7.2. Cho tứ diện OABC với OA = a, OB = b, OC = c và OA, OB, OC đôi một vuông góc với  , , là góc giữa OA, OB, OC với mặt phẳng ( ./.Hết. nhau. Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c. Gọi ABC). Chứng minh rằng:

Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 1

SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP Trường THPT Cao lãnh 2

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009 - 2010

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 05 trang) Đáp án Điểm

x

3.0 Câu 1 1.5 1.1. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho chu vi nhỏ nhất.

2 0 1

; 0 x

0

  xM 

  

Giả sử với x0 > 1 là một điểm thoả mãn đề bài. A và B là giao điểm của tiếp 0.25

2;1



x

 xB 2

0

0

2 x

x 0 

1

0

  , 



BHAI .



2

. 0.25 Khi đó tuyến với đồ thị với các tiệm cận đứng, tiệm cận xiên tương ứng, I( 1; 2) là giao điểm của hai tiệm cận.   ;1 A 

BH 

AI

S ABI

1 2



IBIA .

sin

AIB 

IBIA .



24

. Ta có (đvdt). 0.25 Dựng

S ABI

. 0.25 Mặt khác

0

1 2 4 24 2 IB 

IA IA

 IB 2 

 8

.2

cos

45



.2

0.25 Từ đó 2 AB  . Từ định lí cosin cho tam giác AIB có 128  . IBIA IBIA  .

4

4

4

1 1 .  2;  2  0.25 Kết luận: Chu vi tam giác AIB đạt giá trị nhỏ nhất ứng với 2  1M      2 1.2. Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau.

1.5 ĐS Vậy m = 2 thỏa yêu cầu bài toán. 5.0 Câu 2 2.0 2.1. Giải phương trình lượng giác.

x





 k



 k

Z

 6

thoả mãn các điều kiện bài toán. ĐS Nghiệm

2.0 2.2. Giải hệ phương trình.

2

2

2

2

 

  x  y 

   x   y 

2 Tóm lại hệ Pt (I) có 4 nghiệm V V V ĐS 2 x 1   y    x     y 1 

2

2

2

2

x

y

x y 4



  

x

y

x y 4

y)

x y 0



  



  

2

2

xy

2

xy

2

 

 

x

y

x y xy 2



  



 (x    

    

x

y 0 hay x y

1

x

y 0 hay x y

1

 

  

 

  

CÁCH KHÁC (I) 2

xy

2

xy

2

 

 

    

1

  

2.0

x

y

2

2

 

x y 2

2

x

x 2 0

  

x

2

2

2



 

  

              

  x  y 

   x   y 

2 hay  V V V 2 x 1   y    x     y 1 

2.3. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: yx – x2 + y – x – 1 = 0 (3). Thử lại ta được các nghiệm của (3) là: (x; y) = (- 2; - 3), (0; 1).

3.1. Chứng minh tam giác ABC đều. 1.0 ĐS 3.0 Câu 3 1.5

 

A B

  

ABC

 3

đều ĐS

sin

sin

B



3.2. Chứng minh tam giác ABC đều.  1.5 0.25 A Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 2

n



0.25 Lập phương trình tương tự đối với điều kiện thứ hai của hệ, ta có sinB = sinC. 0.25 Suy ra điều cần chứng minh. 2.0 Câu 4

lim  n

1 2009

 1

i

1  iu

n



2

2 .2

2 .1

C

C





 3360 2 Cn . 

ĐS



2).1

2 n

1 n

4704 n  n

n

n

n

n



2

n

1 

n



2

. nn ( 2.0 Câu 5 1.0 ĐS 1.0 5.1. Số tạo thành có 5 vị trí. Xét hai trường hợp Theo quy tắc cộng, số các số phải tìm là: 1344  3 2 C  3 .... 5.2. Chứng minh rằng: n





kC







n 2.





2 Ck



 kk

 C 1

 nn

 21

 nn

  21

k n

k n

k n

( đpcm) Suy ra 0.5







1 

k

k

k

1 

2

2

.

1  2.0 Câu 6: Chứng minh rằng:



x



xy



2

y



721

 721 2

2



y

x



2

2



721



x



xy



2

y



721

0





1

nên

.

xy 3

ĐS Theo giả thiết

2

2

)5;10(1M  sin



)5;6(2M    sin

sin



1

2

2

2

2

2

sin





sin





sin









1

7.1. Phương trình đường tròn và giao điểm. . và 2 3.0 Câu 7 2.0 ĐS Vậy có hai giao điểm là 7.2. Chứng minh rằng: 1.0

2

2

1 2 a

1 2 b

1 2 c

2 ba

2 cba 2 2 cb 



2 ac

  

     

  

0.25 Vậy

Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lôgích thì vẫn chấm điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trên thì không chấm phần dưới.

Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 3

(cid:32)(cid:107)(cid:250)(cid:32)(cid:116)(cid:104)(cid:105)(cid:32)(cid:99)(cid:104)(cid:228)(cid:110)(cid:32)(cid:104)(cid:228)(cid:99)(cid:32)(cid:115)(cid:105)(cid:110)(cid:104)(cid:32)(cid:103)(cid:105)(cid:225)(cid:105)(cid:32)(cid:99)(cid:202)(cid:112)(cid:32)(cid:116)(cid:216)(cid:110)(cid:104)(cid:32)(cid:108)(cid:237)(cid:112)(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:32)(cid:116)(cid:104)(cid:112)(cid:116)

(cid:78)(cid:168)(cid:109)(cid:32)(cid:104)(cid:228)(cid:99)(cid:58)(cid:32)(cid:50)(cid:48)(cid:48)(cid:56) (cid:61485)(cid:50)(cid:48)(cid:48)(cid:57)

(cid:83)(cid:235)(cid:32)(cid:103)(cid:105)(cid:184)(cid:111)(cid:32)(cid:100)(cid:244)(cid:99)(cid:32)(cid:118)(cid:181)(cid:32)(cid:174)(cid:181)(cid:111)(cid:32)(cid:116)(cid:185)(cid:111) (cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:32)(cid:71)(cid:105)(cid:97)(cid:32)(cid:108)(cid:97)(cid:105) (cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)

(cid:77)(cid:171)(cid:110)(cid:32)(cid:116)(cid:104)(cid:105)(cid:58) (cid:84)(cid:79)(cid:184)(cid:78)

(cid:84)(cid:104)(cid:234)(cid:105)(cid:32)(cid:103)(cid:105)(cid:97)(cid:110)(cid:58)(cid:32)(cid:49)(cid:56)(cid:48)(cid:32)(cid:112)(cid:104)(cid:243)(cid:116)(cid:32)(cid:40)(cid:107)(cid:104)(cid:171)(cid:110)(cid:103)(cid:32)(cid:107)(cid:211)(cid:32)(cid:116)(cid:104)(cid:234)(cid:105)(cid:32)(cid:103)(cid:105)(cid:97)(cid:110)(cid:32)(cid:103)(cid:105)(cid:97)(cid:111)(cid:32)(cid:174)(cid:210)(cid:41)

(cid:167)(cid:210)(cid:32)(cid:99)(cid:104)(cid:221)(cid:110)(cid:104)(cid:32)(cid:116)(cid:104)(cid:248)(cid:99)

(cid:167)(cid:210)(cid:32)(cid:66)(cid:181)(cid:73)

(cid:67)(cid:169)(cid:117)(cid:32)(cid:49)(cid:58) (cid:40)(cid:51)(cid:32)(cid:174)(cid:105)(cid:211)(cid:109)(cid:41)

(cid:50)

(cid:50)

(cid:71)(cid:105)(cid:182)(cid:105)(cid:32)(cid:112)(cid:104)(cid:173)(cid:172)(cid:110)(cid:103)(cid:32)(cid:116)(cid:114)(cid:215)(cid:110)(cid:104)(cid:58)(cid:32)(cid:108)(cid:111)(cid:103)(cid:51)

(cid:46)

(cid:61501)

(cid:61485)

(cid:120)

(cid:120)

(cid:50)

(cid:61483) (cid:61483)

(cid:61483) (cid:61483)

(cid:120) (cid:50)(cid:120)

(cid:51)(cid:120) (cid:50)(cid:120)

(cid:51) (cid:51)

(cid:67)(cid:169)(cid:117)(cid:32)(cid:50)(cid:58) (cid:40)(cid:51)(cid:32)(cid:174)(cid:105)(cid:211)(cid:109)(cid:41)

(cid:67)(cid:104)(cid:248)(cid:110)(cid:103)(cid:32)(cid:109)(cid:105)(cid:110)(cid:104)(cid:32)(cid:114)(cid:187)(cid:110)(cid:103)(cid:32)(cid:118)(cid:237)(cid:105)(cid:32)(cid:109)(cid:228)(cid:105)(cid:32)(cid:115)(cid:232)(cid:32)(cid:110)(cid:103)(cid:117)(cid:121)(cid:170)(cid:110)(cid:32)(cid:97)(cid:44)(cid:32)(cid:98)(cid:44)(cid:32)(cid:108)(cid:117)(cid:171)(cid:110)(cid:32)(cid:116)(cid:215)(cid:109)(cid:32)(cid:174)(cid:173)(cid:238)(cid:99)(cid:32)(cid:115)(cid:232)(cid:32)(cid:110)(cid:103)(cid:117)(cid:121)(cid:170)(cid:110)(cid:32)(cid:100)(cid:173)(cid:172)(cid:110)(cid:103)(cid:32)(cid:110)(cid:32)(cid:115)(cid:97)(cid:111)

(cid:99)(cid:104)(cid:111)(cid:32)(cid:115)(cid:232)(cid:32)(cid:102)(cid:40)(cid:110)(cid:41)(cid:32)(cid:61)(cid:32)(cid:110)(cid:51)(cid:32)(cid:43) (cid:97)(cid:110)(cid:50)(cid:32)(cid:43)(cid:98)(cid:110)(cid:32)(cid:43)(cid:32)(cid:50)(cid:48)(cid:48)(cid:57)(cid:32)(cid:107)(cid:104)(cid:171)(cid:110)(cid:103)(cid:32)(cid:112)(cid:104)(cid:182)(cid:105)(cid:32)(cid:108)(cid:181)(cid:32)(cid:115)(cid:232)(cid:32)(cid:99)(cid:104)(cid:221)(cid:110)(cid:104)(cid:32)(cid:112)(cid:104)(cid:173)(cid:172)(cid:110)(cid:103)(cid:46)

(cid:67)(cid:169)(cid:117)(cid:32)(cid:51)(cid:58) (cid:40)(cid:52)(cid:32)(cid:174)(cid:105)(cid:211)(cid:109)(cid:41)

(cid:110)

(cid:44) (cid:61474)(cid:110)(cid:32)(cid:61)(cid:32)(cid:48)(cid:44)(cid:32)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:50)(cid:44)…

(cid:67)(cid:104)(cid:111)(cid:32)(cid:100)(cid:183)(cid:121)(cid:32)(cid:115)(cid:232)(cid:32)(cid:40)(cid:120)(cid:110)(cid:41)(cid:59)(cid:32)(cid:110)(cid:32)(cid:61)(cid:32)(cid:48)(cid:44)(cid:32)(cid:49)(cid:44)(cid:32)(cid:50)(cid:44)(cid:46)(cid:46)(cid:59)(cid:32)(cid:116)(cid:104)(cid:111)(cid:182)(cid:32)(cid:109)(cid:183)(cid:110)(cid:32)(cid:120)(cid:48)(cid:32)(cid:61)(cid:32)(cid:50)(cid:59)(cid:32)(cid:120)(cid:110)(cid:43)(cid:49)(cid:32)(cid:61)

(cid:61483) (cid:61483)

(cid:50)(cid:120) (cid:120)

(cid:49) (cid:50)

(cid:110)

(cid:97)(cid:41) (cid:84)(cid:215)(cid:109)

(cid:46)

lim

nx

n

(cid:61605)(cid:61614)

(cid:98)(cid:41) (cid:67)(cid:104)(cid:248)(cid:110)(cid:103)(cid:32)(cid:109)(cid:105)(cid:110)(cid:104)(cid:32)(cid:114)(cid:187)(cid:110)(cid:103)(cid:32)(cid:120)(cid:49)(cid:32)(cid:43)(cid:32)(cid:120)(cid:50) (cid:43)…(cid:43) (cid:120)(cid:50)(cid:48)(cid:48)(cid:56)(cid:32)(cid:60)(cid:32)(cid:50)(cid:48)(cid:48)(cid:57)(cid:46)

(cid:67)(cid:169)(cid:117)(cid:32)(cid:52)(cid:58) (cid:40)(cid:52)(cid:32)(cid:174)(cid:105)(cid:211)(cid:109)(cid:41)

(cid:84)(cid:215)(cid:109)(cid:32)(cid:116)(cid:202)(cid:116)(cid:32)(cid:99)(cid:182)(cid:32)(cid:174)(cid:97)(cid:32)(cid:116)(cid:104)(cid:248)(cid:99)(cid:32)(cid:80)(cid:40)(cid:120)(cid:41)(cid:32)(cid:116)(cid:104)(cid:111)(cid:182)(cid:32)(cid:109)(cid:183)(cid:110)(cid:32)(cid:174)(cid:105)(cid:210)(cid:117)(cid:32)(cid:107)(cid:105)(cid:214)(cid:110)(cid:58)

(cid:80)(cid:40)(cid:120)(cid:50)(cid:32)(cid:43)(cid:32)(cid:121)(cid:50)(cid:41)(cid:32)(cid:61)(cid:32)(cid:40)(cid:80)(cid:40)(cid:120)(cid:41)(cid:41)(cid:50)(cid:32)(cid:43)(cid:32)(cid:40)(cid:80)(cid:40)(cid:121)(cid:41)(cid:41)(cid:50)(cid:32)(cid:59) (cid:61474)(cid:120)(cid:44)(cid:121) (cid:61646)(cid:32)(cid:82)(cid:46)

(cid:67)(cid:169)(cid:117)(cid:32)(cid:53)(cid:58) (cid:40)(cid:54)(cid:32)(cid:174)(cid:105)(cid:211)(cid:109)(cid:41)

(cid:67)(cid:104)(cid:111)(cid:32)(cid:116)(cid:97)(cid:109)(cid:32)(cid:103)(cid:105)(cid:184)(cid:99)(cid:32)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:32)(cid:40)(cid:66)(cid:67)(cid:32)(cid:61)(cid:32)(cid:97)(cid:44)(cid:32)(cid:67)(cid:65)(cid:32)(cid:61)(cid:32)(cid:98)(cid:44)(cid:32)(cid:65)(cid:66)(cid:32)(cid:61)(cid:32)(cid:99)(cid:41)(cid:32)(cid:110)(cid:233)(cid:105)(cid:32)(cid:116)(cid:105)(cid:213)(cid:112)(cid:32)(cid:174)(cid:173)(cid:234)(cid:110)(cid:103)(cid:32)(cid:116)(cid:114)(cid:223)(cid:110)(cid:32)(cid:116)(cid:169)(cid:109)(cid:32)(cid:79)(cid:44)(cid:32)(cid:98)(cid:184)(cid:110)(cid:32)(cid:107)(cid:221)(cid:110)(cid:104)(cid:32)(cid:82)

(cid:118)(cid:181)(cid:32)(cid:110)(cid:103)(cid:111)(cid:185)(cid:105)(cid:32)(cid:116)(cid:105)(cid:213)(cid:112)(cid:32)(cid:174)(cid:173)(cid:234)(cid:110)(cid:103)(cid:32)(cid:116)(cid:114)(cid:223)(cid:110)(cid:32)(cid:116)(cid:169)(cid:109)(cid:32)(cid:73)(cid:44)(cid:32)(cid:98)(cid:184)(cid:110)(cid:32)(cid:107)(cid:221)(cid:110)(cid:104)(cid:32)(cid:114)(cid:46)

(cid:61657)

(cid:61501)

(cid:61483)

(cid:61483)

(cid:97)(cid:41) (cid:167)(cid:198)(cid:116)(cid:32)(cid:100)(cid:32)(cid:61)(cid:32)(cid:79)(cid:73)(cid:46)(cid:32)(cid:67)(cid:104)(cid:248)(cid:110)(cid:103) (cid:109)(cid:105)(cid:110)(cid:104)(cid:32)(cid:114)(cid:187)(cid:110)(cid:103)(cid:58)(cid:32)(cid:100)(cid:50)(cid:32)(cid:61)(cid:32)(cid:82)(cid:50) (cid:61485)(cid:32)(cid:50)(cid:82)(cid:114)(cid:32)(cid:40)(cid:32)(cid:72)(cid:214)(cid:32)(cid:116)(cid:104)(cid:248)(cid:99)(cid:32)(cid:69)(cid:117)(cid:108)(cid:101)(cid:114)(cid:41)(cid:46) AIO (cid:57)(cid:48)(cid:48)(cid:46)(cid:32)(cid:67)(cid:104)(cid:248)(cid:110)(cid:103)(cid:32)(cid:109)(cid:105)(cid:110)(cid:104)(cid:32)(cid:114)(cid:187)(cid:110)(cid:103)(cid:58)(cid:32)(cid:65)(cid:73)(cid:32)(cid:60)

(cid:98)(cid:41) (cid:71)(cid:105)(cid:182)(cid:32)(cid:115)(cid:246)(cid:32)(cid:114)(cid:187)(cid:110)(cid:103)

(cid:46)

(cid:97)(cid:98)

(cid:98)(cid:99)

(cid:99)(cid:97)

(cid:49) (cid:51)

(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:72)(cid:213)(cid:116)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)