TOÁN 10-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
PHẦN 1. LÝ THUYẾT – VÍ DỤ
CHƯƠNG 4. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
BÀI 1. ĐỊNH Lí CÔSIN VÀ ĐỊNH Lí SIN TRONG TAM GIÁC. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT
GÓC TỪ
0
ĐẾN
180
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Giá trị lượng giác của một góc trong khoảng từ
0
đến
180
1. Định nghĩa
Với mỗi góc
0 180
, ta xác định một điểm
0 0
;M x y
trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
xOM
(Hình l). Khi đó:
- sin của góc
, kí hiệu là
sin
, được xác định bởi
0
sin
y
.
- côsin của góc
, kí hiệu là
cos
, được xác định bởi
0
cos
x
.
- tang của góc
, kí hiệu là tan
, được xác định bởi
00
0
tan 0
yx
x
.
- côtang của góc
, kí hiệu là
cot
, được xác định bởi
00
0
cot 0
xy
y
.
2. Giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau
0 90
sin 90 cos ; cos 90 sin
tan 90 cot 0 ; cot 90 tan 90 .
3. Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
0 180
sin 180 sin ; cos 180 cos
tan 180 tan 90 ; cot 180 cot 0 , 180
4. Một số đẳng thức lượng giác
Cho góc
0 180
. Khi đó:
2 2
sin cos
tan 90 ; cot 0 , 180
cos sin
sin cos 1;tan cot 1 0 , 90 , 180
II. Định lí côsin
Cho tam giác
ABC
có
, , BC a CA b AB c
(Hình 2 ). Khi đó:
ÔN TẬP CHƯƠNG 4. HỆ THỨC LƯỢNG. VECTO
•|FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b c a ac B
c a b ab C
III. Định lí sin
Cho tam giác
ABC
có
, , BC a CA b AB c
và bán kính đường tròn ngoại tiếp là
R
(Hình 3 ). Khi đó:
2 .
sin sin sin
a b c R
A B C
B. VÍ DỤ
Vấn đề 1 . Tính các giá trị lượng giác
Ví dụ 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
sin13 cos131 sin167 cos 49
A
b)
cot 35 cot 65 cot125 cot155
B
.
Giải
a) Ta có:
cos131 cos 180 49 cos49 ,sin167 sin 180 13 sin13
.
Do đó,
sin13 cos 49 sin13 cos 49 0
A
.
b) Ta có:
cot125 cot 180 125 cot55 tan 90 55 tan35
,
cot155 cot 180 155 cot 25 tan 90 25 tan 65 .
Do đó,
cot 35 cot 65 tan 35 tan 65
B
tan35 cot 35 tan35 cot 35 ( 1) ( 1) 1.
Ví dụ 2. Cho
90 180 ,0 90
và
90
. Chứng minh:
a)
sin cos
;
b)
cos sin
;
c)
tan cot
.
Giải
a)
sin sin 90 sin 180 90 sin 90 cos
.
b)
cos cos 90 cos 180 90 cos 90 sin
.
c)
tan tan 90 tan 180 90 tan 90 cot
.
Ví dụ 3. Cho
, ,A B C
là các góc của tam giác
ABC
. Chứng minh:
a)
sin sin( ) A B C
;
b)
cos cos( ) 0 A B C
;
c)
tan tan( ) 0 90
A B C A
;
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
d)
cot cot( ) 0 A B C
.
Giải
Ta có:
180 180
A B C B C A
. Do đó:
a)
sin( ) sin 180 sin
B C A A
.
b)
cos( ) cos 180 cos cos cos( ) 0
B C A A A B C
.
c)
tan( ) tan 180 tan tan tan( ) 0
B C A A A B C
.
d)
cot( ) cot 180 cot cot cot( ) 0
B C A A A B C
.
Vấn đề 2. Ứng dụng
Ví dụ 4. Từ một tấm bìa hình tròn, bạn
An
cắt ra được một hình tam giác có các cạnh
8 , 15 AB cm BC cm
và góc
60
B
(Hình 4). Tính độ dài cạnh
AC
và bán kính
R
của miếng bìa.
Giải
Áp dụng định lí côsin cho tam giác
ABC
ta có:
2 2 2
2 cos AC AB BC AB BC B
2 2
8 15 2 8 15 cos60 169.
Suy ra
169 13( ) AC cm
.
Áp dụng định lí sin cho tam giác
ABC
ta có:
2
sin
AC
R
B
.
Suy ra
13 13 3 ( )
2sin 2sin 60 3
AC
R cm
B
.
Ví dụ 5. Cho hình bình hành
ABCD
có
6, 8, 60
AB AD BAD
(Hình 5). Tính độ dài các đường chéo
,AC BD
.
Giải
Ta có:
180 180 60 120
ABC BAD
. Áp dụng định lí côsin cho tam giác
ABC
ta có:
2 2 2
2 2
2 cos
6 8 2 6 8 cos120 148
AC AB BC AB BC ABC
Suy ra
148 2 37 AC
.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác
ABD
ta có:
2 2 2 2 2
2 cos 6 8 2 6 8 cos60 52
BD AB AD AB AD BAD
.
Suy ra
52 2 13 BD
.
Ví dụ 6. Để đo khoảng cách từ vị trí
A
đến vị trí
B
ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí
A
đến vị trí
C
và tiến hành đo các góc
,BAC BCA
. Biết
25 , 59,95 , 82,15
AC m BAC BCA
(Hình 6).
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Hỏi khoảng cách từ vị trí
A
đến vị trí
B
là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Giải
Xét tam giác
ABC
, ta có:
180 59,95 82,15 37,9
ABC
.
Áp dụng định lí sin ta có:
sin sin
AB AC
C B
. Do đó
25sin82,15 40( )
sin 37,9
AB m
.
Ví dụ 7. Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến
A
và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai
hướng tạo với nhau góc
75
. Tàu thứ nhất đi với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai đi với tốc độ 12 hải lí
một giờ. Hỏi sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần
mười)?
Giải
Giả sử sau 2,5 giờ tàu thứ nhất ở vị trí
B
và tàu
thứ hai ở vị trí
C
(Hình 7).
Ta có:
2,5 8 20 (haûi lí);
2,5 12 30 (haûi lí).
AB
AC
Áp dụng định lí côsin cho tam giác
ABC
ta có:
2 2 2
2 2
2 cos
20 30 2 20 30 cos 75 989,42.
BC AB AC AB AC BAC
Suy ra
989,42 31,5 BC
(hải lí). Vậy khoảng cách giữa hai tàu sau 2,5 giờ là khoảng 31,5 hải lí.
Ví dụ 8. Người A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiều diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiên giữa
phương từ mắt của người A tới chiếc diều và phương nằm ngan) là
35
; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới
mắt người A là 1,5m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, người B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng
là
75
; khoảng cách từ mặt đất đến mắt người B cũng là 1,5m. Biết chiều cao của tòa nhà là
20h m
(hình 8).
Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Giải
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Đặt tên các điểm như Hình
9.
Xét tam giác
MND
, ta có:
20 MN h m
;
90 90 35 125 ,
90 90 75 15 ,
180 125 15 40 .
MND
NMD
MDN
Áp dụng định lí sin cho tam giác
MND
ta có:
sin sin sin
MD ND MN
N M D
.
Suy ra
sin 20sin125 25,5( )
sin sin 40
MN N
MD m
D
. Xét tam giác vuông
MHD
ta có:
sin 75 25,5 sin 75 24,6( ). Do ñoù, 1,5 24,6 26
Vậy con diều bay cao khoảng
26 m
so với mặt đất.
BÀI 2. GIẢI TAM GIÁC. TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHƠ
1. Giải tam giác khi biết:
- Độ dài hai cạnh và độ lớn góc xen giữa hai cạnh đó: Sử dụng định lí côsin.
- Độ dài ba cạnh: Sử dụng định lí côsin.
- Độ dài một cạnh và độ lớn hai góc kề với cạnh đó: Sử dụng định lí sin.
2. Công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác
ABC
có
, , BC a CA b AB c
(Hình 12).
Khi đó diện tích
S
của tam giác
ABC
là:
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S bc A ca B ab C
hoặc
( )( )( ) S p p a p b p c
với
2
a b c
p
.
B. VÍ DỤ
Vấn đề 1. Giải tam giác
Ví dụ 1. Cho tam giác
ABC
có
ˆ
3, 4, 135
AC BC C
(Hình 13). Tính độ dài cạnh
AB
và diện tích tam
giác
ABC
(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).