1
PHẦN 1. LÝ THUYẾT – BÀI TẬP MẪU
PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG
Chương IX. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1. TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Tọa độ của vectơ đối với một hệ trục tọa độ
Trục tọa độ (gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm
O
(gọi là điểm gốc) và một
vectơ
e
có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị của trục.
Ta kí hiệu trục đó là
( ; )
O e
.
Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ
( ; , )
O i j
gồm hai trục
( ; )
O i
và
( ; )
O j
vuông góc với nhau. Điểm gốc
O
chung của hai
trục gọi là gốc tọa độ. Trục
( ; )
O i
được gọi là trục hoành và kí hiệu là
Ox
, trục
( ; )
O j
được gọi là trục
tung và kí hiệu là
Oy
. Các vectơ
i
và
j
là các vectơ đơn vị trên
Ox
và
Oy
. Hệ trục tọa độ
( ; , )
O i j
còn được kí hiệu là
Oxy
.
Tọa độ của một vectơ
Trong mặt phẳng
Oxy
, cặp số
( ; )x y
trong biểu diễn
a xi yj
được gọi là toạ độ của vectơ
a
, kí hiệu
( ; ),
a x y x
gọi là hoành độ,
y
gọi là tung độ của vectơ
a
.
Chú ý
: ( ; )
a x y a xi yj
.
Nếu cho
( ; )
a x y
và
;
b x y thì
x x
a b y y
.
Tọa độ của một điểm
Trong mặt phẳng toạ độ, cho một điểm
M
tuỳ ý. Tọa độ của vecto
OM
được gọi là tọa độ của điểm
M
.
Nhận xét: Nếu
;OM x y
thì cặp số
;x y là tọa độ của điểm
M
, kí hiệu
;M x y ,
x
gọi là hoành độ,
y
gọi là tung độ của điểm
M
.
; . .M x y OM x i y j
Chú ý: Hoành độ của điểm
M
còn được kí hiệu là
M
x
, tung độ của điểm
M
còn được kí hiệu là
M
y
.
Khi đó ta viết
;
M M
M x y
.
2. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ
1 2 1 2
; , ;
a a a b b b
và số thực
k
. Ta có các công thức sau:
1 1 2 2 1 1 2 2
; ; ;
a b a b a b a b a b a b
;
1 2 1 1 2 2
; ;
ka ka ka a b a b a b
.
3. Áp dụng của tọa độ vectơ
Liên hệ giũa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm
;
A A
A x y
và
;
B B
B x y
. Ta có:
;
B A B A
AB x x y y
.
Tọa độ trung điểm của đọan thẳng và trọng tâm của tam giác
Cho hai điểm
;
A A
A x y
và
;
B B
B x y
. Tọa độ trung điểm
;
M M
M x y
của đoạn thẳng
AB
là:
, .
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
ÔN TẬP CHƯƠNG 9.
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
•TOÁN 10
•|FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Cho tam giác
ABC
có
; , ; , ;
A A B B C C
A x y B x y C x y
. Toạ độ trọng tâm
;
G G
G x y
của tam giác
ABC
là:
, .
3 3
A B C A B C
G G
x x x y y y
x y
Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ
1 2 1 2
; , ;
a a a b b b
và hai điểm
; , ;
A A B B
A x y B x y
. Ta có:
-
1 1 2 2
0
a b a b a b
;
-
a
và
b
cùng phương
1 2 2 1
0 a b a b
;
-
2 2
1 2
| |
a a a
-
2 2
B A B A
AB x x y y
-
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos( ; ) ( ,
| | | |
a b a b
a b
a b a b
a b a a b b
khác
0)
.
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho ba điểm
, ,M N P
được biểu diễn như Hình
5.
a) Tìm toạ độ của các điểm
, ,M N P
.
b) Hãy biểu thị các vectơ
, ,
OM ON OP
qua hai vectơ
i
và
j
.
c) Tìm toạ độ các vectơ
, , ,
PM PN PO NM
.
Giải
a) Theo Hình 5 ta có toạ độ các điểm
, ,M N P
lần lượt là:
(1;3), (3;0), ( 2; 1) M P N
.
b) Ta có:
3 ; 2 ; 3 0
OM i j ON i j OP i j
.
c) Ta có:
; (1 3;3 0) ( 2;3)
; ( 2 3; 1 0) ( 5; 1)
; (0 3;0 0) ( 3; 0)
; (1 ( 2);3 ( 1)) (3;4)
M P M p
N P N P
O P O P
M N M N
PM x x y y
PN x x y y
PO x x y y
NM x x y y
Bài 2. Cho hai vectơ
(3;4), ( 1;5)
a b
.
a) Tìm tọa độ của vectơ:
.
b) Tính các tích vô hướng:
,( 2 ) (5 )
a b a b
.
Giải
a) Ta có:
(3 ( 1);4 5) (2;9); (3 ( 1);4 5) (4; 1)
a b a b
;
10 (10.3;10.4) (30;40); 2 ( 2.( 1); 2.5) (2; 10)
a b
.
b) Ta có:
3
3 ( 1) 4 5 3 20 17
a b
2 ( 6; 8)
a
và
5 ( 5;25)
b
nên
( 2 ) (5 ) ( 6) ( 5) ( 8) 25 30 200 170.
a b
Bài 3. Cho ba vectơ
( 6;1), (0;2), (1;1)
m n p
. Tìm toạ độ của các vectơ:
a)
m n p
.
b)
( )
m n p
.
Giải
a) Ta có:
( 6 0 1;1 2 1) ( 7;2)
m n p
.
b) Ta có:
( ) ( 6.0 1.2) 2 (2;2)
m n p p p
.
Bài 4. Cho tam giác
DEF
có toạ độ các đỉnh là
(2;2), (6;2)
D E
và
(2;6)
F
.
a) Tìm tọa độ trung điểm
M
của cạnh
EF
.
b) Tìm toạ độ trọng tâm
G
của tam giác
DEF
.
Giải
a) Ta có:
6 2 2 6
4, 4
2 2 2 2
E F E F
M M
x x y y
x y
.
Vậy toạ độ trung điểm
M
của cạnh
EF
là
(4;4)
M
.
b) Ta có:
2 6 2 10 2 2 6 10
,
3 3 3 3 3 3
D E F D E F
G G
x x x y y y
x y
.
Vậy toạ độ trọng tâm
G
của tam giác
DEF
là
10 10
;
3 3
G
.
Bài 5. Cho tam giác
ABC
có toạ độ các đỉnh là
(2;2), (6;3)
A B
và
(5;5)
C
.
a) Tìm toạ độ điểm
H
là chân đường cao của tam giác
ABC
kẻ từ
A
.
b) Tính độ dài ba cạnh của tam giác
ABC
và số đo của góc
C
.
Giải
a) Xét điểm
( ; )H x y
, ta có:
( 2; 2), ( 6; 3), ( 1;2)
AH x y BH x y BC
.
( ; )H x y
là chân đường cao của tam giác
ABC
kẻ từ
A
nên ta có:
( 2) ( 1) ( 2) 2 0 2 2 0

AH BC x y x y
(1)
Hai vectơ
,
BH BC
cùng phương
( 6) 2 ( 3) ( 1) 0
x y
2 15 0x y
(2)
Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình
28
2 2 0
5
2 15 0 19
5
x
x y
x y y
Vậy
28 19
;
5 5
H.
b) Ta có:
(4;1), (1; 2), ( 3; 3)
AB CB CA
.
Suy ra:
2 2 2 2
| | 4 1 17, | | ( 1) 2 5
AB AB BC BC ,
2 2
| | 3 3 3 2

AC AC
.
( 3) 1 ( 3) ( 2) 10
ˆ
cos cos( , ) .
10
3 2 5
CA CB
C CA CB CA CB
Vậy
ˆ71 34
C
.
BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương trình đường thẳng
Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ
u
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
nếu
0
u
và giá của
u
song song hoặc trùng
với
.
Vectơ
n
được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng
nếu
0
n
và
n
vuông góc với vectơ chỉ
phương của
.
Chú ý:
- Nếu đường thẳng
có vectơ pháp tuyến
( ; )
n a b
thì
sẽ nhận
( ; )
u b a
hoặc
( ; )
u b a
là một
vectơ chỉ phương.
- Nếu
u
là vectơ chỉ phương của đường thẳng
thì
( 0)
ku k
cũng là vectơ chỉ phương của
.
- Nếu
n
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng
thì
( 0)
kn k
cũng là vectơ pháp tuyến của
.
Phương trình tham số của đường thẳng
Trong mặt phẳng
Oxy
, ta gọi:
0 1
0 2
x x tu
y y tu
(với
2 2
1 2
0,
u u t
)
là phương trình tham số của đường thẳng
đi qua điểm
0 0 0
;M x y
có vectơ chỉ phương
1 2
;
u u u
.
Chú ý: Cho
t
một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng
và ngược lại.
Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trong mặt phẳng
Oxy
, mỗi đường thẳng đều có phwơng trình tổng quát dạng
0, ax by c
với
a
và
b
không đồng thời bằng 0 .
Chú ý:
- Mỗi phương trình
0
ax by c
(
a
và
b
không đồng thời bằng 0 ) đều xác định một đường thẳng có
vectơ pháp tuyến
( ; )
n a b
.
- Khi cho phương trình đường thẳng
0
ax by c
, ta hiểu
a
và
b
không đồng thời bằng
0.
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Nếu
1
n
và
2
n
cùng phương thì
1
và
2
song song hoặc trùng nhau. Láy một điểm
P
tuỳ ý trên
1
.
- Nếu
2
P
thì
1 2
.
- Nếu
2
P
thì
1 2
/ /
.
Nếu
1
n
và
2
n
không cùng phương thì
1
và
2
cắt nhau tại một điểm
0 0
;M x y
với
0 0
;x y
là nghiệm
của hệ phương trình:
1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
a x b y c
Chú ý:
a) Nếu
1 2
0
n n
thì
1 2
n n
, suy ra
1 2
.
b) Để xét hai vectơ
1 1 1
;
n a b
và
2 2 2
;
n a b
cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức
1 2 2 1
a b a b
:
- Nếu
1 2 2 1
0
a b a b
thì hai vectơ cùng phương.
- Nếu
1 2 2 1
0
a b a b
thì hai vectơ không cùng phương.
Trong trường hợp tất cả các hệ số
1 2 1 2
, , ,a a b b
đều khác 0 , ta có thể xét hai trường hợp:
- Nếu
1 1
2 2
a b
a b
thì hai vectơ cùng phương.
- Nếu
1 1
2 2
a b
a b
thì hai vectơ không cùng phương.
3. Góc giữa hai đường thẳng
Khái niệm góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng
1
và
2
cắt nhau tạo thành bốn góc.
- Nếu
1
không vuông góc với
2
thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng
1
và
2
.
- Nếu
1
vuông góc với
2
thì ta nói góc giữa
1
và
2
bằng
90
.
Công thúc tính góc giữa hai đường thẳng
5
Cho hai đường thẳng
2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
: 0 0 , : 0
a x b y c a b a x b y c
2 2
2 2
0
a b có vectơ pháp
tuyến lần lượt là
1
n
và
2
n
.
Ta có công thức:
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos ,
a a b b
a b a b
.
Chú ý:
Ta đã biết hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc. Do đó:
- Nếu
1
và
2
lần lượt có phương trình
1 1 1
0
a x b y c
và
2 2 2
0
a x b y c
thì ta có:
1 2 1 2 1 2
, 90 0
a a b b
.
- Nếu
1
và
2
lần lượt có phương trình
1 1
y k x m
và
2 2
y k x m
thì ta có:
1 2 1 2
, 90 1
k k
.
Nói cách khác, hai đường thẳng có tích hệ số góc bằng -1 thì vuông góc với nhau.
4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
có phương trình
0
ax by c
2 2
0
a b và điểm
0 0 0
;M x y
. Khoảng cách từ điểm
0
M
đến đường thẳng
, kí hiệu là
0
;
d M
được tính bởi công
thức:
0 0
02 2
, .
ax by c
d M
a b
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng
d
trong các trường hợp sau:
a) Đường thẳng
d
đi qua điểm
(5;4)
A
và có vectơ chỉ phương
(1;3)
u
;
b) Đường thẳng
d
đi qua điểm
(1;2)
B
và có vectơ pháp tuyến
( 1;4)
n
;
c) Đường thẳng
d
đi qua hai điểm
(2;2), (4;6)
C D
.
Giải
a) Đường thẳng
d
đi qua điểm
(5;4)
A
và có vectơ chỉ phương
(1;3)
u
nên ta có phương trình tham số
của
d
là:
5
4 3
x t
y t
Đường thẳng
d
có vectơ chỉ phương
(1;3)
u
nên có vectơ pháp tuyến
(3; 1)
n
. Phương trình tổng
quát của
d
là:
3( 5) ( 4) 0 3 11 0
x y x y
.
b) Đường thẳng
d
đi qua điểm
(1;2)
B
và có vectơ pháp tuyến
( 1;4)
n
nên có vectơ chỉ phương
(4;1)
u
. Phương trình tham số của
d
là:
1 4
2
x t
y t
Phương trình tổng quát của
d
là:
( 1) 4( 2) 0 4 7 0
x y x y
.
c) Đường thẳng
d
đi qua hai điểm
(2;2), (4;6)
C D
nên có vectơ chỉ phương
1 1
(2;4) (1;2)
2 2
u CD
và có vectơ pháp tuyến
(2; 1)
n
.
Phương trình tham số của
d
là:
2
2 2
x t
y t
.
Phương trình tổng quát của
d
là:
2( 2) ( 2) 0 2 2 0
x y x y
.
Bài 2. Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng là đồ thị các hàm số bậc nhất sau:
a)
1
: 4
d y x
b)
2
2
: 1
3
d y x
c)
3
:
d y x
.
Giải
a) Ta có
4 4 0
y x x y
.
Vậy phương trình tổng quát của
1
d
là
4 0
x y
.