zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Toán 10 (Chân trời sáng tạo) - Ôn tập chương 5: Vecto

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán 10 (Chân trời sáng tạo) - Ôn tập chương 5: Vectơ" giúp học sinh hệ thống lại toàn bộ kiến thức lý thuyết về vectơ, cách biểu diễn và áp dụng trong hình học. Bao gồm phần nhắc lại khái niệm, công thức cộng trừ nhân vectơ, cùng các dạng bài tập trắc nghiệm và tự luận có lời giải chi tiết. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để rèn luyện tư duy hình học thông qua chương vectơ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán 10 (Chân trời sáng tạo) - Ôn tập chương 5: Vecto

TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Điện thoại: 0946798489 ÔN TẬP CHƯƠNG 5. VECTO • TOÁN 10 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN 1. LÝ THUYẾT – BÀI TẬP MẪU Chương V. VECTƠ Bài 1. KHÁI NIỆM VECTƠ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Cho đoạn thẳng AB . Nếu ta chọn điềm A làm điêm đầu, điểm B làm điểm cuối thì ta được đoạn   thẳng  có hướng từ A đến B . Đoạn thẳng có định hướng AB được kí hiệu là AB và được gọi là AB  vectơ AB . 2.     - Vectơ có điểm đầu A , điểm cuối B được kí hiệu là AB , đọc là vectơ AB   - Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ AB .    - Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của vectơ AB và được kí hiệu là | AB | . Như vậy ta có:   | AB | AB .     3. Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là a , b , x , y, 4. Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị. 5. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 6. Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.    7. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chi khi hai vectơ AB và AC cùng phương.   8. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu   a b.   9. Hai vectơ a và b được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu     a  b . Khi đó, vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ a .     10. Cho vectơ a và điểm O , ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho: OA  a . 11. Với một điểm A bất kì, ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A .    Vectơnày được  hiệu là AA và gọi là vecto-không. Ta kí hiệu vecto-không là 0 . Như vậy kí      0  AA  BB  CC   với mọi điểm A, B, C ,. 12. Vectơ-không có độ dài bằng 0 và cùng hướng với mọi vectơ. B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho hình vuông ABCD có tâm O và có cạnh bằng 1. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/       a) Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ dài của các vecto: CA; OA; BD . b) Tìm các vectơ đơn vị trong hình. Giải   a) Vectơ CA có điểm đầu là C , điểm cuối là A và có giá là đường thẳng AC .  Vectơ OA có điểm đầu là O , điểm cuối là A và có giá là đường thẳng AO .  Vectơ BD có điểm đầu là B , điểm cuối là D và có giá là đường thẳng BD . 2 Ta có: CA  BD  2; OA  . 2       2 Suy ra | CA || BD | 2;| OA | . 2               b) Các vectơ đơn vị là: AB, BA, BC , CB, CD, DC , DA, AD . Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD .  a) Tìm vectơ bằng vectơ AD ;   b) Tìm các vectơ đối của vectơ AB ;  c) Tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ AC . Giải    a) Vectơ bằng vectơ AD là BC .       b) Vectơ đối của vectơ AB là BA, CD .        c) Vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ AC là CA, DB, BD . Bài 3. Trong Hình 8 , tìm các vectơ:   a) cùng phương với vectơ ; AB  b) cùng hướng với vectơ AB ;  c) vectơ đối của vectơ PQ . Giải   a) Vectơ cùng phương với vectơ là CD . AB    b) Vectơ cùng hướng với vectơ AB là CD . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO     c) Vectơ đối của vectơ PQ là RS . Bài 4. Tìm trong Hình 9 , các vectơ:  a) cùng phương với vectơ x ;  b) cùng hướng với vectơ a ;  c) ngược hướng với vectơ u . Giải     a) Vectơ cùng phương với vectơ x là y, w, z .   b) Vectơ cùng hướng với vectơ a là b .   c) Vectơ ngược hướng với vectơ u là v . Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Quy tắc ba điểm      Với ba điểm A, B, C , ta có: AB  BC  AC . 2. Quy tắc hình bình hành       Nếu OABC là hình bình hành thì ta có OA  OC  OB. 3. Tính chất của phép cộng các vectơ     - Tính chất giao hoán: a  b  b  a ;       - Tính chất kết hợp: (a  b )  c  a  (b  c ) ;       - Với mọi vectơ a , ta luôn có: a  0  0  a  a . 4. Hiệu của hai vectơ    Cho hai vecto a và b . Hiệu của hai vectơ a và      b là vectơ a  ( b ) và kí hiệu a  b .       Chú ý: Cho ba điểm O, A, B như Hình 4 , ta có OB  OA  AB . 5. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng  tam giác tâm   Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA  MB  0 .      Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA  GB  GC  0 . B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho tứ giác  ABCD , tìm các vectơ sau:      a) m  ( AB  CD )  BC         b) n  AB  CD  BC  DC   c) m  n . Giải Áp dụng tính giao hoán và kết hợp của phép   chất      cộng vectơ, ta có:         a) m  ( AB  CD )  BC  ( AB  BC )  CD  AC  CD  AD                   b) n  AB  CD  BC  DC  ( AB  BC )  (CD  DC )  AC  0  AC          c) m  n  AD  AC  AD  CA  CD . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Bài 2. Cho tam giác MNQ , thực hiện các phép trừ vectơ sau:    a) QM  QN    b) MN  QN . Giải      a) QM  QN  NM         b) MN  QN  MN  NQ  MQ . Bài 3. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 . Tính độ dài của các vectơ sau:      a) a  ( AC  BD )  CB         b) b  AB  AD  BC  DA . Giải             a) a  ( AC  BD)  CB  AC  CB  BD  AD .  Suy ra | a | AD  1 .          b) b  AB  AD  BC  DA  AC .  Suy ra | b | AC  2 . Bài 4.  tam giác đều ABC cạnh bằng 1 và M là trung điểm BC . Tính độ dài của các vectơ sau: Cho    a) a  AB  AC       b) b  ( MC  MA)  ( MB  MA) . Giải        a) a  AB  AC  CB . Suy ra | a | CB  1 .                b) b  ( MC  MA)  ( MB  MA)  ( MC  MB )  ( AM  AM )  2 AM .  Suy ra | b | 2 AM  3 . Bài 5. Một máy bay có vectơ vận tốc chỉ theo hướng bắc, vận tốc gió là một vectơ theo hướng đông như Hình 7 . Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên. Giải          Gọi AB và BC lần lượt là vecto vận tốc của máy bay và vận tốc của gió. Ta có: AB  BC  AC . Suy ra AC  AB 2  BC 2  2002  602  209( km / h) . Vậy độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên là khoảng 209 km / h . Bài 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ A. KIẾN THƯC CẦN NHỚ 1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất     - Cho số k khác 0 và vectơ a khác 0 . Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là ka .     Vectơ ka cùng hướng với a nếu k  0 , ngược hướng với a nếu k  0 và có độ dài bằng | k | . | a | .     Quy ước: 0a  0 và k 0  0 .   - Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số thực h và k , ta có:         - • k (a  b )  ka  kb ; • (h  k )a  ha  ka; • h(ka )  (hk )a;     - •1.a  a; • (1)  a  a . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO 2. Điều kiện để hai vectơ    cùng phương    Hai vectơ a và b (b khác 0) cùng phương khi và chi khi có một số k sao cho a  kb . 3. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng    Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB  k AC . B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Thực hiện các phép toán vectơ sau:         a) 2(u  v ) b) (a  b)m ; c) 5(2e ) ; d) c  9c e) 7 c  2c . Giải        a) 2(u  v )  2u  2v b) (a  b)m  am  bm ;         c) 5(2e )  (5.2)e  10e ; d) c  9c  (1  9)c  (8)c  8c ;     e) 7c  2c  (7  2)c  5c .   Bài 2. Cho hai vectơ a , b và một điểm M như Hình 3 .      a) Hãy vẽ các vectơ MN  2a , MP  2b . b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 .   Tính: | 5a |,| 5b | . Giải a)      b) | 5a | 5 | a | 5.2  10;| 5b || 5 | . | b | 5. | b | 5 2 . Bài 3. Máy bay A bay với tốc độ a km / h , máy bay B bay ngược hướng và có tốc độ gấp năm lần   máy bay A . Biểu diễn vectơ vận tốc b của máy bay B theo vectơ vận tốc a của máy bay A . Giải   Vectơ vận tốc của máy bay B là: b  5a .   2    1  Bài 4. Cho tam giác ABC và hai điểm M , N thoả mãn: BM  BC; CN   AC . Tìm các bộ ba 3 2 điểm thẳng hàng. Giải   2   Ta có: BM  BC suy ra B, C, M thẳng hàng; 3  1  CN   AC suy ra C , N , A thẳng hàng. 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ BÀI 4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Góc giữa hai vectơ          Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA  a , OB  b .   Góc  với số đo từ 0 đến 180 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b . AOB     Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là (a , b )       Nếu (a , b )  90 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a  b . Chú ý:     - Từ định nghĩa ta có (a , b )  (b , a ) .  - Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0 .  - Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng 180 .    - Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a hoặc b là vectơ 0 thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tuỳ ý (từ 0° đến 180 ). 2. Tích vô hướng của hai vectơ    Cho hai vectơ a và b đềukhác 0 .   Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác định bởi công thức:       a  b | a |  | b |  cos( a , b ) . Chú ý:      - Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng 0 , ta quy ước a  b  0 .        - Với hai vectơ a và b đều khác 0 , ta có a  b  a  b  0 .      -Khi a  b thì tích vô hướng a  b được kí hiệu là a 2 và được gọi là bình phương vô hướng của  vectơ a .     Ta có a 2 | a |  | a |  cos 0 | a |2 . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó. 3. Tính chất của  tích vô hướng   - Với ba vectơ a , b , c bất kì và mọi số k , ta có:                  • a  b  b  a; • a  (b  c )  a  b  a  c ; • ( ka )  b  k ( a  b )  a  (kb ) . - Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ,ta suy ra:            - • ( a  b ) 2  a 2  2a  b  b 2 ; • ( a  b ) 2  a 2  2a  b  b 2       - • (a  b )  (a  b )  a 2  b 2 4. Áp dụng của tích vô hướng   Trong Vật lí, tích vô hướng giúp tính công A sinh bởi một lực F có độ dịch chuyển là vectơ d . Ta   có công thức: A  F  d . B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho hình vuông ABCD có tâm I . Tìm các góc:        a) ( DC , AB);(CD, AB) Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO     b) ( AB, BC ) . Giải       a) Do hai vectơ DC , AB cùng hướng nên ta có ( DC , AB)  0 .         Do hai vecto CD, AB ngược hướng nên ta có (CD, AB)  180 .         b) Do hai vectơ AB, BC vuông góc nên ta có ( AB, BC )  90 . Bài 2. Chotamgiác đều ABC  cạnh bằng 2a và có đường cao AH . Tính các tích vô hướng:           có AB  AC ; AB  BC ; AH  BC ; HB  HC . Giải          1 AB  AC | AB |  | AC |  cos( AB, AC )  2a  2a  cos 60  4a 2   2a 2 2              1 AB  BC | AB | . | BC | .cos( AB, BC )  2a  2a  cos120  4a 2      2a 2  2             AH  BC | AH |  | BC |  cos( AH , BC ) | AH |  | BC |  cos 90  0          HB  HC | HB |  | HC |  cos( HB, HC )  a  a  cos180  a 2 (1)   a 2 Bài 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A , có cạnh BC bằng          2 . Tính các tích vô hướng: AB  AC ; AC  BC ; AB  BC Giải Tam  vuông cân tại có BC  2 suy ra AB  AC  1 .   giác ABC    A  AB  AC | AB |  | AC |  cos( AB, AC )  1 1  cos 90  0          2 AC  BC | AC |  | BC |  cos( AC , BC )  1  2  cos 45  2  1 2              2 AB  BC | AB |  | BC |  cos( AB, BC )  1 2  cos135  2     2   1.            Bài 4. Cho hai vectơ i , j vuông góc có cùng độ dài bằng 1 và cho biết a  4i  j , b  i  4 j . Tính     tích vô hướng a  b và tính số đo góc (a , b ) . Giải             Ta có a  b  (4i  j )  (i  4 j )  4i 2  16i  j  j  i  4 j 2  4  4  0 .     Vậy a  b  0 . Suy ra (a , b )  90 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   Bài 5. Tính công sinh bởi một lực F có độ lớn 20 N kéo một vật dịch chuyển theo một vectơ d có   độ dài 50 m và cho biết ( F , d )  60 . Giải       1 Ta có A  F  d | F |  | d |  cos( F , d )  20  50  cos 60  20  50   500 (J). 2 PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8 điểm   trên là điểm đầu hoặc điểm cuối của các vectơ. Tìm số các vectơ khác vectơ không, bằng với vectơ AR . Câu 2. Cho hình thang ABCD có AD / / BC và AD  2BC  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD, AD ; I là giao điểm của AC và BN .   a) Chứng minh AI  NM .     b) Tính độ dài của AI  AM  AD . Câu 3. Cho hình bình hành ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh:       GA  GC  GD  BD. Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD biết AB  3a , AD  4a .       1. Chứng minh rằng: BA  DA  AC  0 .    2. Tính AB  AC . Câu 5. Cho hình thoi ABCD tâm O có cạnh bằng 2a và góc   60 . Gọi E là trung điểm AD . ADC   a) Hãy nêu các vectơ khác vectơ-không và ngược hướng với vectơ OE .          b) Hãy tính độ dài của vectơ u  CD  BO  OA  AE .       Câu 6. a) Cho hình bình hành ABCD và một điểm O bất kì. Chứng minh rằng OB  OA  OC  OD       b) Chất điểm A chịu tác động của ba lực F1 , F2 , F3 như hình vẽ bên và ở trạng thái cân bằng (tức là          F1  F2  F3  0 ). Biết độ lớn của lực F3 bằng 10 5 N và    độ lớn của lực F2 gấp đôi độ lớn của lực F1 . Tính độ lớn     của các lực F1 , F2 . Câu 7. Cho hình bình hành ABCD tâm O .         a) Chứng minh rằng: MA  MB  MC  MD  4 MO .  b) Gọi I là trung điểm CD , G là trọng tâm tam giác BCI . Hãy phân tích vectơ AG theo hai    vectơ AB và AD .    Câu 8. Gọi AN , CM là các trung tuyến của tam giác ABC . Hãy phân tích vectơ AB theo hai vectơ AN   và CM . Câu 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , E , F lần lượt là trung điểm của AB, BC , CD, DA. Đặt      ME  NF  AI . Chứng minh BI  2 IF . Câu 10. Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM  2 MB . Gọi E là trung điểm của MC.      Hãy biểu diễn AE theo các véc tơ AB, AC . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO        Câu 11. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và hai điểm M , N thoả mãn: 3MA  4 MB  0 ; NB  3 NC  0 Chứng minh rằng: G, M , N thẳng hàng. Câu 12. a) Trong cuộc thi “Tôi yêu Bà Rịa Vũng Tàu”, nhằm ngợi ca nét đẹp quê hương, một bạn học sinh làm một mô hình chiếc thuyền với cánh buồm hình tam giác có chiều dài hai cạnh lần lượt là 46cm và 102cm, góc giữa hai cạnh là 4 8 0 như hình vẽ. Tính độ dài một cạnh còn lại và diện tích của cánh buồm (Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).         b) Trong mặt phẳng, cho 4 điểm bất kì M, N, P, Q. Chứng minh: NP  QM  QP  NM . c) Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC, điểm E và F lần lượt nằm trên đường thẳng AB và AC               thỏa EA   EB , FA  2 FC . Phân tích vectơ E F theo hai vectơ BA, BC.  3      1    Câu 13. Cho ABC . Các điểm M , N , P được xác định bởi: MA   BM ; AN  3CN ; CP  PB 4 4          a) Chứng minh: AM  CM  CB  NB  AN .  15  3     b) Chứng minh: MN  AB  BC. 4 4 c) Chứng minh: M , N , P thẳng hàng. Câu 14. Cho hình vuông ABCD tâm O có AB  3 .     a) Tính BO.BC .    b) Tính AO  AB . c) Gọi M là điểm trên cạnh CD thỏa MD  2 MC và N là trung điểm của AM . Hãy phân tích      vectơ DN theo hai vectơ AC và BC . Câu 15. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB  6, AD  8 .       a) Chứng minh rằng AC  BD  AD  CB .   b) Tính 2 AD  DB . Câu 16. Cho tam giác ABC     a) Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho BM  2MC . Chứng minh rằng: AB  2 AC  3 AM .       b) Tìm điểm N sao cho NA  2 NB  3NC  0 .    Câu 17. Cho hình vuông ABCD có tâm O , cạnh a . Tính độ dài vectơ AB  2 AO .        Câu 18. Cho tam giác ABC và ba điểm M , N , P thỏa mãn MA  MB  0 và 2 NA  3NC  0 ,     3PC  2 PB  0 . Chứng minh rằng M , N , P thẳng hàng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 19. Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho  1  1   NA  2 NC . Gọi K là trung điểm của MN . Chứng minh rằng: AK  AB  AC . 4 3 Câu 20. Chứng minh rằng: Nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP thì        3GG '= AM  BN  CP      Câu 21. Cho tam giác ABC cố định. Xác định vị trí điểm M để MA  3MB  2MC  0 . Câu 22.          a) Cho các điểm phân biệt M , N , P, Q . Chứng minh rằng: MN  PQ  QM  NP  0    b) Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK  3KJ , I là trung điểm của cạnh AB ,điểm K thỏa mãn                    KA  KB  2KC  0 và M thỏa mãn 3MK  AK . MA  MB  2 MC  0 . Tính MJ  MK  Câu 23. Cho hình bình hành ABCD có AB  2a, AD  a, BAD  120 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABD . Tìm điểm M trên cạnh BC để DG  AM .  Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB  a, AD  2a, ABC  1200 , I là trung điểm của AD.    a) Tính BA.BC .   b) Tính BA. AC.      c) Tính cos AC , BI . Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O có AB  2a, AD  a . Gọi I là trung điểm AB        a) Chứng minh rằng: AB  DC  CB  DA       b) Tính AB  AD và AC  BD         c) Tính AI . AB và DA( AB  AC ) AC Câu 26. Cho hình vuông ABCD . Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM  . Gọi N là trung 4 điểm CD. Chứng minh BMN là tam giác vuông cân.     2   4      Câu 27. Cho tam giác đều ABC và các điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC , CN  CA , AP  AB . 3 15 Tìm k để AM vuông góc với PN . LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8 điểm   trên là điểm đầu hoặc điểm cuối của các vectơ. Tìm số các vectơ khác vectơ không, bằng với vectơ AR . Lời giải Vẽ hình bình hành ABCD tâm O và P, Q, R Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO          4 vec tơ khác vectơ không, bằng với vectơ AR : RD ; BQ ; QC ; PO . Câu 2. Cho hình thang ABCD có AD / / BC và AD  2 BC  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD, AD ; I là giao điểm của AC và BN .   a) Chứng minh AI  NM .     b) Tính độ dài của AI  AM  AD . Lời giải Chứng minh ABCN là hình bình hành, suy ra I là trung điểm của AC . Tứ giác ABCN có AN  BC  a và AN / / BC nên ABCN là hình bình hành, từ đó ta có I là trung điểm AC .  MN / / AI  Ta có MN là đường trung bình ACD nên  AC  MN  2  AI      AIMN là hình bình hành  AI  NM b)            AI  AM  AD  MI  AD  NA  AD  ND      AI  AM  AD  ND  ND  a Câu 3. Cho hình bình hành ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh:       GA  GC  GD  BD. Lời giải Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên       GA  GB  GC  O B C       GA  GC  GB. G             Do đó GA  GC  GD  GB  GD  GD  GB  BD. A D Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD biết AB  3a, AD  4 a .       1. Chứng minh rằng: BA  DA  AC  0 .    2. Tính AB  AC . Lời giải       1. Chứng minh rằng: BA  DA  AC  0                        BA  DA  AC  0  BA  DC  0  AB  BA  0 do AB  DC  AA  0 . 2. Gọi I là trung điểm của BC, E đối xứng với A qua I  CABE là hình bình      2 2 hành  AB  AC  AE  AE  2 AI  2 AB  BI  2a 13 . Câu 5. Cho hình thoi ABCD tâm O có cạnh bằng 2a và góc   60 . Gọi E là trung điểm AD . ADC   a) Hãy nêu các vectơ khác vectơ-không và ngược hướng với vectơ OE . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/          b) Hãy tính độ dài của vectơ u  CD  BO  OA  AE . Lời giải      a) Các vectơ thỏa mãn yêu cầu: EO, AB, DC            b) Ta có: u  CD  BO  OA  AE  ...  CE    Vậy u  CE  CE  CD 2  DE 2  a 3       Câu 6. a) Cho hình bình hành ABCD và một điểm O bất kì. Chứng minh rằng OB  OA  OC  OD       b) Chất điểm A chịu tác động của ba lực F1 , F2 , F3 như hình vẽ bên và ở trạng thái cân bằng (tức là          F1  F2  F3  0 ). Biết độ lớn của lực F3 bằng 10 5 N và    độ lớn của lực F2 gấp đôi độ lớn của lực F1 . Tính độ lớn     của các lực F1 , F2 . Lời giải          a) Theo quy tắc trừ, ta có OB  OA  AB và OC  OD  DC .          Vì ABCD là hình bình hành nên AB  DC . Do đó OB  OA  OC  OD . b)            Đặt F1  AM , F2  AN , F3  AP . Gọi Q là điểm đối xứng với P qua A . Theo giả thiết ta có                AM  AN  AP  0  AM  AN   AP  AM  AN  AQ  AMQN là hình bình hành, mà AM  AN nên AMQN là hình chữ nhật.       Theo giả thiết F3  AP  10 5  AQ  10 5 và F2  2 F1  AN  2 AM . Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AMQ ta tính được AM  10 và AN  20 . Vậy độ lớn của lực     F1 , F2 lần lượt là 10 N và 20 N . Câu 7. Cho hình bình hành ABCD tâm O .         a) Chứng minh rằng: MA  MB  MC  MD  4 MO .  b) Gọi I là trung điểm CD , G là trọng tâm tam giác BCI . Hãy phân tích vectơ AG theo hai    vectơ AB và AD . Lời giải                a) Ta có: VT  MA  MB  MC  MD  MA  MC  MB  MD .         2MO  2MO  4MO  VP b) Ta có: Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  1   1      AI  AC  AD  AB  AD 2 2  1    1      1            AG  AB  AC  AI   AB  AB  AD   AB  AD   3 3 2    5  2   Suy ra AG  AB  AD . 6 3    Câu 8. Gọi AN , CM là các trung tuyến của tam giác ABC . Hãy phân tích vectơ AB theo hai vectơ AN   và CM . Lời giải     1   1    1  1        AB  AN  NB  AN  CB  AN  (CM  MB )  AN  CM  AB 2 2 2 4  4  2     AB  AN  CM . 3 3 Câu 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , E , F lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD, DA. Đặt      ME  NF  AI . Chứng minh BI  2 IF . Lời giải A M B F N I Q D E C    Theo gt, ME  NF  AI                   MN  NE  NM  MF  AI  2 MF  AI . Đặt 2MF  MQ  F là trung điểm của MQ Vậy I là điểm sao cho AMQI là hình bình hành. 2MF  BD  MQ  BD Mặt khác, MF là đường trung bình trong ABD     MF / / BD  MQ / / BD  MQ  BD  AI   ABDI là hình bình hành, mà F là trung điểm của AD nên F là trung  MQ / / BD / / AI điểm của BI . Suy ra điều phải chứng minh. Câu 10. Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM  2 MB . Gọi E là trung điểm của MC.      Hãy biểu diễn AE theo các véc tơ AB, AC . Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ A M E B C  1      Vì E là trung điểm của MC nên AE  AM  AC . 2   2     1  2    1  1     Vì AM  AB nên AE   AB  AC   AB  AC 3 23  3 2        Câu 11. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và hai điểm M , N thoả mãn: 3MA  4 MB  0 ; NB  3 NC  0 Chứng minh rằng: G, M , N thẳng hàng. Lời giải             4    Ta có : 3 MA  4MB  0  3MA  4MA  4 AB  0  7 AM  4 AB  AM  AB 7           NB  3NC  0  AB  AN  3( AC  AN )  0      1  3    2 AN   AB  3 AC  AN  AB  AC 2 2  1  1   AG  AB  AC ; 3 3    15  3     MN  AN  AM  AB  AC 14 2    5  1     MG  AG  AM  AB  AC 21 3  9        Ta thấy MN  MG nên MN , MG cùng phương. Suy ra: G, M , N thẳng hàng 2 Câu 12. a) Trong cuộc thi “Tôi yêu Bà Rịa Vũng Tàu”, nhằm ngợi ca nét đẹp quê hương, một bạn học sinh làm một mô hình chiếc thuyền với cánh buồm hình tam giác có chiều dài hai cạnh lần lượt là 46cm và 102cm, góc giữa hai cạnh là 4 8 0 như hình vẽ. Tính độ dài một cạnh còn lại và diện tích của cánh buồm (Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).         b) Trong mặt phẳng, cho 4 điểm bất kì M, N, P, Q. Chứng minh: NP  QM  QP  NM . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO c) Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC, điểm E và F lần lượt nằm trên đường thẳng AB và AC               thỏa EA   EB , FA  2 FC . Phân tích vectơ E F theo hai vectơ BA, BC. Lời giải a)  BC 2  AB2  AC 2  2. AB. AC.cos BAC  462  1022  2.46.102.cos(48o )  6240,88 BC  79(cm) 1  S  . AB. AC.sin BAC 2 1  .46.102.sin(48o )  1743, 4(cm2 ) 2                  b) Cách 1: NP  QM  QP  NM  NP  NM  QM  QP  0        M P  P M  0  M M  0 : Đúng (Đpcm)            Cách 2: VT  NP  QM  NM  MP  QP  PM                    NM  QP  PM  MP  NM  QP  PP  NM  QP  0  VP c)       1   EF  AF  AE  2 AC  AB 2 (Bước này HS dùng hình vẽ hoặc chứng minh từ đẳng thức vecto ở GT)     1   3        2 BC  BA  BA   BA  2 BC . 2 2  3      1    Câu 13. Cho ABC . Các điểm M , N , P được xác định bởi: MA   BM ; AN  3CN ; CP  PB 4 4          a) Chứng minh: AM  CM  CB  NB  AN .  15  3     b) Chứng minh: MN  AB  BC. 4 4 c) Chứng minh: M , N , P thẳng hàng.          Lời giải              a) Ta có: AM  CM  CB  NB  AN  AM  MC  CB  AN  NB  AB  AB Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ b)      3    3      15  3    4 4   Ta có MN  MA  AN  3 AB  AC  3 AB  AB  BC  AB  BC. 4 4      4        3  3     MP  MB  BP  4 AB  BC  5MP  20 AB  4 BC  .5MP  5 16 16  20 AB  4 BC  c) 15  15  3     MP  AB  BC 16 4 4  15  3     15    Mà theo câu a thì MN  AB  BC nên ta được MP  MN  M , N , P thẳng hàng. 4 4 16 Câu 14. Cho hình vuông ABCD tâm O có AB  3 .    a) Tính BO.BC .   b) Tính AO  AB . c) Gọi M là điểm trên cạnh CD thỏa MD  2 MC và N là trung điểm của AM . Hãy phân tích     vectơ DN theo hai vectơ AC và BC . Lời giải          3 2 .3. 2  9 a) Tính BO.BC  BO . BC cosOBC  2 2 2    b) Tính AO  AB .      Ta có AO  AB  AF  AF 3 10 AF  AB 2  BF 2  2 AB.BFcos1350  2 c) Gọi M là điểm trên cạnh CD thỏa MD  2MC và N là trung điểm của AM . Hãy phân tích     DN theo hai vec tơ AC và BC . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO  1  1  1  1  5  1  1  5       DN  DA  DM  DA  DC  DA  AC  AC  BC . 2 2 2 3 6 3 3 6 Câu 15. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB  6, AD  8 .       a) Chứng minh rằng AC  BD  AD  CB .   b) Tính 2 AD  DB . Lời giải                a) Ta có AC  BD  AD  DC  BC  CD  AD  BC  AD  CB .          b) Ta có 2 AD  DB  AD  AD  DB  AD  AB  AC  AC .    Và AC  AB2  BC 2  62  82  10 nên 2 AD  DB  10. Câu 16. Cho tam giác ABC     a) Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho BM  2MC . Chứng minh rằng: AB  2 AC  3 AM .      b) Tìm điểm N sao cho NA  2 NB  3NC  0 . Lời giải     a) M là điểm trên cạnh BC nên BM và MC cùng hướng.                   BM  2MC nên suy ra BM  2 MC  AM  AB  2 AC  AM  AB  2 AC  3 AM .       b) Giả sử tìm được điểm N sao cho NA  2 NB  3NC  0 .     Gọi I là trung điểm của AC , khi đó NA  NC  2 NI .                      Vậy NA  2 NB  3 NC  NA  NC  2 NB  NC  2 NI  2CB  2 NI  CB .               Suy ra NA  2 NB  3 NC  0  2 NI  CB  0  NI  CB . Do B, C , I không thuộc một đường thẳng nên điều này tương đương với tứ giác BCNI là một hình bình hành. Vậy điểm N cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành dựng trên hai cạnh BC và BI , tức là N đối xứng với B qua trung điểm của IC .    Câu 17. Cho hình vuông ABCD có tâm O , cạnh a . Tính độ dài vectơ AB  2 AO . Lời giải        Ta có: AB  2 AO  AB  AC  2AI (với I là trung điểm của BC ) 5 Xét tam giác ABI tính được AI  a 2   Vậy: AB  2 AO  2 AI  a 5 .        Câu 18. Cho tam giác ABC và ba điểm M , N , P thỏa mãn MA  MB  0 và 2 NA  3NC  0 ,      3PC  2 PB  0 . Chứng minh rằng M , N , P thẳng hàng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Lời giải        Cộng theo từng vế hai đẳng thức 2 NA  3NC  0 và 3PC  2 PB  0 , ta được       3    2 NA  2 PB  3PN . Suy ra NA  PB  PN . 2   3       Khi đó, trừ theo từng vế hai đẳng thức NA  PB  PN và MA  2MB  0 , ta được 2   3     5    5   PM  NM  PN  2 PM  PN  PM  PN . 2 2 4 Vậy M , N , P thẳng hàng. Cách khác: Vẽ hình, biểu diễn các vectơ   1  3   MN   AB  AC 2 5  5    MP   AB  3 AC 2    Từ đó MP  5MN nên 3 điểm M , N , P thẳng hàng Câu 19. Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho  1  1   NA  2 NC . Gọi K là trung điểm của MN . Chứng minh rằng: AK  AB  AC . 4 3 Lời giải Ta có:  1    1  1  2    2  AK  AM  AN    AB  AC  2 2 3  1  1    AB  AC . 4 3 Câu 20. Chứng minh rằng: Nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP thì        3GG '= AM  BN  CP Lời giải       Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GA  GB  GC  0       G ' là trọng tâm tam giác MNP nên MG '  NG '  PG '  0        GG '  GA  AM  MG '        GG '  GB  BN  NG '        GG '  GC  CP  PG ' Cộng từng vế ba đẳng thức trên và sử dụng điều kiện của trọng tâm tam giác nên ta có đpcm.     Câu 21. Cho tam giác ABC cố định. Xác định vị trí điểm M để MA  3MB  2MC  0 . Lời giải Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO     Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AB . Khi đó: MA  MB  2MK . Ta có:                   MA  3MB  2MC  0  MA  MB  2MB  2MC  0  2MK  2CB  0  MK  BC . Vậy M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BCKM . Câu 22.          a) Cho các điểm phân biệt M , N , P, Q . Chứng minh rằng: MN  PQ  QM  NP  0    b) Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK  3KJ , I là trung điểm của cạnh AB ,điểm K thỏa mãn                    KA  KB  2KC  0 và M thỏa mãn 3MK  AK . MA  MB  2 MC  0 . Tính MJ  MK Lời giải                   a. MN  PQ  QM  NP  MN  NP  PQ  QM  MM  0             b) Ta có: MA  MB  2MC  4MK  KA  KB  2KC  4MK .   Lấy điểm J thỏa mãn AK  3KJ . A I K B J C     1   AB AC    2  Ta có AK  AI  AC  4   2 , mà AK  3KJ nên     1  4  1  2     AJ  AK  KJ  AK  AK  AK  AB  AC . 3 3 3 3    1  2        2  2  2    Lại có BJ  AJ  AB  AB  AC  AB   AB  AC  BC . 3 3 3 3 3  2    Suy ra J là điểm cố định nằm trên đoạn thẳng BC xác định bởi hệ thức BJ  BC 3         Ta có 3MK  AK  3MK  3KJ  3MJ .                   Như vậy 3MK  AK . MA  MB  2MC  0  3MJ . 4MK  0  MJ .MK  0 .  Câu 23. Cho hình bình hành ABCD có AB  2a, AD  a, BAD  120 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABD . Tìm điểm M trên cạnh BC để DG  AM . Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/      1   1    2  1   DG  DA  AG   AD  AC   AD  AB  AD   AD  AB 3 3  3 3                 AM  AB  BM  AB  k BC  AB  k AD ( với BM  k BC ).    2  1       DG  AM  DG. AM  0    AD  AB  AB  k AD  0  3 3       2 Với: AB. AD  a.2a.cos120  a 2 2k 2 1 2 k 2 2k 4 k  a2  a   2a    a 2   0     0k 2 3 3 3 3 3 3 3 3    Vậy điểm M trên BC thỏa: BM  2 BC .  Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB  a, AD  2a, ABC  1200 , I là trung điểm của AD.    a) Tính BA.BC .   b) Tính BA. AC.      c) Tính cos AC , BI .  Lời giải B 2a C 120° a A a I D          1  ABC  a) BA.BC  BA BC .cos BA, BC  BA.BC.cos   a. 2a .cos120  2a 2 . 2  a 2          2      b) BA. AC  BA AB  BC  BA  BA.BC  a 2  a 2  2a 2           AC.BI c) cos AC , BI    .   AC BI Theo định lý hàm cos ta có Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.