zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Toán 10 (Chân trời sáng tạo) - Ôn tập chương 8: Đại số tổ hợp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán 10 (Chân trời sáng tạo) - Ôn tập chương 8: Đại số tổ hợp" nhằm giúp học sinh lớp 10 nắm vững kiến thức về tổ hợp, chỉnh hợp, xác định số cách chọn. Tài liệu tổng hợp lý thuyết, công thức tính nhanh, bài tập rèn luyện tư duy và lời giải cụ thể từng bước. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nâng cao kỹ năng giải bài toán tổ hợp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán 10 (Chân trời sáng tạo) - Ôn tập chương 8: Đại số tổ hợp

TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Điện thoại: 0946798489 ÔN TẬP CHƯƠNG 8. ĐẠI SỐ TỔ HỢP • TOÁN 10 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN 1. LÝ THUYẾT – BÀI TẬP MẪU Chương VIII. ĐẠI SỐ TỔ HỢP BÀI 1. QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Quy tắc cộng Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án A . Khi đó, công việc có thể thực hiện theo m  n cách. Tổng quát: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo k phương án. Phương án thứ nhất có m1 cách thực hiện; phương án thứ hai có m2 cách thực hiện; ...; phương án thứ k có mk cách thực hiện. Hơn nữa, mỗi cách thực hiện của phương án này không trùng với bất kì cách nào của phương án khác. Khi đó, có thể thực hiện công việc theo m1  m2    mk cách. 2. Quy tắc nhân Giả sử một công việc được chia thành hai công đoạn. Công đoạn thứ nhất có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn thứ hai. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo m . n cách. Tổng quát: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn. Công đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện; công đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện, ...; công đoạn thứ k có nk cách thực hiện. Khi đó, có thể hoàn thành công việc theo n1  n2 ..nk cách. B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Trên giá sách có 6 cuốn sách Ngữ Văn khác nhau, 7 cuốn sách Toán khác nhau và 8 cuốn sách Tiếng Anh khác nhau. Từ giá sách này, a) có bao nhiêu cách lấy một cuốn sách? b) có bao nhiêu cách lấy ba cuốn sách, mỗi môn một cuốn? c) có bao nhiêu cách lấy hai cuốn sách từ hai môn khác nhau? Giải a) Công việc lấy ra một cuốn sách có ba phương án thực hiện: Phương án 1: Lấy một quyển sách Ngữ Văn, có 6 cách thực hiện. Phương án 2: Lấy một quyển sách Toán, có 7 cách thực hiện. Phương án 3: Lấy một quyển sách Tiếng Anh, có 8 cách thực hiện. Theo quy tắc cộng, có 6  7  8  21 cách chọn một cuốn sách từ giá sách. b) Để chọn ba cuốn sách, mỗi môn một cuốn, ta thực hiện thành ba công đoạn. Công đoạn 1: Chọn một cuốn sách Ngữ Văn, có 6 cách thực hiện. Công đoạn 2: Chọn một cuốn sách Toán, có 7 cách thực hiện. Công đoạn 3: Chọn một cuốn sách Tiếng Anh, có 8 cách thực hiện. Từ đó, theo quy tắc nhân, có 6.7.8  336 cách chọn ba cuốn sách, mỗi môn một cuốn. c) Để chọn hai cuốn sách từ hai môn khác nhau, ta có ba phương án thực hiện. Phương án 1: Chọn một cuốn sách Ngũ̃ Văn và một cuốn sách Toán, ta có 6.7  42 cách thực hiện phương án này. Phương án 2: Chọn một cuốn sách Ngũ Văn và một cuốn sách Tiếng Anh, có 6.8  48 cách thực hiện phương án này. Phương án 3: Chọn một cuốn sách Toán và một cuốn sách Tiếng Anh, có 7.8  56 cách thực hiện phương án này. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Mỗi cách thực hiện của phương án này đều không trùng với cách thực hiện nào của phương án khác, nên theo quy tắc cộng, số cách chọn hai cuốn sách từ hai môn khác nhau là 42  48  56  146 (cách). Bài 2. Tung một con xúc xắc ba lần liên tiếp và ghi lại kết quả (chẳng hạn, 2  5  4 nếu số chấm xuất hiện lần lượt là 2,5 và 4). Có tất cả bao nhiêu kết quả khác nhau có thể xảy ra? Giải Có thể coi việc tung con xúc xắc ba lần liên tiếp là công việc gồm ba công đoạn, mỗi công đoạn là một lần tung. Mỗi lần tung đều có 6 khả năng khác nhau xảy ra (số chấm xuất hiện là 1; 2;; 6 ). Do đó, theo quy tắc nhân, ta có 6  6  6  216 kết quả khác nhau có thể xảy ra. Bài 3. Dùng sáu chữ số 0;1; 2;3; 4;5 có thể lập được bao nhiêu a) mật khẩu có bốn chữ số khác nhau? b) số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau? c) số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau? Giải a) Kí hiệu mật khẩu cần lập là abcd , trong đó a, b, c, d là các chữ số khác nhau từ sáu chữ số đã cho. Coi việc chọn mật khẩu là một công việc gồm bốn công đoạn. Công đoạn 1: Chọn chữ số a từ sáu chữ số đã cho, có 6 cách chọn. Công đoạn 2: Chọn chữ số b từ năm chữ số còn lại, có 5 cách chọn. Công đoạn 3: Chọn chữ số c từ bốn chữ số còn lại, có 4 cách chọn. Công đoạn 4: Chọn chữ số d từ ba chữ số còn lại, có 3 cách chọn. Từ đó, theo quy tắc nhân, có thể lập được 6  5  4  3  360 mật khẩu theo yêu cầu. b) Kí hiệu số tự nhiên cần lập là abcd , trong đó a, b, c, d là các chữ số khác nhau từ sáu chữ số đã cho, a  0 . Đầu tiên, có 5 cách chọn chữ số a . Tiếp theo, có 5 cách chọn chữ số b từ các chữ số còn lại. Tiếp tục, có 4 cách chọn chữ số c và 3 cách chọn chữ số d . Từ đó, theo quy tắc nhân, có 5  5  4.3  300 số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho. c) Kí hiệu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau như câu b. Đầu tiên, có 3 cách chọn chữ số d từ ba chữ số lẻ 1;3;5 . Tiếp theo, có 4 cách chọn chữ số a từ 4 chữ số khác 0 còn lại. Tiếp theo, có 4 cách chọn chữ số c từ 4 số còn lại. Cuối cùng, có 3 cách chọn chữ số b từ các chữ số còn lại. Từ đó, theo quy tắc nhân, có 3.4.4.3  144 số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho. Bài 4. Trong một công viên, có các con đường nối bốn địa điểm A, B, C , và D như Hình 2 . Có bao nhiêu cách chọn một đường đi từ A đến D ? Chỉ tính các đường đi qua mỗi địa điểm nhiều nhất một lần. Giải Có hai phương án để đi từ A đến D . Phương án 1: Đi từ A qua B rồi đến D . Có 3 cách chọn đường đi từ A đến B , có 2 cách chọn đường đi từ B đến D . Theo quy tắc nhân, có 3.2  6 cách chọn đường đi từ A qua B rồi đến D . Phương án 2: Đi từ A qua C rồi đến D . Có 3 cách chọn đường đi từ A đến C , có 4 cách chọn đường đi từ C đến D . Theo quy tắc nhân, có 3.4  12 cách chọn đường đi từ A qua C rồi đến D . Áp dụng quy tắc cộng, có 6  12  18 cách chọn đường đi từ A đến D . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Bài 2. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hoán vị Khi sắp xếp n phần tử của một tập hợp theo một thứ tự, ta được một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của n phần tử (n  1) bằng Pn  n(n  1)(n  2) 2.1 . 2. Chỉnh hợp Cho tập hợp A có n phần tử (n  1) và số nguyên k với 1  k  n . Mỗi cách lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. k n! Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1  k  n) bằng An  n(n  1)(n  2)(n  k  1)  . (n  k )! 3. Tổ hợp Mỗi tập con gồm k phần tử (1  k  n) của một tập hợp gồm n phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó. k n! Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1  k  n) bằng Cn  . k !( n  k )! B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Có 5 cuốn sách Toán học khác nhau và 3 cuốn sách Sinh học khác nhau. a) Có bao nhiêu cách xếp các cuốn sách này thành một dãy trên giá sách? b) Nếu yêu cầu thêm các cuốn sách cùng môn phải được xếp cạnh nhau thì có bao nhiêu Hinh 1 cách xếp? Giải a) Mỗi cách sắp xếp 8 cuốn sách thành một dãy trên giá là một hoán vị của 8 cuốn sách này. Do đó, có 8!  40320 cách sắp xếp. b) Có 5 ! cách sắp xếp 5 cuốn sách Toán học cạnh nhau để thành một dãy. Có 3 ! cách sắp xếp 3 cuốn sách Sinh học cạnh nhau để thành một dãy. Có 2 ! cách sắp xếp 2 dãy trên cạnh nhau để thành một dãy mới. Từ đó, áp dụng quy tắc nhân, số cách sắp xếp các cuốn sách trên thành một dãy sao cho các sách cùng môn được xếp cạnh nhau là 5!3!2!  1440 (cách xếp). Bài 2. Một ga tàu hoả có 6 đường nhánh, mỗi nhánh chỉ đỗ được một đoàn tàu. Hiện các đường nhánh đều đang trống và có 3 đoàn tàu sắp vào ga. Có bao nhiêu cách bố trí nhánh đỗ cho 3 đoàn tàu? Giải Mỗi cách chọn 3 đường nhánh và bố trí nhánh đỗ cho 3 đoàn tàu là một chỉnh hợp chập 3 của 6 đường 3 nhánh. Do đó, số cách bố trí là A6  6  5.4  120 (cách). Bài 3. Một bệnh viện có 12 bác sĩ nội khoa và 10 bác sĩ ngoại khoa. Bệnh viện cần cử 5 bác sĩ tham gia vào đội y tế cứu trợ thiên tai. a) Cần cử 3 bác sĩ nội khoa và 2 bác sĩ ngoại khoa. Có bao nhiêu lựa chọn? b) Cần cử ít nhất 2 bác sĩ nội khoa và ít nhất 2 bác sĩ ngoại khoa. Có bao nhiêu lựa chọn? Giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 3 a) Mỗi cách chọn 3 trong 12 bác sĩ nội khoa là một tổ hợp chập 3 của 12 bác sĩ này. Do đó, có C12 cách 2 chọn 3 trong 12 bác sĩ nội khoa. Có C10 cách chọn 2 trong 10 bác sĩ ngoại khoa. Áp dụng quy tắc nhân, số 3 2 cách cử 5 bác sĩ trong đó có 3 bác sĩ nội khoa và 2 bác sĩ ngoại khoa là: C12C10  220.45  9900 (cách). b) Có hai phương án thực hiện. 2 3 Phương án 1: Chọn 2 bác sĩ nội khoa và 3 bác sĩ ngoại khoa, có C12C10 cách chọn. 3 2 Phương án 2: Chọn 3 bác sĩ nội khoa và 2 bác sĩ ngoại khoa, có C12C10 cách chọn. Áp dụng quy tắc cộng, số cách cử 5 bác sĩ trong đó có ít nhất 2 bác sĩ nội khoa và ít nhất 2 bác sĩ ngoại khoa là: 2 3 3 2 C12C10  C12C10  66.120  220.45  17820 (cách). Bài 4. Trong một lô 100 sản phẩm, có 97 chính phẩm (sản phẩm đạt tiêu chuẩn) và 3 thứ phẩm (sản phẩm không đạt tiêu chuẩn). Từ 100 sản phẩm này, có bao nhiêu cách lấy ra 3 sản phẩm mà a) 3 sản phẩm được lấy bất kì? b) trong đó có 2 chính phẩm và 1 thứ phẩm? c) trong đó có ít nhất một thứ phẩm? Giải a) Mỗi cách lấy 3 sản phẩm từ 100 sản phẩm là một tổ hợp chập 3 của 100 sản phẩm. Do đó, số cách lấy 3 3 sản phẩm bất kì là C100  161700 (cách). 2 1 b) Có C97 cách lấy 2 chính phẩm từ 97 chính phẩm. Có C3 cách lấy 1 thứ phẩm từ 3 thứ phẩm. Từ đó, áp 2 1 dụng quy tắc nhân, số cách lấy 2 chính phẩm và 1 thứ phẩm là C97C3  4656  3  13968 (cách). c) Trong 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 thứ phẩm trong 3 trường hợp sau đây. Trường hợp 1: Có đúng 1 thứ phẩm. 2 1 Trường hợp này có C97C3  4656.3  13968 cách lấy, như đã tính ở trên. Trường hợp 2: Có đúng 2 thứ phẩm. Trường hợp này có C97 C32  97.3  291 cách lấy. 1 Trường hợp 3: Có đúng 3 thứ phẩm. 3 Trường hợp này có C3  1 cách lấy. Áp dụng quy tắc cộng, số cách lấy 3 sản phẩm có ít nhất 1 thứ phẩm là 13968  291  1  14260 (cách). 3 Cách khác: Có thể giải bài toán bằng cách tìm phần bù. Số cách lấy 3 sản phẩm đều là chính phẩm là C97 . 3 3 Từ đó, số cách lấy 3 sản phẩm trong đó có ít nhất một thứ phẩm là C100  C97  161700  147440  14260 (cách). Bài 5 . Từ các chữ số 1; 2;3; 4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên: a) Có bốn chữ số khác nhau? b) Có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ? c) Có bốn chữ số khác nhau và lớn hơn 4500 ? Giải a) Để lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ 6 chữ số đã cho, ta chọn 4 trong 6 chữ số đó và sắp xếp theo một thứ tự. Do đó, có thể coi mỗi số đó là một chỉnh hợp chập 4 của 6 chữ số đó. Do đó, có A64  6  5  4  3  360 số như vậy. b) Để số lập được chia hết cho 5 , chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 5 . Vậy chữ số tận cùng là 5. Có 3 3 A5 cách chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để viết các chữ số còn lại. Một số chia hết cho 5 thì A5  5  4  3  60 . c) Kí hiệu abcd là số tự nhiên có bốn chữ số thoả mãn yêu cầu. Vì m  4500 nên a  4 Trường hợp 1: a  4 . Khi đó, để m  4500 điều kiện cần và đủ là b  5 . Có hai cách chọn chữ số b (5 hoặc 2 6). Có A4 cách chọn hai chữ số còn lại. 2 Do đó, trường hợp này có 2 A4  2 . 4.3  24 số thoả mãn yêu cầu. 3 Trường hợp 2: a  5 . Khi đó, đương nhiên m  4500 . Có hai cách chọn chữ số a (5 hoặc 6). Có A5 cách chọn ba chữ số còn lại. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO 3 Do đó, trường hợp này có 2 A5  2  5  4  3  120 số thoả mãn yêu cầu. Áp dụng quy tắc cộng, có 24  120  144 số tự nhiên thoả mãn yêu cầu. Bài 3. NHỊ THỨC NEWTON A. KIẾN THƯC CẦN NHỚ Với n  4 : (a  b) 4  a 4  4a3b  6a 2b2  4ab3  b 4 . Với n  5 : (a  b)5  a5  5a 4b  10a3b2  10a 2b3  5ab 4  b5 . Chú ý: Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton với n  0;1; 2;3; tạo thành tam giác Pascal. B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Sử dụng công thức nhị thức Newton, hãy khai triển: 4  1 a)  2 x    x 5  1  b)  x    x Giải 4 2 3 4  1  1  1  1  1 a)  2 x    (2 x) 4  4(2 x)3     6(2 x)2     4(2 x)         x  x  x  x  x 8 1  16 x 4  32 x 2  24  2  4 . x x 5 2 3 4 5  1  5 4 1  3 1  2 1   1   1  b)  x    x  5x    10 x    10 x    5x      x  x  x  x  x  x 5 1  x 5  5 x 3 x  10 x 2  10 x   . x x x 2 Bài 2. Tìm hệ số của x 4 trong khai triển biểu thức (2 x  1)( x  1)5 . Giải Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có ( x  1)5  x 5  5 x 4  10 x 3  10 x 2  5 x  1 Khi nhân biểu thức 2 x  1 với biểu thức bên phải của * , ta được hệ số của x 4 bằng 2 10  1  (5)  15 . Vậy hệ số của x 4 trong khai triển biểu thức (2 x  1)( x  1)5 bằng 15 . Nhận xét: Nếu tìm tất cả các số hạng của khai triển, ta được   (2 x  1)( x  1)5  (2 x  1) x 5  5 x 4  10 x 3  10 x 2  5 x  1  2 x 6  9 x 5  15 x 4  10 x 3  3 x  1. Từ đó, cũng tìm được hệ số của x 4 bằng 15 . Bài 3 . Khai triển biểu thức (a  bx)4 , viết các số hạng theo thứ tự bậc của x tăng dần, nhận được biểu thức gồm hai số hạng đầu tiên là 16  96 x . Hãy tìm giá trị của a và b . Giải Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có: ( a  bx )4  a 4  4 a3 bx  6 a 2 ( bx )2  4 a( bx )3  ( bx )4  a 4  4 a3 bx  6 a2 b 2 x 2  4 ab3 x 3  b 4 x 4 a 4  16 a  2 a  2 Theo giả thiết, ta có:  3  hoặc  Vậy a  2, b  3 hoặc a  2, b  3 . 4a b  96 b  3 b  3. Bài 4. Khai triển và rút gọn biểu thức (1  x)5  (1  x)5 . Sử dụng kết quả đó, tính gần đúng A  1,055  0,955 . Giải (1  x)5  1  5 x  10 x 2  10 x3  5 x 4  x5 (1) (1  x)5  1  5 x  10 x 2  10 x3  5 x 4  x5 (2) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Từ (1) và (2) ta có: (1  x)5  (1  x)5  2  20 x 2  10 x 4 . Áp dụng công thức trên ta có: A  1, 055  0,955  (1  0, 05)5  (1  0, 05)5  2  20  (0, 05)2  10  (0, 05)4   2  20  0, 0025 do (0, 05)4 raát beù   2  0, 05  2, 05. PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN CÂU HỎI TỰ LUẬN Câu 1. Với các chữ số 0,1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, mỗi số có các chữ số không trùng nhau? Câu 2. Với các chữ số 0 ,1, 2 , 3, 4 , 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5 . Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau? Câu 4. Từ các chữ số lẻ có thể viết được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau? Câu 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 7? 10  1  Câu 6. Tìm số hạng đứng giữa của khai triển  5  3 x .  x  Câu 7. Cô dâu và chú rể mời 4 người bạn đứng thành một hàng để chụp ảnh cùng với mình. Có bao nhiêu cách xếp hàng nếu cô dâu đứng ở phía bên trái chú rể? Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 hoặc cho 6? Câu 9. Có bao nhiêu cách xếp các chữ a , b , c , d thành một dãy sao cho chữ b không đi liền sau chữ a ? Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của nó là số chẵn? Câu 11. Từ các chữ số 1, 2 ,3, 4,5 . Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng  300;500  ? Câu 12. Từ các chữ số 1, 3, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác nhau và lớn hơn 6000? Câu 13. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số mà 3 chữ số sau đều nhỏ hơn 6, còn 2 chữ số đầu không nhỏ hơn 6 trong đó các chữ số đều khác nhau? Câu 14. Cho P  x, y, z  là điểm trong không gian ba chiều với các thành phần tọa độ là các số nguyên có 1 chữ số. Hỏi có bao nhiêu điểm như vậy? Câu 15. Trong một ván cờ vua gồm nam và nữ vận động viên, mỗi vận động viên phải chơi hai ván với từng vận động viên còn lại. Cho biết có hai vận động viên nữ và số ván vận động viên nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với vận động viên nữ là 66 . Hỏi có bao nhiêu vận động viên tham dự giải và số ván tất cả các vận động viên đã chơi là bao nhiêu? Câu 16. Một tổ có 10 nam và 5 nữ. Cần lập một ban đại diện gồm 4 người. Có bao nhiêu cách lập để có nhiều nhất là 2 nữ? Câu 17. Có 3 loại cây và 4 hố trồng cây. Hỏi có mấy cách trồng cây nếu mỗi hố trồng một cây và mỗi loại cây phải có ít nhất một cây được trồng? Câu 18. Trong một ngăn buồng trên xe lửa có hai dãy ghế đối mặt nhau, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi có đánh số. Trong số 10 hành khách vào ngăn đó có 4 người muốn quay mặt về hướng tàu đi, 3 người muốn quay về hướng ngược lại. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho các yếu tố đó được thỏa mãn? n  3 x Câu 19. Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức  x 2 x    bằng 36. Hãy tìm số  x   hạng thứ 7. 40  1  Câu 20. Tìm hệ số của x 31 trong khai triển f  x    x  2  .  x  Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO 6  4  Câu 21. Tìm số nguyên dương x sao cho số hạng thứ 5 của khai triển  4 x  2 x 21  bằng 240.  4  x  1  Câu 22. Tìm số nguyên dương x cho biết trong khai triển  3 2  3  tỉ số của hạng tử thứ 7 kể từ hạng  3 1 tử đầu và hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử cuối bằng . 6 Câu 23. Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ. Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn nếu trong tổ phải có cả nam lẫn nữ. n 0 1 1 1 2 S  C  Cn  Cn  ...   1  C n n Câu 24. Tính tổng 2 3 n1 n Câu 25. Trên mặt phẳng cho 10 điểm, trong đó có 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có bất cứ ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh tại các điểm đã cho? Câu 26. Từ một nhóm có 10 nam và 5 nữ trong đó có cậu A và cô B , người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn nếu cậu A và cô B từ chối tham gia? Câu 27. Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm. Có bao nhiêu chuỗi gồm 6 kí tự trong đó có 3 phụ âm và 3 nguyên âm khác nhau sao cho trong các chữ đó chứa q và v ? Câu 28. Có 90 phiếu được đánh số từ 1 đến 90. Tính số cách rút ra 5 phiếu cùng một lúc sao cho có ít nhất 2 phiếu có số thứ tự là hai số liên tiếp. Câu 29. Có bao nhiêu cách chia 3 thầy giáo dạy toán vào 6 lớp 12, mỗi thầy dạy đúng 2 lớp? Câu 30. Cho P  x, y, z  là điểm trong không gian ba chiều với các tọa độ là số tự nhiên chỉ có một chữ số. Hỏi có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất bao nhiêu điểm như vậy sao cho không có bất cứ hai điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục Ox ? Câu 31. Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M . Trên a lấy 9 điểm phân biệt khác M , trên b lấy 10 điểm phân biệt khác M . Hỏi từ 20 điểm đã cho lập được bao nhiêu tam giác? Câu 32. Ba bạn A, B, C cùng đến nhà D mượn sách. Bạn D có 9 quyển sách khác nhau, trong đó có 8 quyển sách học và một cuốn tiểu thuyết. Bạn B mượn 2 quyển, Cmuốn mượn 3 quyển. Bạn A mượn hai quyển trong đó có một cuốn tiểu thuyết. Hỏi bạn D có bao nhiêu cách cho mượn? Câu 33. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất lấy 10 điểm. Trên đường thẳng thứ 2 lấy 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho? Câu 34. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đội một khác nhau trong đó có hai chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau? Câu 35. Cho các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt chữ số 4 và chữ số hàng nghìn là 5? Câu 36. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và một trong hai chữ số đầu tiên là 7? Câu 37. Có bao nhiêu tham người gia vào cuộc đấu cờ theo thể thức vòng tròn một lượt, biết rằng cuộc đấu có tất cả 84 ván và có hai người bỏ cuộc sau khi mỗi người đã đấu đúng ba ván? Câu 38. Có 10 đường thẳng, trong đó có 4 đường thẳng song song với nhau và không có bất cứ 3 đường thẳng nào đồng quy, hỏi chúng cắt nhau tại bao nhiêu điểm? Câu 39. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 . Tính tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các số trên. Câu 40. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục phải làm việc chung mới chịu? Câu 41. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục không thể làm chung với nhau? Câu 42. Trong mặt phẳng cho 5 điểm. Giả sử trong các đường thẳng nối từng cặp điểm trong 5 điểm này không có cặp đường thẳng song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta kẻ các đường thẳng vuông góc với tất cả những đường thẳng có thể dựng được bằng cách nối từng cặp điểm trong 4 điểm còn lại. Tìm số giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó, không kể 5 điểm đã cho, nhiều nhất là bao nhiêu? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 28 n    Câu 43. Trong khai triển nhị thức  x 3 x  x 15  . Hãy tìm số hạng không phụ thuộc x , biết rằng   n n 1 n2 Cn  Cn  Cn  79 . 12  x 3 Câu 44. Trong khai triển nhị thức    . Tìm hạng tử độc lập với x ? 3 x 1 2 3 4 n 1 n A  Cn  2Cn  3Cn  4Cn  ...   1 Cn Câu 45. Tính . 10 1 2  Câu 46. Cho khai triển nhị thức   x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a10 x10 . Tìm số hạng ak lớn nhất. 3 3  Câu 47. Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam. 26 0 25 1 2 4 23 3 2 2 2 5 1 6 S  C6  C6  C62  C6  C64  C6  C6 Câu 48. Tính tổng 1 2 3 4 5 6 7 . n n n 1 n  x 1  x  0 x 1  1 x 1   x n x   Câu 49. Cho khai triển  2 2  2 3   Cn  2 2   Cn  2 2  2 3  ...  Cn  2 3  ( n là số nguyên         3 1 dương). Biết rằng trong khai triển đó Cn  5Cn và số hạng thứ tư bằng 20n . Tìm n và x . LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu 1. Với các chữ số 0 ,1, 2 , 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, mỗi số có các chữ số không trùng nhau? Lời giải Số cách chọn số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4.3.2.1 = 96. Số cách chọn số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4.3.2 = 96. Số cách chọn số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4.3 = 48. Số cách chọn số tự nhiên có 2 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4 = 16. Số cách chọn số tự nhiên có 1 chữ số là: 5. Vậy có thể lập được 96 + 96 + 48 + 16 + 5 = 261 số tự nhiên thỏa mãn đề bài. Câu 2. Với các chữ số 0 ,1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5 . Lời giải Gọi số cần tìm là a1 a2 a3 a4  a1  0  . - Chữ số 5 đứng đầu  a1  5 :  3 a1 có 1 cách chọn; a2 a3 a4 có A6 cách. 3 Suy ra trường hợp này có 1. A6  120 số. - Chữ số 5 không đứng đầu  a1  5  : có 3 vị trí để đặt chữ số 5 , khi đó: 2 a1 có 5 cách (khác 0 và 5 ); hai chữ số còn lại có A5 cách chọn. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO 2 Suy ra trường hợp này có 3  5  A  300 số. 5 Vậy có tất cả 120  300  420 số. Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau? Lời giải Gọi số cần tìm là a1 a2 a3  a1  0  . - Chữ số cuối cùng bằng 0  a3  0  : a3 có 1 cách chọn; a1 có 9 cách chọn; a2 có 8 cách chọn. Suy ra trường hợp này có 1  9  8  72 số. - Chữ số cuối cùng khác 0  a3  0  : a3 có 4 cách chọn; a1 có 8 cách chọn; a2 có 8 cách chọn. Suy ra trường hợp này có 4  8  8  256 số. Vậy có tất cả 72  256  328 số cần tìm. Chọn đáp án A . Câu 4. Từ các chữ số lẻ có thể viết được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau? Lời giải Có 5 chữ số lẻ là 1, 3, 5, 7, 9. Do đó có thể viết được A54  120 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Câu 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 7? Lời giải Giả sử số cần tìm là abcde trong đó a  0 và a ; b ; c ; d ; e đôi một khác nhau. Do một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 7 nên ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: a  7 . Do bcde đôi một khác nhau khác a và được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên có A74 cách chọn bcde . Vậy có 1.A74 số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sao cho chữ số đầu tiên bằng 7. Trường hợp 2: b  7 . a  0 Do  và a được chọn từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên a có 6 cách chọn; a  b 3 cde đôi một khác nhau khác a và b và được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên có A6 cách chọn cde . 3 Vậy có 6.A6 số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sao cho chữ số thứ 2 bằng 7. Trường hợp 3: c  7 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ a  0 Do  và a được chọn từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên a có 6 cách chọn; a  c 3 bde đôi một khác nhau khác a và c và được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên có A6 cách chọn bde . 3 Vậy có 6.A6 số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sao cho chữ số thứ 3 bằng 7. 4 3 Vậy có 1.A7  1.2.6. A6 số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 7 được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 10  1  Câu 6. Tìm số hạng đứng giữa của khai triển  5  3 x .  x  Lời giải 10 10  1  1 k Ta có  5 3 x    C10k 10  k .  x . 3  x  k 0  x 5 10 k    1  Do  nên số hạng đứng giữa của khai triển   3 x  là số hạng ứng với k  5 . 0  k  10 5  x  10  1  1 5 Suy ra số hạng đứng giữa của khai triển  5  3 x  là C10 5  x 3  C10 3 x 2 . 5 5  x   x 5 Câu 7. Cô dâu và chú rể mời 4 người bạn đứng thành một hàng để chụp ảnh cùng với mình. Có bao nhiêu cách xếp hàng nếu cô dâu đứng ở phía bên trái chú rể? Lời giải Giả sử vị trí xếp chú rể, cô dâu và 4 người bạn được đánh số là 1 2 3 4 5 6 7. Do cô dâu đứng bên trái chú rể nên chú rể chỉ được đứng ở các vị trí 2 3 4 5 6 7. Giả sử chú rể đứng ở vị trí x với x   2 ; 6  . Khi đó số cách xếp cô dâu sao cho cô dâu luôn đứng bên trái chú rể x  1 và 4 bạn còn lại đảo xếp trong 4 vị trí còn lại. 6 Vậy có 4!.  x  1  360 cách xếp vị trí chú rể, cô dâu và bốn bạn còn lại sao cho cô dâu đứng ở x2 phía bên trái chú rể. Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 hoặc cho 6? Lời giải Gọi số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 là 4k khi đó ta có: k   k      k  0;1;2;3;4;5 ; 6 ; 7 ;8;9 ;10;11;12;...; 25 . 0  4k  100 0  k  25 Vậy có 26 số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4. Gọi số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 6 là 6 p khi đó ta có: k   p    50  p  0;1;2;3;4;5 ; 6 ; 7 ;8;9 ;10;11;12;13 ; 14;15 ; 16 . Vậy có 17 số 0  6 p  100 0  p   3 tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 6. Do số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 và 6 thì chia hết cho 12. Nên gọi số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 và 6 là 12q khi đó ta có: Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO q   q       25  q  0 ;1;2;3;4;5 ; 6 ; 7; 8  . Vậy có 9 số tự nhiên không lớn hơn 0  12q  100  0q  3 100 chia hết cho 6. Vậy có 26  17  9  34 số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 hoặc cho 6. Câu 9. Có bao nhiêu cách xếp các chữ a , b , c , d thành một dãy sao cho chữ b không đi liền sau chữ a ? Lời giải Xếp bốn chữ thành một dãy có 4!  24 cách. Ta đi tìm số cách xếp bốn chữ a, b, c, d thành một dãy sao cho b luôn đi liền sau chữ a Ta coi ab là một nhóm còn 2 chữ số c, d mỗi chữ cái một nhóm. Xếp chỗ cho 3 nhóm này có 3!  6 cách. Vậy có 24  6  18 cách xếp sao cho chữ b không đi liền sau chữ a . Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của nó là số chẵn? Lời giải Gọi số cần tìm là abcdefg Vị trí a có 9 cách chọn. Các vị trí b, c, d , e, f mỗi vị trí có 10 cách chọn Vị trí g TH1: Nếu a  b  c  d  e  f là một số chẵn thì chọn g cũng phải là một số chẵn suy ra có 5 cách chọn g . TH2: Nếu a  b  c  d  e  f là một số lẻ thì chọn g cũng phải là một số lẻ suy ra có 5 cách chọn g . Vậy chọn g có 5 cách chọn. Vậy có 9.105.5 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 11. Từ các chữ số 1, 2 ,3, 4 ,5 . Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng  300;500  ? Lời giải Gọi số cần tìm là abc Chọn a  3; 4 có 2 cách chọn. 2 2 Chọn bc có A4 . Vậy có 2.A4 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 12. Từ các chữ số 1, 3, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác nhau và lớn hơn 6000? Lời giải: + TH1: Xét số có 4 chữ số dạng: abcd Chọn a: 2 cách ( số 6 và 7) 3 Chọn bcd : A4 cách. 3 Có 2A4 số có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 6000. + TH2: Xét số có 5 chữ số dạng: abcde 5 Có 5! = A5 cách chọn abcde 5 Có A5 số có 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 6000. 3 5 Vậy có thể lập 2A4  A5 số tự nhiên có các chữ số khác nhau và lớn hơn 6000. Câu 13. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số mà 3 chữ số sau đều nhỏ hơn 6, còn 2 chữ số đầu không nhỏ hơn 6 trong đó các chữ số đều khác nhau? Lời giải: Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng abcde . ( a  0 ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ + Chọn ab từ 6;7;8;9 có A4 cách. 2 + Chọn cde từ 0;1;2;3; 4;5 có A6 cách. 3 2 3 Vậy có A4 . A6 =1440 số thỏa đề. Câu 14. Cho P  x, y, z  là điểm trong không gian ba chiều với các thành phần tọa độ là các số nguyên có 1 chữ số. Hỏi có bao nhiêu điểm như vậy? Lời giải: Vì P  x, y, z  là điểm trong không gian ba chiều với các thành phần tọa độ là các số nguyên có 1 chữ số. Nên x, y, z được chọn từ 0;1; 2;3;4;5;6;7;8;9 . + Chọn x : 10 cách. + Chọn y : 10 cách. + Chọn z : 10 cách. Vậy có 10.10.10 = 1000 ( điểm P thỏa đề). Câu 15. Trong một ván cờ vua gồm nam và nữ vận động viên, mỗi vận động viên phải chơi hai ván với từng vận động viên còn lại. Cho biết có hai vận động viên nữ và số ván vận động viên nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với vận động viên nữ là 66 . Hỏi có bao nhiêu vận động viên tham dự giải và số ván tất cả các vận động viên đã chơi là bao nhiêu? Lời giải: Gọi tổng số vận động viên là n ( n  *, n  2) . Số vận đông viên nam là n  2 . 2 (n  2)! Số ván các VĐV nam chơi với nhau là: 2.Cn 2 = 2.  (n  2)(n  3) . 2!( n  4)! Số ván các VĐV nam chơi với 2 VĐV nữ là: 2.(n  2).2  4( n  2) .  n  13 Theo đề bài ta có: (n  2)(n  3)  4(n  2)  66    n  4 Mà n  *, n  2  n  13 . 2 Số ván tất cả VĐV chơi là 2.C13  156 Vậy có 13 VĐV và 156 ván. Câu 16. Một tổ có 10 nam và 5 nữ. Cần lập một ban đại diện gồm 4 người. Có bao nhiêu cách lập để có nhiều nhất là 2 nữ? Lời giải 4 TH1: 0 nữ 4 nam có C10 cách chọn. 1 3 TH2: 1 nữ 3 nam có C5C10 cách chọn. TH3: 2 nữ 2 nam có C52C10 cách chọn. 2 Vậy có C10  C5C10  C52C10  1260 cách chọn thỏa đề. 4 1 3 2 Câu 17. Có 3 loại cây và 4 hố trồng cây. Hỏi có mấy cách trồng cây nếu mỗi hố trồng một cây và mỗi loại cây phải có ít nhất một cây được trồng? Lời giải 1 Chọn loại cây trồng trong 2 hố có C3  3 cách. 2 Chọn 2 hố sẽ trồng cùng 1 loại cây có C4  6 cách. 1 Chọn 1 loại cây trồng ở hố tiếp theo có C2  2 cách. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Vậy có 3.6.2  36 cách trồng cây. Câu 18. Trong một ngăn buồng trên xe lửa có hai dãy ghế đối mặt nhau, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi có đánh số. Trong số 10 hành khách vào ngăn đó có 4 người muốn quay mặt về hướng tàu đi, 3 người muốn quay về hướng ngược lại. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho các yếu tố đó được thỏa mãn? Lời giải Xếp 4 người ngồi quay mặt về hướng tàu đi có A54 cách. 3 Xếp 3 người ngồi quay về hướng ngược lại có A5 cách. Xếp 3 người còn lại vào các vị trị còn lại có 3! cách. Vậy có A54 A5 3!  43200 cách sắp xếp chỗ ngồi thỏa mãn các yếu tố được đưa ra. 3 n  3 x Câu 19. Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức  x 2 x   bằng 36. Hãy tìm số  x    hạng thứ 7. Lời giải k 3x n k Số hạng tổng quát của khai triển C . x x .  n   x  ,  n, k  , 2  n  k 2    Vì hệ số của số hạng thứ 3 bằng 36 nên ta được 2 n! n  9  N  Cn  36   36  n  n  1  72   2! n  2  !  n  8  L  6 3x 3 Vậy số hạng thứ 7 là C . x 6 9  2  x . 3  x   84 x x .    40  1  Câu 20. Tìm hệ số của x 31 trong khai triển f  x    x  2  .  x  Lời giải k 40  k k 40  k  1  k x 0  k  40 Số hạng tổng quát: C .x 40 .  2   C40 . 2 k  C40 .x 403k với  k x  x k   Số hạng này chứa x 31 khi 40  3k  31  k  3 (thỏa mãn) Hệ số của số hạng chứa x 31 là C40 . 3 6  4  Câu 21. Tìm số nguyên dương x sao cho số hạng thứ 5 của khai triển  4  x  2 x 21  bằng 240.  4  Lời giải Số hàng thứ 5 của khai triển là 2 2 2 4    1  4  1 41x  4  1 1   1  4 4 4  4  4 4.1 4 x  4 x 4 6  4  C .  4  x  . 2 x 2 1   C . 14 6  4 x   4 .  2.2 x   C6 .  4         .  2 x   C64 .2     8  .2  C64 .2 4 x x 4  4 4 4 4 4 8  4 x x 8  4 x x 4 4 4 4 Theo giả thiết: C6 .2  240  2  16  8   4  4  0 4 x x 4 x x  4 x  16  4 x  4 x  4  x   0  4 x 2  16 x  16  0  x  2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x  1  Câu 22. Tìm số nguyên dương x cho biết trong khai triển  3 2  3  tỉ số của hạng tử thứ 7 kể từ hạng  3 1 tử đầu và hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử cuối bằng . 6 Lời giải x x 3 1   1 1   2   23  3 3     3  3   Điều kiện x  6, x  * Ta có: 1 x 6 6 6   1  Cx  2 3   3 3  1 x 12 1 12  x x 12 x 12 x12      1   23  . 3 3  1  1 3  1 3 1  1 1 3 3 1 6 x6        2  . 3     2 .3    1   1  6     6     6   6 C xx 6  2 3   3 3      x 12  1 1 x 12 x  12 3  6    6 3  61   1  x  9 (nhận)   6 3 Vậy x  9 . Câu 23. Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ. Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn nếu trong tổ phải có cả nam lẫn nữ. Lời giải 6 Số cách chọn 6 người tùy ý: C14  3003 Số cách chọn 6 người chỉ có nam hoặc chỉ có nữ: C6  C86  29 6 Số cách chọn 6 người có cả nam lẫn nữ: 3003  29  2974 . n 1 1 1 2 0 Câu 24. Tính tổng S  C  Cn  Cn  ...   1  C n n 2 3 n1 n Lời giải 1 k 1 k 1 Ta chứng minh công thức Cn  Cn 1 với k , n là các số tự nhiên và k  n . k 1 n 1 Ta có 1 k Cn  1 . n!   n  1!  1 k Cn 11 . k 1 k  1 k !.  n  k  !  n  1 .  n  1   k  1  !.  k  1 ! n  1   Áp dụng công thức trên ta được n 1 1 1 2 0 S  C  Cn  Cn  ...   1 C n n n 2 3 n 1 n = 1 1 Cn 1  1 2 Cn 1  1 3 Cn 1  1 Cn41  ...   1 C n1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1  1 n = C  Cn1  Cn1  Cn 1  ...   1 Cn 1  2 3 4 n 1 n 1  n 1  Ta tính Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO 1 2 3 4 n n 1 T C n 1 C n 1 C n 1 C n 1  ...   1 C n 1 1 2 3 4 n 1 n 1  T  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  ...   1 Cn 1 0 1 2 3 4 n 1 n 1  1  T  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn1  Cn 1  ...   1 Cn 1  1 T  0  T  1. 1 Vậy S  . n 1 Câu 25. Trên mặt phẳng cho 10 điểm, trong đó có 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có bất cứ ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh tại các điểm đã cho? Lời giải 3 Số cách chọn 3 điểm từ 10 điểm là C10 . 3 Số cách chọn 3 điểm từ 4 điểm thẳng hàng là C4 . 3 3 Số tam giác có đỉnh là 3 trong các điểm trên là C10  C4 . Câu 26. Từ một nhóm có 10 nam và 5 nữ trong đó có cậu A và cô B , người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn nếu cậu A và cô B từ chối tham gia? Lời giải Trong nhóm có cậu A và cô B từ chối tham gia nên nhóm còn lại 9 nam và 4 nữ. Số cách họn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ xảy ra các trường hợp sau: TH1: Chọn ra 2 nam và 3 nữ có C92C4 cách chọn. 3 3 2 TH2: Chọn ra 3 nam và 2 nữ có C9 C4 cách chọn. Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là C92C4  C9 C4 cách chọn. 3 3 2 Câu 27. Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm. Có bao nhiêu chuỗi gồm 6 kí tự trong đó có 3 phụ âm và 3 nguyên âm khác nhau sao cho trong các chữ đó chứa q và v ? Lời giải Để chọn chuỗi gồm 6 kí tự trong đó có 3 phụ âm và 3 nguyên âm khác nhau sao cho trong các chữ đó chứa q và v ta thực hiện các bước sau: 3 Chọn 3 nguyên âm từ 5 nguyên âm có C5 cách chọn. 1 Chọn 1 phụ âm ( trừ q và v ) từ 19 phụ âm có C19 cách chọn. Hoán vị 6 kí tự có 6! . 3 1 Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là C5 .C19 .6! . Câu 28. Có 90 phiếu được đánh số từ 1 đến 90. Tính số cách rút ra 5 phiếu cùng một lúc sao cho có ít nhất 2 phiếu có số thứ tự là hai số liên tiếp. Lời giải Giả sử các phiếu được chọn có số thứ tự là a1 , a2 , a3 , a4 , a5 và 1  a1  a2  a3  a4  a5  90 . Ta xét trường hợp không tồn tại hai phiếu nào có số thứ tự là hai số liên tiếp. Mỗi trường hợp như vậy tương ứng với bộ  a1 , a2 , a3 , a4 , a5  thỏa mãn Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 1  a1  a2  a3  a4  a5  90 và ai 1  ai  2, i  1, 4 1 . Đặt b1  a1 , b2  a2  1, b3  a3  2, b4  a4  3, b5  a5  4 , ta có 1  b1  b 2  b3  b4  b5  86 và bi 1  bi  2, i  1, 4  2 . Ta thấy số cách chọn bộ  a1 , a2 , a3 , a4 , a5  thỏa mãn 1 bằng số cách chọn bộ 5 5 5  b1 , b2 , b3 , b4 , b5  thỏa mãn  2  và bằng C86 . Vậy có C90  C86 cách rút phiếu. Câu 29. Có bao nhiêu cách chia 3 thầy giáo dạy toán vào 6 lớp 12, mỗi thầy dạy đúng 2 lớp? Lời giải 2 2 Thầy giáo thứ nhất có C6 cách chọn lớp, thầy giáo thứ nhất có C4 cách chọn 2 trong ách chọn 2 2 2 lớp còn lại. Vậy có tất cả C6 C4 cách chia lớp. Câu 30. Cho P  x, y, z  là điểm trong không gian ba chiều với các tọa độ là số tự nhiên chỉ có một chữ số. Hỏi có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất bao nhiêu điểm như vậy sao cho không có bất cứ hai điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục Ox ? Lời giải Hai điểm  x1 , y1 , z1  và  x2 , y2 , z2  không cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với Ox khi x1  x2 . Vậy mỗi hệ có nhiều nhất 10 điểm. Câu 31. Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M . Trên a lấy 9 điểm phân biệt khác M , trên b lấy 10 điểm phân biệt khác M . Hỏi từ 20 điểm đã cho lập được bao nhiêu tam giác? Lời giải 3 3 3 Có C20 cách chọn 3 điểm trong 20 điểm đã cho, có C10 cách chọn 3 điểm trên a , có C11 cách 3 3 3 chọn 3 điểm trên b . Suy ra lập được C20  C10  C11 tam giác. Câu 32. Ba bạn A, B, C cùng đến nhà D mượn sách. Bạn D có 9 quyển sách khác nhau, trong đó có 8 quyển sách học và một cuốn tiểu thuyết. Bạn B mượn 2 quyển, Cmuốn mượn 3 quyển. Bạn A mượn hai quyển trong đó có một cuốn tiểu thuyết. Hỏi bạn D có bao nhiêu cách cho mượn? Lời giải 1 Bước 1: Cho bạn A mượn 2 quyển trong đó có 1 cuốn tiểu thuyết: 1. C8 cách 2 Bước 2: Cho bạn B mượn 2 quyển: C7 cách 3 Bước 3: Cho bạn C mượn 3 quyển: C5 cách Vậy bạn D có: C8C72C53 cách cho mượn 1 Câu 33. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất lấy 10 điểm. Trên đường thẳng thứ 2 lấy 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho? Lời giải 1 2 Lấy 1 điểm trên đường thẳng thứ nhất và 2 điểm trên đường thẳng thứ 2 có: C10 .C20 tam giác 2 1 Lấy 2 điểm trên đường thẳng thứ nhất và 1 trên đường thẳng thứ hai có: C10 .C 20 tam giác 1 2 2 1 Vậy tổng cộng ta có C10 .C 20 + C10 .C20 tam giác Câu 34. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đội một khác nhau trong đó có hai chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau? Lời giải - Đếm các số có 5 chữ số khác nhau abcde tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Bước 1: Chọn a có 5 cách Bước 2: Điền 5 chữ số vào bcde có A54 cách Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Suy ra có 5. A54  600 số có 5 chữ số khác nhau. - Đếm các số có 5 chữ số khác nhau abcde mà chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau. Coi chữ số 3, 4 là chữ số M. TH1: Đếm các số có 4 chữ số khác nhau abcd bất kì, có mặt chữ số M Bước 1: Điền chữ số M có 4 cách 3 Bước 2: Điền 4 chữ số còn lại khác M vào 3 vị trí có A4 cách Bước 3: Đảo vị trí chữ số 3, 4 trong M có 2 cách 3 Suy ra có 4. A4 .2  192 số TH2: Đếm các số có 4 chữ số khác nhau 0bcd bất kì, có mặt chữ số M Bước 1: Điền chữ số M có 3 cách Bước 2: Điền 3 chữ số còn lại khác M vào 2 vị trí có A32 cách Bước 3: Đảo vị trí chữ số 3,4 trong M có 2 cách Suy ra có 3. A32 .2  36 số Vậy số các số có 5 chữ số khác nhau abcde mà chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau 192  36  156 Vậy số các số có 5 chữ số khác nhau abcde mà chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau 600  156  444 . Câu 35. Cho các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt chữ số 4 và chữ số hàng nghìn là 5? Lời giải Gọi số cần tìm là 5bcd Bước 1: Điền chữ số 4 có 3 cách Bước 2: Điền 4 chữ số còn lại vào 2 vị trí có A42 cách. 2 Vậy số các số cần tìm là 3A4 Câu 36. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và một trong hai chữ số đầu tiên là 7? Lời giải TH1 : Chữ số cuối là chữ số 0 Chọn vị trí cho số 7 có 2 cách và lấy 2 trong 4 chữ số còn lại sắp vào 2 vị trí còn lại số cách là 4.3= 12 suy ra TH1 có 2.12= 24 số TH2 : Chữ số cuối là chữ số 2 hoặc 6 và chữ số đầu là 7 Chọn chữ số cuối có 2 cách, hai chữ số đứng giữa có 4.3= 12 cách suy ra TH2 có 2.12= 24 số TH3 : Chữ số cuối là chữ số 2 hoặc 6 và chữ số đứng thứ hai là 7 Chọn chữ số cuối có 2 cách, chọn chữ số đứng đầu có 3 cách, chọn chữ số đứng thứ 3 có 3 cách suy ra TH3 có 2.3.3 = 18 số. Vậy có 24 +24 + 18 = 66 số. Câu 37. Có bao nhiêu tham người gia vào cuộc đấu cờ theo thể thức vòng tròn một lượt, biết rằng cuộc đấu có tất cả 84 ván và có hai người bỏ cuộc sau khi mỗi người đã đấu đúng ba ván? Lời giải Giả sử số người tham gia là n (n  , n  2) suy ra số ván cờ khi 2 người bỏ cuộc là Cn  2 . Do 2 2 trước khi 2 người bỏ cuộc đã chơi được 2.3 = 6 ván nên số ván cờ thực tế là Cn2 + 6 = 84 (theo gt của đề bài), giải phương trình này được n =15 . Câu 38. Có 10 đường thẳng, trong đó có 4 đường thẳng song song với nhau và không có bất cứ 3 đường thẳng nào đồng quy, hỏi chúng cắt nhau tại bao nhiêu điểm? Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Giả sử các đường thẳng đôi một cắt nhau và không có bất cứ 3 đường nào đồng quy thì số giao 2 điểm là C10 . Do có 4 đường thẳng trong số 10 đường thẳng song song nên số giao điểm thức tế là 2 2 C10  C4  39 . Câu 39. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 . Tính tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các số trên. Lời giải Do ở các hàng thứ nhất, hai, ba, tư và năm các chữ số 1,2,3,4,5 đều xuất hiện 4 ! số nên suy ra tổng các số cần tìm là :  (1  2  3  4  5).104  (1  2  3  4  5).103  (1  2  3  4  5).102    .4!  3999960.  (1  2  3  4  5).10  (1  2  3  4  5)  Câu 40. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục phải làm việc chung mới chịu? Lời giải Cả cậu Huy và cô Thục đều nằm trong ban cán sự. Ta chọn thêm 3 người làm cán sự (trong 49 3 3 người còn lại) có C49 cách. Vậy số cách bầu được ban cán sự theo yêu cầu là C49 cách. Câu 41. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục không thể làm chung với nhau? Lời giải 5 Số cách bầu ban cán sự gồm 5 người bất kì trong 51 người là C51 cách. 3 Số cách bầu ban cán sự mà cậu Huy và cô Thục làm việc chung là C49 cách. Số cách bầu ban cán sự gồm 5 người mà cậu Huy và cô Thục không thể làm chung với nhau là 5 3 C51  C49 cách. Câu 42. Trong mặt phẳng cho 5 điểm. Giả sử trong các đường thẳng nối từng cặp điểm trong 5 điểm này không có cặp đường thẳng song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta kẻ các đường thẳng vuông góc với tất cả những đường thẳng có thể dựng được bằng cách nối từng cặp điểm trong 4 điểm còn lại. Tìm số giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó, không kể 5 điểm đã cho, nhiều nhất là bao nhiêu? Lời giải Đường thẳng cần dựng là đường thẳng đi qua 2 điểm nên có C52  10 đường thẳng. 1 Qua mỗi điểm A chẳng hạn, có C4  4 đường thẳng. Do đó có 6 đường thẳng không đi qua A . Vậy từ A có C52  C4  6 đường thẳng vuông góc. 1 Xét hai điểm bất kì B  A . Các đường thẳng vuông góc từ B xuống các đường thẳng đi qua A cắt tất cả các đường thẳng vuông góc hạ từ A . Có 3 đường thẳng qua A mà không qua B . Vậy từ B ta hạ được 3 đường thẳng vuông goc với 3 đường thẳng đó. Ba đường thẳng vuông góc này cắt 6 đường vuông góc hạ từ A tại 3.6  18 điểm. Hạ từ B còn có ba đường vuông góc nữa, mỗi đường này sẽ cắt 5 đường vuông góc hạ từ A ( nó song song với một đường còn lại). Vậy có 3.5  15 giao điểm. Vậy có tổng cộng 10. 18  15  330 giao điểm. Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Nhưng cứ mỗi 3 giao điểm lại tạo thành một tam giác mà 3 đường cao của nó là 3 đường vuông góc đã xét. Vậy các trực tâm của các tam giác này được kể 3 lần. Số các tam giác được tạo thành 3 là C5  10 . Vậy số giao điểm nhiều nhất có thể là 330  10  320 . 28 n    Câu 43. Trong khai triển nhị thức  x 3 x  x 15  . Hãy tìm số hạng không phụ thuộc x , biết rằng   n n 1 n2 Cn  Cn  Cn  79 . Lời giải Điều kiện: n   * n(n  1) n n n Ta có Cn  Cn 1  Cn 2  79  1  n   79  n  12  tm  2 28 12 28    12 k 4 12  k  15 k 12 k 48 16  k Xét khai triển  x 3 x  x 15    C12  x  3 x  C12  x  15 .   k 0 k 0 48 Số hạng không phụ thuộc vào x ứng với k thỏa mãn 16  k  0  k  5. 15 5 Vậy số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển trên là C12  792 . 12  x 3 Câu 44. Trong khai triển nhị thức    . Tìm hạng tử độc lập với x ? 3 x Lời giải Khai triển theo nhị thức Niu tơn ta có: 12 12 12  k k 12  x 3 k  x 3      C12 .   .     C12 .32 k 12.x122 k k (k  , k  12) . 3 x k 0 3  x  k 0 Ta có số hạng tổng quát: Tk 1  C12 .32 k 12.x12 2 k với (k  , k  12) . k Hạng tử độc lập với x ứng với 12  2k  0  k  6 (thỏa mãn). 6 Vậy hạng tử không chứa x là T7  C12 1 2 3 4 n 1 n Câu 45. Tính A  Cn  2Cn  3Cn  4Cn  ...   1 Cn . Lời giải k n! n! n.  n  1 !  n  1!  n.C k 1 . Ta có: kCn  k .    n. n 1  n  k !.k !  n  k !.  k  1!  n  k !.  k  1!  n  k !.  k  1 ! Thay vào biểu thức A ta có: 1 2 3 4 n 1 A  Cn  2Cn  3Cn  4Cn  ...   1 Cnn 0 1 2 3 n 1 n 1  nCn 1  nCn 1  nCn 1  nCn 1  ...   1 nCn 1 n 1  n Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn 1  ...   1 0 1 2 3 Cn 1  n 1   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ n 1  n 1  1 0. 10 1 2  Câu 46. Cho khai triển nhị thức   x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a10 x10 . Tìm số hạng ak lớn nhất. 3 3  Lời giải Khai triển theo nhị thức Niu tơn ta có: 10 10 10  k k 10 k 1 2  k 1 2  k 2   x    C10 .   .  x    C10 . 10 .x k với (k  , k  10) . 3 3  k 0 3  3  k 0 3 k 2k Ta có: ak  C10 . 310 2k 1 k 2 k 10! 10! k Xét ak 1  ak  C101. 10 k k  C10 . 10  2C101  C10  2.  3 3  9  k !.  k  1! 10  k !.k ! 2 1 19    20  2 k  k  1  k  . k  1 10  k 3  a0  a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7 .(1) 2 k 1 k 2 k 10! 10! k Xét ak 1  ak  C101. 10 k k  C10 . 10  2C101  C10  2.  3 3  9  k !.  k  1! 10  k !.k ! 2 1 19    20  2k  k  1  k  k  1 10  k 3  a7  a8  a9  a10 .(2) 27 7 Từ (1) và (2) ta có số hạng a7  .C10 là số hạng lớn nhất. 310 Câu 47. Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam. Lời giải 5 + Số cách chon ra 5 người mà không có nam là C6 . + Số cách chọ ra 5 người mà có 1 nam và 4 nữ là C64 .C4 . 1 + Vậy số cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam là C64C4  C6  C62C4  C6 . 1 5 1 5 26 0 25 1 2 4 2 23 3 2 2 4 2 5 1 6 S C6  C6  C6  C6  C6  C6  C6 Câu 48. Tính tổng 1 2 3 4 5 6 7 . Lời giải + Một cách tổng quát, ta 1 k 1 n! n! 1 (n  1)! 1 có Cn    .  k Cn 11 . k 1 k  1 (n  k )!k ! (n  k )!(k  1)! n  1 ((n  1)  (k  1))!(k  1)! n  1 26 0 25 1 2 4 2 23 3 2 2 4 2 5 1 6 + Do đó S  C6  C6  C6  C6  C6  C6  C6 1 2 3 4 5 6 7 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.