zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi Tốt nghiệp THPT

Toán 10 (Cánh diều) - Ôn tập chương 6: Thống kê - xác suất

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Báo xấu

3
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán 10 (Cánh diều) – Ôn tập chương 6: Thống kê – xác suất" được biên soạn để hỗ trợ học sinh ôn luyện kiến thức về dữ liệu thống kê và tính xác suất đơn giản. Tài liệu gồm phần lý thuyết dễ hiểu, bảng công thức, bài tập đa dạng và lời giải chi tiết. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán 10 (Cánh diều) - Ôn tập chương 6: Thống kê - xác suất

TOÁN 10-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489 ÔN TẬP CHƯƠNG 6. MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN 1. LÝ THUYẾT – VÍ DỤ Chương 6. MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT BÀI 1. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Sai số của số gần đúng 1. Sai số tuyệt đối Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì  a | a  a | được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a . 2. Độ chính xác của một số gần đúng Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d nếu  a | a  a | d và quy ước viết gọn là a  a  d . 3. Sai số tương đối  Tỉ số  a  a được gọi là sai số tương đối của số gần đúng a . |a| II. Số quy tròn. Quy tròn số đúng và số gần đúng 1. Số quy tròn Khi quy tròn một số nguyên hoặc một số thập phân đến một hàng nào đó thì số nhận được gọi là số quy tròn của số ban đầu. 2. Quy tròn số đến một hàng cho trước - Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0 . - Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn. Nhận xét: Ta có thể lấy độ chính xác của số quy tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn. 3. Quy tròn số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước Quy ước: Cho a là số gần đúng với độ chính xác d . Giả sử a là số nguyên hoặc số thập phân. Khi được yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn số a đến hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó. B. VÍ DỤ Vấn đề 1. Xác định sai số tuyệt đối, độ chính xác, sai số tương đối của số gần đúng Ví dụ 1. Theo Quyết định số 648/QĐ-BCT ngày 20/3/2019 của Bộ Công Thương, giá bán lẻ điện sinh hoạt từ ngày 20/3/2019 sẽ dao động trong khoảng từ 1678 đồng đến 2927 đồng mỗi kWh tuỳ bậc thang. Dưới đây là bảng giá bán lẻ điện sinh hoạt (chưa bao gồm thuế VAT): Mức sử dụng điện trong tháng (kWh) Đơn giá (dồng/kWh) - Bậc 1: Cho kWh từ 0  50 1678 - Bậc 2: Cho kWh từ 51  100 1734 - Bậc 3: Cho kWh từ 101  200 2014 - Bậc 4: Cho kWh từ 201 - 300 2536 - Bậc 5: Cho kWh từ 301 - 400 2834 - Bậc 6: Cho kWh từ 401  500 2927 Biết rằng, nhà bạn Hoa sử dụng điện trong tháng 3 hết 347kWh . a) Nhà bạn Hoa phải trả bao nhiêu tiền điện (bao gồm thuế VAT)? b) Bạn Hoa nói rằng nhà bạn phải trả số tiền điện là 759000 đồng, còn em của bạn Hoa nói rằng phải trả số tiền điện là 758800 đồng. Ai nói chính xác hơn? Giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ a) Số tiền điện nhà bạn Hoa phải trả là: 50.1678  50.1734  100.2014  100.2536  47.2834  758798 (đồng). b) Gọi T1 , T2 lần lượt là sai số tuyệt đối của 759000 và 758800 so với số đúng 758798 . Ta có: T | 758798  759000 | 202, T | 758798  758800 | 2. 1 2 Vì T1  202  2  T2 nên em của bạn Hoa nói chính xác hơn. Ví dụ 2. Một chiếc ti vi có màn hình dạng hình chữ nhật với độ dài đường chéo là 32 in, tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của màn hình là 16 : 9 . Tìm một giá trị gần đúng (theo đơn vị inch) của chiều dài màn hình ti vi và tìm độ chính xác, sai số tương đối của số gần đúng đó. Giải Gọi chiều dài của màn hình ti vi là x (in) với x  0 . 9x Khi đó, chiều rộng màn hình ti vi là (in). 16 2  9x  262144 Theo định lí Pythagore, ta có: x     322  337 x 2  262144  x  2  27,89041719  16  337 Nếu lấy giá trị gần đúng của x là 27,9 ta có: 27,89  x  27, 9 . Suy ra  27,9 | x  27,9 || 27,89  27, 9 | 0, 01 . Vậy chiều dài màn hình ti vi xấp xỉ 27,9 in và độ chính xác của kết quả tìm được là 0,01 in, hay x  27, 9  0, 01 (in).  0,01 Theo đó, ta ước lượng sai số tương đối của 27,9 là:  27,9  27,9   0, 036%. | 27,9 | 27,9 Vấn đề 2 . Xác định độ chính xác của số quy tròn và quy tròn số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước Ví dụ 3. Quy tròn số - 52,3649 đến hàng phần trăm. Số gần đúng nhận được có độ chính xác là bao nhiêu? Giải Khi quy tròn số 52, 3649 đến hàng phần trăm ta được số 52, 36 . Vì hàng quy tròn là hàng phần trăm nên ta có thể lấy độ chính xác của 52, 36 là 0,005 . Ví dụ 4. Viết số quy tròn của mỗi số gần đúng sau với độ chính xác d : a) 893,275846 với d  0, 007 ; b) 12, 9674507 với d  0, 0005 . Giải a) Do 0, 001  d  0, 007  0, 01 nên hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần trăm. Vì thế, ta quy tròn số 893,275846 đến hàng phần trăm. Vậy số quy tròn của 893,275846 là 893,28 . b) Do 0, 0001  d  0, 0005  0, 001 nên hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần nghìn. Vì thế, ta quy tròn số - 12,9674507 đến hàng phần nghìn. Vậy số quy tròn của 12, 9674507 là - 12,967. Bài 2. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CHO MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Số trung bình cộng (số trung bình) x1  x2   xn Số trung bình cộng x của mẫu n số liệu x1 , x2 , , xn là x  . n Ngoài ra, số trung bình cộng có thể tính theo các công thức sau: n x  n x  nk xk - x 1 1 2 2 , trong đó, n1 , n2 ,, nk lần lượt là tần số của các số liệu x1 , x2 ,, xk và n n  n1  n2  nk . - x  f1 x1  f 2 x2  f k xk , trong đó, f1 , f 2 , , f k lần lượt là tần số tương đối của các số liệu x1 , x2 ,, xk . 2. Trung vị Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm (hoặc không tăng). Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU n 1 - Nếu n là số lẻ thì số liệu đứng ở vị trí thứ (số đứng chính giữa) gọi là trung vị. 2 n n - Nếu n là số chẵn thì số trung bình cộng của hai số liệu đứng ở vị trí thứ và  1 gọi là trung vị. 2 2 Trung vị kí hiệu là M e . 3. Tứ phân vị Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm. Tú phân vị của mẫu số liệu trên là bộ ba giá trị: tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ hai và tứ phân vị thứ ba; ba giá trị này chia mẫu số liệu thành bốn phần có số lượng phần tử bằng nhau. - Tứ phân vị thứ hai Q2 bằng trung vị. - Nếu n là số chẵn thì tứ phân vị thứ nhất Q1 bằng trung vị của nửa dãy phía dưới và tứ phân vị thứ ba Q3 bằng trung vị của nửa dãy phía trên. - Nếu n là số lẻ thì tứ phân vị thứ nhất Q1 bằng trung vị của nửa dãy phía dưới (không bao gồm Q2 ) và tứ phân vị thứ ba Q3 bằng trung vị của nửa dãy phía trên (không bao gồm Q2 ). 4. Mốt Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng phân bố tần số và kí hiệu là M 0 . Chú ý: Một mẫu số liệu có thể có một hoặc nhiều mốt. B. VÍ DỤ Vấn đề 1 . Xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu Ví dụ 1. Bốn bạn Bình, Cường, Hoa, Kiên cùng thi vào trường phổ thông chất lượng cao Bình Minh. Kết quả thi được cho bởi bảng thống kê sau: Học sinh Điểm Toán Điểm Ngũ Văn Điểm Tiếng Anh Bình 10 8 9 Cường 6 7 5 Hoa 10 10 4 Kiên 9 5 10 Tính điểm trung bình kết quả thi 3 môn Toán, Ngũ̃ Văn, Tiếng Anh của mỗi bạn và cho biết bạn nào trúng tuyển. Biết rằng, nếu muốn trúng tuyển, điểm trung bình các môn thi ở trên phải lớn hơn hoặc bằng 8 và không môn nào dưới 5 điểm. Giải Điểm trung bình kết quả thi của các bạn Bình, Cường, Hoa, Kiên lần lượt là: 10  8  9 675 xB   9, xC   6, 3 3 10  10  4 9  5  10 xH   8, xK   8. 3 3 Dựa vào các số liệu trên, ta thấy bạn Bình và bạn Kiên trúng tuyển. Vấn đề 2. Xác định trung vị của mẫu số liệu Ví dụ 2. Đầu năm học, nhà trường cho học sinh khám sức khỏe. Mẫu số liệu thống kê kết quả đo cân nặng (đơn vị: ki-lô-gam) của 7 bạn nam đầu tiên như sau: 64 58 62,1 55 67 61 60,5 Trung vị của mẫu số liệu trên là bao nhiêu? Giải Sắp xếp các số liệu của mẫu trên theo thứ tự không giảm: 55 58 60,5 61 62,1 64 67 Mẫu số liệu trên có 7 số. Số thứ tư là 61 . Vì vậy M e  61( kg ) . Ví dụ 3. Mẫu số liệu thống kê chiều cao (đơn vị: xăng-ti-mét) của 10 bạn tổ I lớp 10A như sau: 164 156 170 168 158 173 167 161 157 174 Trung vị của mẫu số liệu trên là bao nhiêu? Giải Sắp xếp các số liệu của mẫu trên theo thứ tự không giảm: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 156 157 158 161 164 167 168 170 173 174 Mẫu số liệu trên có 10 số. Số thứ năm và số thứ sáu lần lượt là 164 và 167 . 164  167 Vì vậy M e   165,5( cm) . 2 Vấn đề 3. Xác định tứ phân vị của mẫu số liệu Ví dụ 4. Mẫu số liệu thống kê số cân nặng (đơn vị: ki-lô-gam) tăng thêm của 7 trẻ sơ sinh trong ba tháng đầu tiên như sau: 0,9 1, 0 1,1 1,14 1,18 1, 2 1,3 Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là bao nhiêu? Giải Mẫu số liệu trên đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Trung vị của mẫu số liệu trên là 1,14 . Trung vị của dãy 0, 9;1, 0;1,1 là 1,0 . Trung vị của dãy 1, 18;1, 2;1, 3 là 1,2 . Vậy Q1  1, 0; Q2  1,14; Q3  1, 2 . Ví dụ 5. Mẫu số liệu thống kê thời gian (đơn vị: phút) đọc hết một cuốn sách của 9 bạn tổ I lớp 10A như sau: 102 130 118 127 115 138 121 109 132 Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là bao nhiêu? Giải Sắp xếp các số liệu của mẫu trên theo thứ tự không giảm: 102 109 115 118 121 127 130 132 138 Trung vị của mẫu số liệu trên là 121 . 109  115 Trung vị của dãy 102, 109, 115, 118 1à:  112 . 2 130  132 Trung vị của dãy 127, 130, 132, 138 là:  131 . 2 Vậy Q1  112, Q2  121, Q3  131 . Vấn đề 4. Xác định mốt của mẫu số liệu Ví dụ 6. Một cửa hàng bán giày thống kê số đôi giày bán được trong Quý III năm 2020 như sau: Cỡ giày 37 38 39 40 41 42 43 44 Số đôi giày bán được (Tần số) 41 49 50 71 53 46 27 5 a) Mốt trong bảng tần số thống kê số giày bán ra trong Quý III năm 2020 của cửa hàng trên là bao nhiêu? b) Cửa hàng đó nên nhập về nhiều hơn cỡ giày nào để bán tiếp? Giải a) Vì tần số lớn nhất là 71 và 71 tương ứng với cỡ giày 40 nên mốt của bảng trên là 40 . b) Cửa hàng nên nhập về nhiều hơn cỡ giày 40 để bán tiếp. BÀI 3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CHO MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Khoảng biến thiên. Khoảng tứ phân vị - Trong một mẫu số liệu, khoảng biến thiên là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó. Ta có thể tính khoảng biến thiên R của mẫu số liệu theo công thức sau: R  xmax  xmin trong đó xmax là giá trị lớn nhất, xmin là giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó. - Giả sử Q1 , Q2 , Q3 là tứ phân vị của mẫu số liệu. Ta gọi hiệu Q  Q3  Q1 là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó. 2. Phương sai Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU Cho mẫu số liệu thống kê có n giá trị x1 , x2 ,, xn và số trung bình cộng là x . Ta gọi số 2 2 2 s2   x1  x    x2  x    xn  x  là phương sai của mẫu số liệu trên. n Ngoài ra, phương sai có thể tính theo các công thức sau: 2 2 2 2 n1  x1  x   n2  x2  x   nk  xk  x  - s  , trong đó, n1 , n2 ,, nk lần lượt là tần số của các số liệu n x1 , x2 ,, xk và n  n1  n2  nk . 2 2 2 - s 2  f1  x1  x   f 2  x2  x   f k  xk  x  , trong đó, f1 , f 2 ,, f k lần lượt là tần số tương đối của các số liệu x1 , x2 ,, xk . 3. Độ lệch chuẩn Căn bậc hai (số học) của phương sai gọi là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê. 4. Tính hợp lí của số liệu thống kê Ta có thể sử dụng khoảng tứ phân vị để xác định số liệu bất thường của mẫu số liệu như sau: Giả sử Q1 , Q2 , Q3 là tứ phân vị của mẫu số liệu và hiệu Q  Q3  Q1 là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu 3 đó. Một giá trị trong mẫu số liệu được coi là một giá trị bất thường nếu nó nhỏ hơn Q1  Q hoặc lớn hơn 2 3 Q3  Q . 2 B. VÍ DỤ Vấn đề 1. Xác định khoảng biến thiên của mẫu số liệu Ví dụ 1. Mẫu số liệu thống kê tiền lương (đơn vị: triệu đồng/tháng) của 8 cán bộ trong một tổ của công ty là: 8 8,5 10 9 10,5 9,5 11 12 Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên. Giải Trong mẫu số liệu trên, số lớn nhất là 12 và số nhỏ nhất là 8 . Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: R  xmax  xmin  12  8  4 (triệu đồng/tháng). Vấn đề 2 . Xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu Ví dụ 2. Mẫu số liệu thống kê chiều cao (đơn vị: mét) của 12 cây thông là: 30,5 31 30,1 33, 2 30,7 34,8 35 34,5 31,6 32,8 31,5 34,9 Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên. Giải Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được: 30,1 30,5 30,7 31 31,5 31,6 32,8 33,2 34,5 34,8 34,9 35 31, 6  32,8 Trung vị của mẫu số liệu trên là:  32, 2 . 2 30, 7  31 Trung vị của dãy 30, 1;30, 5;30, 7;31;31, 5;31, 6 là:  30,85 . 2 34,5  34,8 Trung vị của dãy 32, 8;33, 2;34, 5;34,8;34, 9;35 là:  34, 65 . 2 Vậy Q1  30,85, Q2  32, 2, Q3  34, 65 . Do đó khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:  Q  Q3  Q1  34, 65  30,85  3,8( m) . Vấn đề 3. Xác định phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu Ví dụ 3. Kết quả 5 lần nhảy xa (đơn vị: mét) của bạn Huy và bạn Tùng cho ở bảng sau: Huy 2,2 2,5 2,4 2,6 2,3 Tùng 2,0 2,8 2,5 2,4 2,3 a) Kết quả trung bình của hai bạn có bằng nhau hay không? b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần nhảy xa của mỗi bạn. Từ đó cho biết bạn nào có kết quả nhảy xa ổn định hơn? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Giải a) Gọi kết quả trung bình của bạn Huy và bạn Tùng lần lượt là xH , xT . Ta có: 2,2  2,5  2,4  2,6  2,3 xH  m  2, 4( ) 5 2,0  2,8  2,5  2, 4  2,3 xT  m  2, 4( ) 5 Vậy kết quả trung bình của hai bạn bằng nhau. b) Gọi phương sai tương ứng với mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần nhảy của Huy và Tùng lần lượt là: 2 2 sH , sT . Ta có: 2 (2,2  2, 4)2  (2,5  2,4)2  (2, 4  2, 4)2  (2,6  2, 4)2  (2,3  2, 4)2 sH   0, 02; 5 2 (2,0  2, 4)2  (2,8  2,4)2  (2,5  2,4)2  (2, 4  2, 4)2  (2,3  2, 4)2 sT   0, 068. 5 Ta cũng có độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần nhảy của Huy và Tùng lần lượt là: 2 2 sH  sH  0, 02( ); m sT  sT  0,068( ). m 2 2 Do sH  0, 02  sT  0, 068 nên bạn Huy có kết quả nhảy xa ổn định hơn bạn Tùng. Vấn đề 4. Xác định giá trị bất thường của mẫu số liệu Ví dụ 4. Nêu các giá trị bất thường của mẫu số liệu thống kê sau: 0 1 13 16 17 18 19 20 21 22 23 24 28 37 38 Giải Mẫu số liệu trên có tứ phân vị là Q1  16; Q2  20; Q3  24 . Suy ra  Q  Q3  Q1  24  16  8. 3 3 3 3 Các giá trị 0,1 (nhỏ hơn Q1  Q  16   8  4 ) và các giá trị 37,38 (lớn hơn Q3   Q  24   8  36 ) 2 2 2 2 là các giá trị bất thường của mẫu số liệu đã cho. Vấn đề 5 . Xác định mẫu số liệu từ biểu đồ và tính các số đặc trưng cho mẫu số liệu đó Ví dụ 5. Biểu đồ đoạn thẳng ở Hình 1 Tốc độ tăng truởng GDP liệu đó. (Nguồn https://gso.gov.vn) d) Tính phương sai và độ lệch chuẩn Hinh 1 của mẫu số liệu đó. Giải a) Mẫu số liệu thống kê tốc độ tăng trưởng GDP nhận được từ biểu đồ trên là: 5,25 5, 42 5,98 6,68 6,21 6,81 7,08 7, 02 b) Trong mẫu số liệu trên, số lớn nhất là 7,08 và số nhỏ nhất là 5,25 . Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu đó là: R  x max  xmin  7, 08  5, 25  1,83(%). c) Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự tăng dần, ta được: 5,25 5, 42 5,98 6,21 6,68 6,81 7, 02 7, 08 5, 42  5,98 6,21  6,68 Vậy ta có tứ phân vị của mẫu số liệu đó là: Q1   5,7(%), Q2   6, 445(%), 2 2 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU 6,81  7, 02 Q3   6, 915(%). 2 Do đó khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó là:  Q  Q3  Q1  6,915  5,7  1,215(%). d) Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là: 5,25  5, 42  5,98  6,68  6,21  6,81  7,08  7,02 x  6,30625(%). 8 Ta có: (5,25  6,30625)2  (5, 42  6,30625)2  (5,98  6,30625)2  (6,68  6,30625)2 (6,21  6,30625)2  (6,81  6,30625)2  (7, 08  6,30625)2  (7, 02  6,30625)2  3,5183875. 3, 5183875 Phương sai của mẫu số liệu trên là: s 2   0, 44 . 8 Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: s  0, 44  0, 66 (%). BÀI 4. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TRONG MỘT SỐ TRỎ CHƠ ĐƠN GIẢN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Xác suất của biến cố trong trò chơi tung đồng xu Trong trò chơi tung đồng xu , ta quy ước đồng xu là cân đối và đồng chất. Xét trò chơi: Tung một đồng x u hai lần liên tiếp - Không gian mẫu  trong trò chơi trên là tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của đồng xu sau hai lần tung, tức là   {SS ; SN ; NS ; NN } , trong đó, chẳng hạn SN là kết quả "Lần thứ nhất đồng xu xuất hiện mặt sấp, lần thứ hai đồng xu xuất hiện mặt ngửa". - Biến cố A trong trò chơi trên là tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với một sự kiện nào đó cho hai lần tung đồng xu, ta có: A   . Mỗi phần tử của tập hợp A được gọi là một kết quả thuận lợi cho biến cố A . - Trong trò chơi trên, đối với mỗi biến cố A , ta có định nghĩa cổ điển của xác suất như sau: Xác suất của biến cố A , kí hiệu là P ( A) , là tỉ số giữa số các kết quả thuận lợi cho biến cố A và số phần tử n( A) của không gian mẫu: P( A)  , n() ở đó n( A), n( ) lần lượt là số phần tử của hai tập hợp A và  . 2. Xác suất của biến cố trong trò chơ gieo xúc xắc Trong trò chơi gieo xúc xắc, ta quy ước xúc xắc là cân đối và đồng chất. Xét trò chơi: Gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp - Không gian mẫu  trong trò chơi trên là tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của xúc xắc sau hai lần gieo, tức là   {(i; j ) ∣ j  1, 2,3, 4, 5, 6} , trong đó (i; j ) là kết quả "Lần thứ nhất xuất hiện i, mặt i chấm, lần thứ hai xuất hiện mặt j chấm". - Biến cố C trong trò chơi trên là tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với một sự kiện nào đó cho hai lần gieo xúc xắc, ta có: C   . Mỗi phần tử của tập hợp C được gọi là một kết quả thuận lợi cho biến cố C . - Trong trò chơi trên, đối với mỗi biến cố C , ta có định nghĩa cổ điển của xác suất như sau: Xác suất của biến cố C , kí hiệu là P (C ) , là tỉ số giữa số các kết quả thuận lợi cho biến cố C và số phần tử n(C ) của không gian mẫu  : P(C )  , n() ở đó n(C ), n( ) lần lượt là số phần tử của hai tập hợp C và  . B. VÍ DỤ Vấn đề 1. Xác suất của biến cố trong trò chơi tung một đồng xu hai lần liên tiếp Ví dụ 1. Tung một đồng xu hai lần liên tiếp. Tính xác xuất của biến cố "Kết quả của hai lần tung là khác nhau". Giải - Không gian mẫu trong trò chơi trên là tập hợp   {SS ; SN ; NS ; NN } . Do đó, n( )  4 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ - Gọi A là biến cố "Kết quả của hai lần tung là khác nhau". Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: SN , NS , tức là A  {SN ; NS } . Vì thế, n ( A)  2 . n( A) 2 1 Vậy xác suất của biến cố A là: P ( A)    . n ( ) 4 2 Vấn đề 2. Xác suất của biến cố trong trò chơ gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp Ví dụ 2. Gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau: a) "Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10 "; b) "Mặt 1 chấm xuất hiện ít nhất một lần". Giải Không gian mẫu trong trò chơi trên là tập hợp   {(i; j ) ∣ j  1, 2,3, 4, 5, 6} . i, Vậy n ( )  36 . a) Gọi E là biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10 ". Các kết quả thuận lợi cho biến cố E là: (5;5), (5; 6), (6;5), (6; 6) , tức là E  {(5;5), (5; 6), (6;5), (6; 6)} . Vì thế, n ( E )  4 . n( E ) 4 1 Vậy xác suất của biến cố E là: P ( E )    . n() 36 9 b) Gọi G là biến cố "Mặt 1 chấm xuất hiện ít nhất một lần". Các kết quả thuận lợi cho biến cố G là: (1;1), (1; 2), (1;3), (1; 4), (1;5), (1; 6), (2;1), (3;1), (4;1) , (5;1), (6;1) , tức là G  {(1;1), (1; 2), (1;3), (1; 4), (1;5), (1; 6), (2;1), (3;1) , (4;1), (5;1), (6;1)} . Vì thế, n(G )  11 . n(G ) 11 Vậy xác suất của biến cố G là: P(G )   . n() 36 BÀI 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Một số khái niệm về xác suất a) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu - Có những phép thử mà ta không thể đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Những phép thử như thế gọi là phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử). - Tập hợp  các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử đó. b) Biến cố và xác suất của biến cố - Biến cố ngẫu nhiên (gọi tắt là biến cố) là một tập con của không gian mẫu. - Xét phép thử T với không gian mẫu là  . Mỗi biến cố là một tập con của tập hợp  . Vì thế, tập rỗng  cũng là một biến cố, gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập hợp  gọi là biến cố chắc chắn. - Tập con  \ A xác định một biến cố, gọi là biến cố đối của biến cố A , kí hiệu là A . - Xét phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả có thể xảy ra và khả năng xảy ra của từng kết quả là giống nhau. Gọi  là không gian mẫu của phép thử đó. Khi đó, với mỗi biến cố A , ta có định nghĩa cổ điển của xác suất như sau: n( A) Xác suất của biến cố A , kí hiệu là P ( A) , bằng tỉ số , ở đó n( A), n( ) lần lượt là số phần tử của hai n ( ) n( A) tập hợp A và  . Như vậy: P ( A)  . n ( ) 2. Tính chất của xác suất Xét phép thử T với không gian mẫu là  . Khi đó, ta có các tính chất sau: - P ( )  0; P ( )  1 - 0  P ( A)  1 với mỗi biến cố A ; - P( A)  1  P( A) với mỗi biến cố A . B. VÍ DỤ Vấn đề 1. Xác định không gian mẫu, số phần tử của không gian mẫu Ví dụ 1. Một hộp có 2 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ từ trong hộp, ghi lại số của thẻ được rút ra và bỏ lại thẻ đó Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU vào hộp. Xét phép thử "Rút ngẫu nhiên liên tiếp 2 chiếc thẻ trong hộp". Hãy cho biết không gian mẫu của phép thử đó và tính số phần tử của không gian mẫu. Giải Không gian mẫu của phép thử trên là tập hợp   {(1;1); (1; 2); (2;1); (2; 2)} , ở đó, chẳng hạn (1; 2) là kết quả "Lần thứ nhất rút ra thẻ ghi số 1 , lần thứ hai rút ra thẻ ghi số 2 ". Không gian mẫu có 4 phần tử. Ví dụ 2. Cho một hộp chứa 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ; các bi có hình dạng và kích thước giống nhau. Xét phép thử "Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi". Xác định số phần tử của không gian mẫu trong phép thử đó. Giải Tổng số viên bi là 4  5  9 . Mỗi cách lấy ra đồng thời 2 viên bi là một tổ hợp chập 2 của 9 phần tử. Do đó, không gian mẫu  gồm các tổ hợp chập 2 của 9 phần tử ( 9 viên bi) va`n()  C92  36 . Vấn đề 2 . Xác định biến cố, biến cố đối, biến cố không, biến cố chắc chắn Ví dụ 3. Một hộp có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng; các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ trong hộp, ghi lại màu của quả bóng được lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét phép thử "Lấy ngẫu nhiên liên tiếp 2 quả bóng trong hộp". Hãy xác định biến cố A : "Lấy liên tiếp 2 quả bóng cùng màu" và phát biểu biến cố đối của biến cố A . Giải Biến cố A  { XX ; ĐĐ;VV } , trong đó, XX là kết quả lấy liên tiếp 2 quả bóng xanh; ĐĐ là kết quả lấy liên tiếp 2 quả bóng đỏ; VV là kết quả lấy liên tiếp 2 quả bóng vàng. Biến cố đối của biến cố A là A : "Lấy liên tiếp 2 quả bóng khác màu". Ví dụ 4. Xét phép thử "Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc một lần". Xét các biến cố: A: "Mặt xuất hiện có số chấm là số nguyên dương"; B: "Mặt xuất hiện có số chấm là số chia hết cho 7"; C: "Mặt xuất hiện có số chấm là số lớn hơn - 1"; D: "Mặt xuất hiện có số chấm là số nguyên âm". Trong các biến cố trên, biến cố nào là biến cố không? Biến cố chắc chắn? Giải Biến cố chắc chắn là các biến cố A, C . Biến cố không là các biến cố B , D . Vấn đề 3. Tính xác suất của biến cố Ví dụ 5. Một người bấm số gọi điện thoại nhưng quên hai số cuối của số điện thoại cần gọi và chỉ nhớ rằng hai chữ số đó khác nhau. Tính xác suất của biến cố "Người đó bấm thử 1 lần được đúng số điện thoại cần gọi". Giải Hai số cuối là hai chữ số khác nhau thuộc tập hợp {0;1;;9} . Mỗi cách bấm hai chữ số đó cho ta một chînh hợp chập 2 của tập hợp 10 phần tử. Vì vậy, không gian mẫu  gồm các chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 10 2 phần tử và n()  A10  90 . Gọi C là biến cố "Người đó bấm thử 1 lần được đúng số điện thoại cần gọi". Vì chỉ có 1 số điện thoại cần n(C ) 1 gọi là đúng nên n(C )  1 . Vậy xác suất của biến cố C là: P(C )   . n() 90 Ví dụ 6. Hai bạn nữ Hoa, Thảo và hai bạn nam Dũng, Huy được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế đặt theo hàng dọc. Tính xác suất của mỗi biến cố sau: a) "Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên"; b) "Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên và bạn Huy ngồi ghế cuối cùng". Giải Mỗi cách xếp 4 bạn ngồi vào bốn ghế là một hoán vị của 4 phần tử. Vì vậy, không gian mẫu  gồm các hoán vị của 4 phần tử và n( )  4!  24 . a) Gọi A là biến cố "Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên". Vì bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên nên chỉ xếp 3 bạn còn lại vào ba ghế sau. Do đó, tập hợp A gồm các hoán vị của 3 phần tử và n ( A)  3!  6 . n( A) 6 1 Vậy xác suất của biến cố A là: P ( A)    . n() 24 4 b) Gọi B là biến cố "Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên và bạn Huy ngồi ghế cuối cùng". Vì bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên và bạn Huy ngồi ghế cuối cùng nên chỉ xếp 2 bạn còn lại vào hai ghế ở giữa. Do đó, tập hợp B gồm các hoán vị của 2 phần tử và n ( B )  2!  2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ n( B) 2 1 Vậy xác suất của biến cố B là: P ( B )    . n() 24 12 Ví dụ 7. Có 3 bông hoa màu trắng, 4 bông hoa màu vàng và 5 bông hoa màu đỏ. Người ta chọn ra 4 bông hoa từ các bông hoa trên. Tính xác suất của biến cố "Bốn bông hoa chọn ra có cả ba màu". Giải Mỗi cách chọn ra đồng thời 4 bông hoa là một tổ hợp chập 4 của 12 phần tử. Do đó, không gian mẫu  4 gồm các tổ hợp chập 4 của 12 phần tử và n()  C12  495 . Gọi A là biến cố "Bốn bông hoa chọn ra có cả ba màu". Có 3 trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Chọn ra 2 bông hoa màu trắng, 1 bông hoa màu vàng, 1 bông hoa màu đỏ. Số cách chọn ra 2 bông hoa màu trắng là: C32  3 . Số cách chọn ra 2 bông hoa màu trắng, 1 bông hoa màu vàng, 1 bông hoa màu đỏ là: 3.4.5  60. Trường hợp 2: Chọn ra 1 bông hoa màu trắng, 2 bông hoa màu vàng, 1 bông hoa màu đỏ. 2 Số cách chọn ra 2 bông hoa màu vàng là: C4  6 . Số cách chọn ra 1 bông hoa màu trắng, 2 bông hoa màu vàng, 1 bông hoa màu đỏ là: 3. 6.5  90. Trường hợp 3: Chọn ra 1 bông hoa màu trắng, 1 bông hoa màu vàng, 2 bông hoa màu đỏ. Số cách chọn ra 2 bông hoa màu đỏ là: C52  10 . Số cách chọn ra 1 bông hoa màu trắng, 1 bông hoa màu vàng, 2 bông hoa màu đỏ là: 3  4 10  120. Tập hợp A bao gồm các phần tử là các khả năng của tất cả trường hợp 1, 2, 3 và n( A)  60  90  120  270 . n( A) 270 6 Vậy xác suất của biến cố A là: P ( A)    . n() 495 11 PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN CÂU HỎI TỰ LUẬN 3 Câu 1. Số gần đúng của là 0, 429 . Sai số tuyệt đối của 0, 429 không vượt quá số nào dưới đây? 7 Câu 2. Số quy tròn của số a  23748023 với độ chính xác d  101 là bao nhiêu? Câu 3. Điểm thi HKI môn toán của học sinh tổ một lớp 10C liệt kê như sau: 2 ; 5 ; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10. Điểm trung bình môn Toán của 10 học sinh đó là (quy tròn đến hàng phần chục) Câu 4. Số điểm thi Toán của 4 học sinh như sau: 1; 2,5; 8; 9,5 . Khi đó số trung vị của mẫu số liệu bằng? Câu 5. Bác Tâm khai trương cửa hàng bán áo sơ mi nam. Số áo cửa hàng đã bán ra trong tháng đầu tiên được thống kê trong bảng tần số sau: Cỡ áo nào cửa hàng bác Tâm bán được nhiều nhất trong tháng đầu tiên? Câu 6. Mẫu số liệu thống kê chiều cao (đơn vị: mét) của 15 cây bạch đàn là: 6,3 6,6 7, 2 7,5 7,5 7, 6 7, 7 7,8 7,9 8, 2 8,3 8,7 8,8 8,9 9, 0 Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu Câu 7. Số liệu thống kê kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của bạn Dũng là: 8; 6; 7; 5; 9 (3). Tìm phương sai của mẫu số liệu (3) Câu 8. Số liệu thống kê kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của bạn Dũng là: 8; 6; 7; 5; 9 (3). Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu (3) Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU Câu 9. Gieo đồng xu cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần Câu 10. Bạn Nhi rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ bộ bài tú lơ khơ 52 lá. Tính xác suất để bạn Nhi rút được lá bài Cơ. Câu 11. Trong giờ thực hành môn Lý, học sinh lớp 12A1 được chia thành các nhóm nhỏ để thảo luận. Các bạn thuộc nhóm 1 đã sử dụng vòng xoay để chọn ngẫu nhiên ra 1 thành viên làm thực nghiệm sau khi kết thúc thời gian thảo luận. Biết rằng trong nhóm 1 có các bạn Nam, Hà, Mai là thành viên của tổ 3. Tính xác suất để vòng xoay dừng lại ở vị trí có tên của bạn bắt đầu bằng chữ “N” nhưng không thuộc tổ 3. Câu 12. Trên kệ sách có 3 quyển sách Toán khác nhau, 4 quyển sách Lý khác nhau. Bạn An chọn ngẫu nhiên 1 quyển sách. Tính xác suất của biến cố “Quyển sách Toán được chọn”. Câu 13. Một hộp đựng 15 thẻ được đánh số từ 1 đến 15. Chọn ngẫu nhiên năm thẻ. Tính xác suất để có ít nhất một thẻ mang số chẵn được chọn. Câu 14. Xét phép thử “Tung hai con xúc xắc”. Tính xác suất để số chấm trên hai xúc sắc là như nhau. Câu 15. Một cuộc thi rút thăm trúng thưởng đã chuẩn bị 1 thùng gồm 50 lá phiếu, trong đó là có 3 giải Ba, 2 giải Nhì, 1 giải Nhất và 1 giải Đặc Biệt. Bạn Tùng tham gia cuộc thi và được bốc ra 1 lá phiếu trong thùng. Tính xác suất để Tùng trúng giải Nhất. Câu 16. Cho a  3,1234  0, 04 , tìm số quy tròn của số gần đúng a Câu 17. Số pha cứu thua mà thủ môn David de Gea thực hiện ở mỗi trận đấu trong mùa giải 2021 cho câu lạc bộ Manchester United được thống kê trong bảng sau: Số pha cứu thua 0 3 5 7 8 9 11 Số trận 2 5 7 4 5 5 8 Tìm số pha cứu thua trung bình mà David de Gea thực hiện được trong mỗi trận đấu của mùa giải Câu 18. Cho bảng số liệu điểm kiểm tra môn Toán cuối học kỳ 2 của 40 học sinh lớp 10C như sau: (thang điểm là 10) Tìm phương sai Sx2 của mẫu số liệu trên Câu 19. Cho bảng số liệu điểm kiểm tra cuối học kỳ 2 môn Hóa của 40 học sinh lớp 10A như sau: (thang điểm là 10) Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 20. Gieo 1 đồng tiền 2 lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố A :“Mặt sấp xuất hiện 2 lần”? Câu 21. Trong trò chơi “Chiếc nón kỳ diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở 1 trong 4 vị trí được đánh số thứ tự từ 1 đến 4 với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong 2 lần quay, chiếc kim của bánh xe lần lượt dừng lại ở cùng một vị trí? Câu 22. Có hai chiếc hộp A và B, mỗi chiếc hộp gồm 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng vàng, 1 quả bóng trắng. An lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 quả bóng, tính xác suất để 2 quả bóng khác màu. Câu 23. Tung hai đồng xu và 1 xúc xắc. Hỏi không gian mẫu có bao nhiêu phần tử? Câu 24. Từ các thẻ số 3, 4, 5, 6, 7 ghép thành số có hai chữ số. Gọi A: “Số có hai chữ số đều lẻ”. Hỏi biến cố đối của A có bao nhiêu phần tử? Câu 25. Cho 6 quả bóng được đánh số từ 1 đến 6. Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng, tính xác suất để 3 quả được chọn được đánh số cả chẵn, cả lẻ. Câu 26. Đội văn nghệ có 15 bạn gồm 6 nam, 9 nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 bạn đi biểu diễn văn nghệ. Xác suất để bốn bạn được chọn chỉ có nam hoặc chỉ có nữ. Câu 27. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 30. Xác suất để số được chọn là số chia hết cho 5 bằng Câu 28. Một tổ có 8 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ. Câu 29. Một bình chứa 18 viên bi với 8 viên bi trắng, 7 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ. Câu 30. Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố: " Hiệu số chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc bằng 2". Câu 31. Bạn thứ nhất có một đồng tiền, bạn thứ hai có một con súc sắc, đều cân đối và đồng chất. Xét phép thử T : "Bạn thứ nhất gieo đồng tiền, sau đó bạn thứ hai gieo súc sắc". Tính xác suất của các biến cố A: "Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa”. Câu 32. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi từ một chiếc hộp đựng sáu viên bi màu xanh, năm viên bị màu đen và bốn viên bi màu đỏ. Tính xác suất của biến cố “Hai viên bi được chọn có cùng màu”. Câu 33. Chọn ngẫu nhiên ba viên bi từ một chiếc hộp đựng bảy viên bi màu xanh, sáu viên bị màu đen và năm viên bi màu đỏ. Tính xác suất của biến cố “Có ít nhất hai viên bi được chọn có cùng màu”. Câu 34. Cô chủ nhiệm lớp 10A muốn cử một đội gồm 6 học sinh của lớp tham gia buổi hội thảo tư vấn tâm lý học đường của trường sao cho trong đội có cả bạn nam và bạn nữ. Biết lớp 10A có 21 bạn nam và 19 bạn nữ, tính xác suất của biến cố “Chọn ngẫu nhiên 6 học sinh được một đội thỏa yêu cầu của cô giáo”. Câu 35. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ trong một chiếc hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất của biến cố “Tích của hai số trên các thẻ được chọn là một số chia hết cho 3”. Câu 36. Năm nay An và Mai rất hạnh phúc khi cùng được trúng tuyển vào lớp 10A của ngôi trường THPT mà cả hai cùng mơ ước. Khi các bạn học sinh lớp 10A xếp thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên, hãy tính xác suất để An và Mai đứng cạnh nhau, biết rằng lớp 10A có 40 bạn học sinh. Câu 37. Xếp 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam thành 1 hàng ngang. Xác suất để không có 2 học sinh nam nào đứng cạnh nhau gần với số nào sau? Câu 38. Cho tập A   1; 2;3;5; 6;7 . Từ các số trong A lập số có 3 chữ số. Tính xác suất để chọn ra 1 số trong A sao cho chữ số đứng trước luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng sau. Câu 39. Trong đợt tình nguyện hè tại Xã Thạch Đài, có 30 học sinh nữ và 25 học sinh nam tham gia. Ban chấp hành đoàn muốn chọn ra 8 bạn đi thắp hương tại khu di tích Ngã Ba Đồng Lộc. Xác suất để trong 8 học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 4) Câu 40. Gieo 1 con súc sắc cân đối và đồng chất 3 lần. Xác suất để trong 3 lần gieo có tổng số chấm luôn chia hết cho 3 là bao nhiêu? Câu 41. Thầy giáo có 1 cái hộp đựng 9 trái banh, trên mỗi trái banh có ghi một số (từ các số 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 ). Mỗi lần học sinh được bốc lấy 3 quả banh, nếu tổng số ghi trên ba quả banh được số chia hết cho 3 thì học sinh ấy được 1 phần quà. Tính xác suất mà học sinh nhận được quà. Câu 42. Cho đa giác lồi có 10 đỉnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên trong X một tam giác. Tính xác suất để tam giác được chọn không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU Câu 43. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số tạo thành từ các chữ số 0;1; 2;3; 4;5;6;7 . Chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc S. Tính xác suất số chọn được có chữ số đứng bên phải không bé hơn chữ số bên trái kề nó? Câu 44. Anh An có 10 đôi tất. Lúc chuẩn bị đi chơi thì do vội vàng nên anh An đã lấy ngẫu nhiên 6 chiếc. Xác suất để trong 6 chiếc đó có ít nhất 2 chiếc cùng 1 đôi gần nhất với số nào dưới đây? LỜI GIẢI THAM KHẢO 3 Câu 1. Số gần đúng của là 0, 429 . Sai số tuyệt đối của 0, 429 không vượt quá số nào dưới đây? 7 Lời giải 3 Ta có  0, 428571... 7 3   0, 429   0, 429  0, 4285  0, 0005 7 Sai số tuyệt đối của 0, 429 không vượt quá số 0, 005 Câu 2. Số quy tròn của số a  23748023 với độ chính xác d  101 là bao nhiêu? Lời giải Vì 100  101  500 nên ta quy tròn đến hàng nghìn. Do đó số quy tròn của số a  23748023 với độ chính xác d  101 là 23748000. Câu 3. Điểm thi HKI môn toán của học sinh tổ một lớp 10C liệt kê như sau: 2 ; 5 ; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10. Điểm trung bình môn Toán của 10 học sinh đó là (quy tròn đến hàng phần chục) Lời giải Điểm trung bình môn Toán của 10HS là 1 64,5 x  (2  2.5  7, 5  8  6,5  7  9  4,5  10)   6, 45  6,5. 10 10 Câu 4. Số điểm thi Toán của 4 học sinh như sau: 1; 2,5; 8; 9,5 . Khi đó số trung vị của mẫu số liệu bằng? Lời giải 2,5  8 Ta có: M e   5, 25 2 Câu 5. Bác Tâm khai trương cửa hàng bán áo sơ mi nam. Số áo cửa hàng đã bán ra trong tháng đầu tiên được thống kê trong bảng tần số sau: Cỡ áo nào cửa hàng bác Tâm bán được nhiều nhất trong tháng đầu tiên? Lời giải Cỡ áo 40 cửa hàng bác Tâm bán được nhiều nhất trong tháng đầu tiên. Câu 6. Mẫu số liệu thống kê chiều cao (đơn vị: mét) của 15 cây bạch đàn là: 6,3 6, 6 7, 2 7,5 7,5 7,6 7, 7 7,8 7,9 8, 2 8,3 8, 7 8,8 8,9 9, 0 Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu Lời giải Trong mẫu số liệu số lớn nhất là 9,0 và số bé nhất là 6,3. Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R  xmax  xmin  9, 0  6,3  2,7( m). Ta có Q1  7,5( m); Q2  7,8( m); Q3  8, 7( m) . Vậy khoảng tử phân vị của mẫu số liệu là:  Q  Q3  Q1  8, 7  7,5  1, 2( m) . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 7. Số liệu thống kê kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của bạn Dũng là: 8; 6; 7; 5; 9 (3). Tìm phương sai của mẫu số liệu (3) Lời giải Điểm trung bình môn Toán của Dũng là: 86759 x 7 5 Phương sai của mẫu số liệu (3) là 1 2 2 2 2 s 2   8  7    6  7    7  7    5  7    9  7    2 5   Câu 8. Số liệu thống kê kết quả 5 bài kiểm tra môn Toán của bạn Dũng là: 8; 6; 7; 5; 9 (3). Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu (3) Lời giải Điểm trung bình môn Toán của Dũng là: 86759 x 7 5 Phương sai của mẫu số liệu (3) là 1 2 2 2 2 s 2   8  7    6  7    7  7    5  7    9  7    2 5  Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu (3) là s 2 Câu 9. Gieo đồng xu cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần Lời giải Gọi A là biến cố đã cho Số phần tử không gian mẫu: n     2.2  4 Biến cố xuất hiện mặt sấp ít nhất một lần: A  SN ; NS ;SS n  A 3 Suy ra P  A    . n  4 Câu 10. Bạn Nhi rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ bộ bài tú lơ khơ 52 lá. Tính xác suất để bạn Nhi rút được lá bài Cơ. Lời giải Xét biến cố A : “Rút được lá bài Cơ” Bộ bài tú lơ khơ có tổng cộng 13 lá bài Cơ. Vì vậy có 13 kết quả thuận lợi cho biến cố A  n  A  13 . n  A 13 1 Vậy xác suất của biến cố nói trên là  P  A    n  52 4 Câu 11. Trong giờ thực hành môn Lý, học sinh lớp 12A1 được chia thành các nhóm nhỏ để thảo luận. Các bạn thuộc nhóm 1 đã sử dụng vòng xoay để chọn ngẫu nhiên ra 1 thành viên làm thực nghiệm sau khi kết thúc thời gian thảo luận. Biết rằng trong nhóm 1 có các bạn Nam, Hà, Mai là thành viên của tổ 3. Tính xác suất để vòng xoay dừng lại ở vị trí có tên của bạn bắt đầu bằng chữ “N” nhưng không thuộc tổ 3. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU Lời giải Quan sát vòng xoay, ta thấy nhóm 1 có 10 thành viên  n   10 Xét biến cố A : “vòng xoay dừng lại ở vị trí có tên của bạn bắt đầu bằng chữ “N” nhưng không thuộc tổ 3” Có 3 bạn tên bắt đầu bằng chữ “N” là Nhi, Nam, Ngọc, trong đó loại trừ bạn Nam là thành viên của tổ 3.  n  A  2 n  A 2 1 Vậy xác suất cần tìm là P  A    n  10 5 Câu 12. Trên kệ sách có 3 quyển sách Toán khác nhau, 4 quyển sách Lý khác nhau. Bạn An chọn ngẫu nhiên 1 quyển sách. Tính xác suất của biến cố “Quyển sách Toán được chọn”. Lời giải Vì có tổng cộng 7 quyển sách trên kệ  n   7 Xét biến cố A: “Quyển sách Toán được chọn” Vì có 3 quyển sách Toán, nên số điều kiện thuận lợi của biến cố A là 3 n  A 3 Vậy xác suất cần tìm là P  A   n  7 Câu 13. Một hộp đựng 15 thẻ được đánh số từ 1 đến 15. Chọn ngẫu nhiên năm thẻ. Tính xác suất để có ít nhất một thẻ mang số chẵn được chọn. Lời giải Xét phép thử “Chọn ngẫu nhiên năm thẻ”  n   C15  3003 5 Biến cố A : “có ít nhất một thẻ mang số chẵn được chọn” Biến cố đối A : “không chọn được thẻ mang số chẵn” Từ 1 đến 15 có tổng cộng 8 số lẻ và 7 số chẵn. Chọn ngẫu nhiên 5 thẻ trong 8 thẻ mang số lẻ có C8  56 5 n  A  n  A  56  P  A  56 8   n  3003 429 Vậy xác suất cần tìm là P  A  1 P  A  1 8 421  429 429 Câu 14. Xét phép thử “Tung hai con xúc xắc”. Tính xác suất để số chấm trên hai xúc sắc là như nhau. Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Xét phép thử “Tung hai con xúc xắc” Mỗi xúc sắc có 6 khả năng xảy ra, theo quy tắc nhân ta có: n   6.6  36 Biến cố A: “Số chấm trên hai xúc xắc là như nhau” Ta có các trường hợp sau : 1;1;2; 2; 3;3;4; 4; 5;5; 6; 6  n  A  6 n  A 6 1 Vậy xác suất cần tìm là P  A    n  36 6 Câu 15. Một cuộc thi rút thăm trúng thưởng đã chuẩn bị 1 thùng gồm 50 lá phiếu, trong đó là có 3 giải Ba, 2 giải Nhì, 1 giải Nhất và 1 giải Đặc Biệt. Bạn Tùng tham gia cuộc thi và được bốc ra 1 lá phiếu trong thùng. Tính xác suất để Tùng trúng giải Nhất. Lời giải Vì có tổng cộng 50 phiếu trong thùng  n   50 Xét biến cố A: “Tùng trúng giải Nhất”  n  A  1 n  A 1 Vậy xác suất cần tìm là P  A   n  50 Câu 16. Cho a  3,1234  0, 04 , tìm số quy tròn của số gần đúng a Lời giải Vì độ số chính xác d  0, 04  0, 05 nên ta quy tròn a đến hàng phần chục. Vậy số quy tròn của a là 3,1 . Câu 17. Số pha cứu thua mà thủ môn David de Gea thực hiện ở mỗi trận đấu trong mùa giải 2021 cho câu lạc bộ Manchester United được thống kê trong bảng sau: Số pha cứu thua 0 3 5 7 8 9 11 Số trận 2 5 7 4 5 5 8 Tìm số pha cứu thua trung bình mà David de Gea thực hiện được trong mỗi trận đấu của mùa giải Lời giải Số pha cứu thua trung bình mà David de Gea thực hiện là: 0.2  3.5  5.7  7.4  8.5  9.5  11.8 251   6,97 36 36 Câu 18. Cho bảng số liệu điểm kiểm tra môn Toán cuối học kỳ 2 của 40 học sinh lớp 10C như sau: (thang điểm là 10) 2 Tìm phương sai Sx của mẫu số liệu trên Lời giải Ta có điểm trung bình của 40 em học sinh là: 5.5  12.6  8.7  9.8  4.9  2.10 281 x   7,025. 40 40 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU 2 2 2 2 2 2 5.  5  7,025  12.  6  7,025  8.  7  7,025  9.  8  7,025  4.  9  7,025  2. 10  7,025 S  x 40  1,874. Câu 19. Cho bảng số liệu điểm kiểm tra cuối học kỳ 2 môn Hóa của 40 học sinh lớp 10A như sau: (thang điểm là 10) Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên Lời giải Ta có điểm trung bình của 40 em học sinh là: 3.1  4.1  5.2  6.7  7.12  8.14  9.2  10.1 283 x   7, 075. 40 40 2 2 2 2 1.  3  7, 075  1.  4  7,075   2.  5  7, 075  7.  6  7, 075   ...  1. 10  7, 075  2 S  x 40  1, 769. Do đó: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là 1, 769  1, 33 . Câu 20. Gieo 1 đồng tiền 2 lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố A :“Mặt sấp xuất hiện 2 lần”? Lời giải Không gian mẫu:   SS ; SN ; NS ; NN   n     4 . 1 Biến cố A  SS  n  A  1 . Vậy P  A  . 4 Câu 21. Trong trò chơi “Chiếc nón kỳ diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở 1 trong 4 vị trí được đánh số thứ tự từ 1 đến 4 với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong 2 lần quay, chiếc kim của bánh xe lần lượt dừng lại ở cùng một vị trí? Lời giải Không gian mẫu của trò chơi trên là tập hợp:    i; j  | i, j  1, 2,3, 4 . Tập hợp  có 16 phần tử. Gọi biến cố A : “Trong 2 lần quay, chiếc kim của bánh xe lần lượt dừng lại ở cùng một vị trí”  A  1;1 ;  2; 2  ;  3;3 ;  4; 4  . A có 4 phần tử. 4 1 Vậy P  A   . 16 4 Câu 22. Có hai chiếc hộp A và B, mỗi chiếc hộp gồm 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng vàng, 1 quả bóng trắng. An lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 quả bóng, tính xác suất để 2 quả bóng khác màu. Lời giải Không gian mẫu là:   {XX, XV, XT, VV, VX, VT, TT, TX, TV}  n()  9 Gọi A: “Biến cố hai quả bóng khác màu” Khi đó A  {XV,XT,VX,VT,TV,TX}  n(A)  6 Xác suất ngẫu nhiên để chọn hai quả bóng khác màu là: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ n(A) 6 2 P(A)    n() 9 3 Câu 23. Tung hai đồng xu và 1 xúc xắc. Hỏi không gian mẫu có bao nhiêu phần tử? Lời giải Đáp án C.   {SS-1, SN-1, NS-1, NN-1, SS-2, SN-2, NS-2, NN-2,...,SS-6, SN-6, NS-6, NN-6}  n()  24 Câu 24. Từ các thẻ số 3, 4, 5, 6, 7 ghép thành số có hai chữ số. Gọi A: “Số có hai chữ số đều lẻ”. Hỏi biến cố đối của A có bao nhiêu phần tử? Lời giải Đáp án C. Không gian mẫu là   {34;35;36;37;43;45;46;47;53;54;56;57;63;64;65;67;73;74;75;76}  n    20 Biến A  {35;37;53;57;73;75} n  A   6 Số phần tử của biến cố đối là: n(A)  n     n  A   20  6  14 Câu 25. Cho 6 quả bóng được đánh số từ 1 đến 6. Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng, tính xác suất để 3 quả được chọn được đánh số cả chẵn, cả lẻ. Lời giải Số phần tử của gian mẫu là: n(Ω)= C3  20 6 Gọi A: “Ba quả bóng đều lẻ hoặc chẵn”, khi đó A  {(1;3;5);(2;4;6)} Số phần tử của biến cố A là: n(A)  2 Biến cố đối A : “Ba quả bóng có cả chẵn, cả lẻ”, khi đó n(A)  n()  n(A)  20  2  18 Xác suất để 3 quả bóng được chọn đánh số có cả chẵn, cả lẻ là: 18 9 P(A)   20 10 Câu 26. Đội văn nghệ có 15 bạn gồm 6 nam, 9 nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 bạn đi biểu diễn văn nghệ. Xác suất để bốn bạn được chọn chỉ có nam hoặc chỉ có nữ. Lời giải 4 Số phần tử của gian mẫu là: n(Ω)=C15  1365 Gọi A: “Các bạn được chọn chỉ có nam hoặc chỉ có nữ”. 4 4 Số phần tử tcủa biến cố A là: n(A)  C6  C9  141 141 47 Xác suất để chọn được các bạn chỉ có nam hoặc chỉ có nữ là: P(A)   1365 455 Câu 27. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 30. Xác suất để số được chọn là số chia hết cho 5 bằng Lời giải Trong các số nguyên dương không lớn hơn 30 có 5 số chia hết cho 5 là {5;10;15; 20; 25;30}  n( A)  6 . Không gian mẫu là {1; 2;3;; 29;30}  n()  30 . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU Như vậy, xác suất để chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 30 và chia hết cho 5 6 1 là  . 30 5 Câu 28. Một tổ có 8 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ. Lời giải 2 Không gian mẫu có số phần tử là: n( )  C12  66 . Gọi A : "2 người được chọn là nữ". 2 Số cách chọn là chọn 2 nữ trong 4 bạn nữ là: n( A)  C4  6 . 6 1 Vậy P ( A)   . 66 11 Câu 29. Một bình chứa 18 viên bi với 8 viên bi trắng, 7 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ. Lời giải 3 Tổng số bi là 18 nên lấy ngẫu nhiên 3 viên bi có: n( )  C18  816 cách. Gọi A : " lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên vi đen, 1 viên bi đỏ". Ta có n( A)  8.7.3  168 . 168 7 Vậy P( A)   . 816 34 Câu 30. Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố: " Hiệu số chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc bằng 2". Lời giải Số phần tử của không gian mẫu: n()  6.6  36 . Gọi A là biến cố: "Hiệu số chấm trên 2 con súc sắc bằng 2". A  {(1;3), (3;1),(3;5), (5;3), (6; 4), (4;6),(4; 2), (2, 4)}  n( A)  8 . 8 2 Vậy P ( A)   . 36 9 Câu 31. Bạn thứ nhất có một đồng tiền, bạn thứ hai có một con súc sắc, đều cân đối và đồng chất. Xét phép thử T : "Bạn thứ nhất gieo đồng tiền, sau đó bạn thứ hai gieo súc sắc". Tính xác suất của các biến cố A: "Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa”. Lời giải n()  S1, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6, N1, N 2, N 3, N 4, N 5, N 6  n()  12 . A: "Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa". A  {N1; N 2; N 3; N 4; N 5; N 6}  n( A)  6 . 6 1 P ( A)   . 12 2 Câu 32. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi từ một chiếc hộp đựng sáu viên bi màu xanh, năm viên bị màu đen và bốn viên bi màu đỏ. Tính xác suất của biến cố “Hai viên bi được chọn có cùng màu”. Lời giải 2 Số cách chọn 2 viên bi cùng màu xanh: C6  15 . Số cách chọn 2 viên bi cùng màu đen: C52  10 . Số cách chọn 2 viên bi cùng màu đỏ: C42  6 . 2 2 Số cách chọn 2 viên bi từ hộp mà không có thêm bất cứ điều kiện nào: C65 4  C15  105 . 15  10  6 31 Xác suất của biến cố “Hai viên bi được chọn có cùng màu”:  . 105 105 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 33. Chọn ngẫu nhiên ba viên bi từ một chiếc hộp đựng bảy viên bi màu xanh, sáu viên bị màu đen và năm viên bi màu đỏ. Tính xác suất của biến cố “Có ít nhất hai viên bi được chọn có cùng màu”. Lời giải 3 Tổng số kết quả của phép thử là C7  65  816 . Gọi A là biến cố “Có ít nhất hai viên bi được chọn có cùng màu” Xét các kết quả mà trong đó không có hai viên bi nào cùng màu, tức chọn mỗi màu đúng 1 viên bi. Số các kết quả loại này là 7.6.5  210 . Do đó, số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là 816  210  606 . 606 101 Xác suất của biến cố A là  . 816 136 Câu 34. Cô chủ nhiệm lớp 10A muốn cử một đội gồm 6 học sinh của lớp tham gia buổi hội thảo tư vấn tâm lý học đường của trường sao cho trong đội có cả bạn nam và bạn nữ. Biết lớp 10A có 21 bạn nam và 19 bạn nữ, tính xác suất của biến cố “Chọn ngẫu nhiên 6 học sinh được một đội thỏa yêu cầu của cô giáo”. Lời giải Gọi  là không gian mẫu của phép thử chọn ngẫu nhiên 6 học sinh của lớp 10A. Ta có: 6 6 n     C2119  C40 . Gọi A là biến cố “Chọn ngẫu nhiên 6 học sinh được một đội thỏa yêu cầu của cô giáo”. Khi đó, biến cố A gồm các kết quả chọn 6 học sinh đều là nam hoặc 6 học sinh đều là nữ. Ta có:   6 6 n A  C21  C19 . 6 6 C21  C19 51 51 2354   Do đó: P A  6 C40  2405    P  A  1  P A  1   2405 2405 . Câu 35. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ trong một chiếc hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất của biến cố “Tích của hai số trên các thẻ được chọn là một số chia hết cho 3”. Lời giải Từ 1 đến 20 có 6 số chia hết cho 3 và 14 số không chia hết cho 3. Do 3 là số nguyên tố nên tích hai số chia hết cho 3 khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong 2 số đó chia hết cho 3. Do đó, gọi A là biến cố “Tích của hai số trên các thẻ được chọn là một số chia hết cho 3” thì biến cố A là “Hai số ghi trên các thẻ được chọn đều không chia hết cho 3”. 2 Số kết quả của không gian mẫu: n     C20 .   2 Số kết quả thuận lợi cho A : n A  C14 .  C n A 2 91 91 99   Ta có: P A  n   14 2 C  190    P  A  1  P A  1   190 190 . 20 Câu 36. Năm nay An và Mai rất hạnh phúc khi cùng được trúng tuyển vào lớp 10A của ngôi trường THPT mà cả hai cùng mơ ước. Khi các bạn học sinh lớp 10A xếp thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên, hãy tính xác suất để An và Mai đứng cạnh nhau, biết rằng lớp 10A có 40 bạn học sinh. Lời giải Số cách xếp ngẫu nhiên các học sinh lớp 10A thành một hàng ngang: 40! Xét các cách xếp thỏa yêu cầu bài toán. Do An và Mai đứng cạnh nhau nên ta xếp An và các bạn khác trước, xếp Mai đứng cạnh An sau. Số cách xếp các bạn lớp 10A mà không có Mai:  40  1 !  39! Với mỗi cách xếp 39 bạn đó, số cách xếp chỗ cho Mai: 2 (bên phải hoặc bên trái của An). Suy ra số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán là 39!.2 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.