intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Toán 10 (Cánh diều) - Ôn tập chương 5: Đại số tổ hợp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST
Báo xấu
1
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán 10 (Cánh diều) – Ôn tập chương 5: Đại số tổ hợp" hỗ trợ học sinh nắm vững các quy tắc đếm cơ bản và công thức tổ hợp. Nội dung được trình bày rõ ràng gồm phần lý thuyết trọng tâm, ví dụ minh họa, bài tập tự luyện có lời giải chi tiết. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để làm quen các dạng toán đếm và xác định số lượng tổ hợp chính xác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán 10 (Cánh diều) - Ôn tập chương 5: Đại số tổ hợp

  1. TOÁN 10-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489 ÔN TẬP CHƯƠNG 5. ĐẠI SỐ TỔ HỢP • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN 1. LÝ THUYẾT – VÍ DỤ BÀI 1. QUY TẮC CỘNG. QUY TẮC NHÂN. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện (các cách thực hiện của cả hai hành động là khác nhau đôi một) thì công việc đó có m  n cách hoàn thành. Nhận xét: Tương tự, ta cũng có quy tắc sau: Một công việc được hoàn thành bởi một trong ba hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện, hành động thứ ba có p cách thực hiện (các cách thực hiện của ba hành động là khác nhau đôi một) thì công việc đó có m  n  p cách hoàn thành. 2. Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có m.n cách hoàn thành. Nhận xét: Tương tự, ta cũng có quy tắc sau: Một công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện hành động thứ hai; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất và mỗi cách thực hiện hành động thứ hai có p cách thực hiện hành động thứ ba thì công việc đó có m  n  p cách hoàn thành. 3. Sơ đồ hình cây - So đồ hình cây (Hình I) là sơ đồ bắt đầu tại một nút duy nhất với các nhánh toả ra các nút bổ sung. - Ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để đếm số cách hoàn thành một công việc khi công việc đó đòi hỏi những hành động liên tiếp. B. VÍ DỤ Vấn đề 1. Đếm bằng quy tắc cộng Chú ý: Cách thực hiện hành động thứ nhất không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ hai. Ví dụ 1. Gia đình bạn Dương dự định chọn một địa điểm du lịch ở Quy Nhơn (Bình Định) hoặc Đà Nẵng. Nếu chọn Quy Nhơn thì có 5 địa điểm tham quan (Hình 2), nếu chọn Đà Nã̃ng thì có 7 địa điểm tham quan (Hình 3). Hỏi gia đình bạn Dương có bao nhiêu cách để chọn một địa điểm tham quan? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Giải Nếu chọn Quy Nhơn thì có 5 cách chọn một địa điểm tham quan. Nếu chọn Đà Nã̃ng thì có 7 cách chọn một địa điểm tham quan. Vậy gia đình bạn Dương có 5  7  12 cách chọn một địa điểm tham quan. Vấn đề 2. Đếm bằng quy tắc nhân Ví dụ 2. Gia đình bạn Dương dự định chọn một địa điểm du lịch ở Quy Nhơn, sau đó đi tham quan tiếp một địa điểm du lịch ở Đà Nẵng. Biết rằng, nếu chọn Quy Nhơn thì có 5 địa điểm tham quan (Hình 2), nếu chọn Đà Nẵng thì có 7 địa điểm tham quan (Hình 3). Hỏi gia đình bạn Dương có bao nhiêu cách để chọn hai địa điểm ở Quy Nhơn và Đà Nã̃ng để tham quan theo dự định trên? Giải Việc chọn hai địa điểm ở Quy Nhơn và Đà Nã̃ng để tham quan là thực hiện hai hành động liên tiếp: chọn một địa điểm ở Quy Nhơn, sau đó chọn một địa điểm ở Đà Nã̃ng. Có 5 cách chọn địa điểm tham quan ở Quy Nhơn. Với mỗi cách chọn một địa điểm tham quan ở Quy Nhơn, có 7 cách chọn địa điểm tham quan ở Đà Nẵng. Vậy gia đình bạn Dương có tất cả 5  7  35 cách chọn hai địa điểm ở Quy Nhơn và Đà Nẵng để tham quan theo dự định trên. Vấn đề 3. Đếm bằng sơ đồ hình cây Ví dụ 3. Cho kiểu gen AABBDdEe . Giả sử quá trình giảm phân tạo giao tử bình thường, không xảy ra đột biến. a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử. b) Từ đó, tính số loại giao tử của kiểu gen AABBDdEe. Giải a) Sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử: b) Từ sơ đồ hình cây, ta có 4 loại giao tử của kiểu gen AABBDdEe. BÀI 2. HOÁN VỊ. CHỈNH HỢP A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hoán vị Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  *  . - Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. - Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: Pn  n(n  1).2.1  n!. 2. Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1  k  n . - Mỗi kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. k - Kí hiệu An là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1  k  n) . k Ta có: An  n(n  1) (n  k  1) . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU B. VÍ DỤ Vấn đề 1. Tính số các hoán vị Ví dụ 1. Trong giờ học thể dục, thầy giáo yêu cầu cả lớp chia thành các nhóm tự luyện tập. Nhóm bạn An có bao nhiêu cách xếp thành một hàng dọc? Biết nhóm của An có 6 người. Giải Mỗi cách xếp thứ tự vị trí cho 6 bạn là một hoán vị của 6 phần tử. Vậy số cách xếp nhóm bạn An thành một hàng dọc là: P6  6!  720 . Ví dụ 2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau? Giải Mỗi số tự nhiên lập được là một hoán vị của 7 chữ số đã cho. Số các số tự nhiên có thể lập được là: P7  7!  5040 . Ví dụ 3. Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7 , ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau? Giải Xét số tự nhiên có dạng a1a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 . Trường hợp 1: a1 có thể bằng 0 hoặc khác 0 . Với a1 có thể bằng 0 hoặc khác 0 , mỗi số có dạng trên là một hoán vị của 8 chữ số đã cho. Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 1 là: P8  8!  40320 . Trường hợp 2: a1  0 . Vì a1  0 cố định nên 7 chữ số sau a1 đều khác 0 và chỉ có 7 chữ số đó thay đổi. Suy ra, mỗi số có dạng 0a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 là một hoán vị của 7 chữ số khác 0 đã cho. Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 2 là: P7  7 ! = 5040 . Vậy số các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau có thể lập được là: 40320  5040  35280. Ví dụ 4. Bạn Nam có 4 quyển sách Toán, 6 quyển sách Tiếng Anh (các quyển sách là khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách thành hàng ngang sao cho: a) Các quyển sách cùng môn thì xếp cạnh nhau (không có quyển sách Toán nào nằm giữa hai quyển sách Tiếng Anh và ngược lại)? b) Các quyển sách Toán thì xếp cạnh nhau? Giải a) Xếp 4 quyển sách Toán cạnh nhau thành một nhóm có P4  4!  24 (cách). Xếp 6 quyển sách Tiếng Anh cạnh nhau thành một nhóm có P6  6!  720 (cách). Có P2  2!  2 cách xếp hai nhóm sách trên. Vậy số cách xếp các quyển sách sao cho các quyển sách cùng môn thì xếp cạnh nhau là: 24.720.2  34560 . b) Xếp 4 quyển sách Toán cạnh nhau thành một nhóm có P4  4!  24 (cách) Coi nhóm sách Toán là một quyển sách, gọi là A , xếp quyển sách A và 6 quyển sách Tiếng Anh có P7  7!  5040 (cách) Vậy số cách xếp các quyển sách sao cho các quyển sách Toán thì xếp cạnh nhau là: 24.5040  120960. Vấn đề 2. Tính số các chỉnh hợp Ví dụ 5. Bạn Dũng mới mua điện thoại và muốn lập mật khẩu có 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi bạn Dũng có bao nhiêu cách để lập một mật khẩu? Giải Mỗi mật khẩu có thể lập được là một cách chọn 6 chữ số từ 10 chữ số và sắp xếp thứ tự của chúng, tức là một chịnh hợp chập 6 của 10 phần tử. 6 Vậy bạn Dũng có A10  151200 (cách lập mật khẩu). Ví dụ 6. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau? Giải Mỗi số tự nhiên lập được là một chỉnh hợp chập 5 của 7 chữ số đã cho. Số các số tự nhiên có thể lập được 5 là: A7  2520 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Ví dụ 7. Trong một buổi kỉ niệm ngày thành lập trường, bí thư Đoàn trường cần chọn 4 tiết mục từ 6 tiết mục hát và 4 tiết mục từ 5 tiết mục múa rồi xếp thứ tự biểu diền. Hỏi có bao nhiêu cách chọn và xếp thứ tự sao cho các tiết mục hát và múa xen kẽ nhau? Giải Giả sử các tiết mục được biểu diễn đánh số thứ tự từ 1 đến 8 . Vì số lượng tiết mục hát và múa bằng nhau nên có hai trường hợp: Trường hợp 1: Tiết mục hát diễn ra đầu tiên Khi đó, các tiết mục hát có số thứ tự là số lẻ, còn các tiết mục múa có số thứ tự là số chẵn. Như vậy, thứ tự của các tiết mục múa và hát được cố định, chỉ thay đổi thứ tự giữa các tiết mục múa, hoặc giữa các tiết mục hát. Chọn 4 tiết mục hát từ 6 tiết mục hát và xếp thứ tự có A64  360 (cách). 4 Chọn 4 tiết mục múa từ 5 tiết mục múa và xếp thứ tự có A5  120 (cách). Khi đó, số cách chọn và xếp thứ tự các tiết mục văn nghệ trong trường hợp tiết mục hát diễn ra đầu tiên là: 360.120  43200 . Trường hợp 2: Tiết mục múa diễn ra đầu tiên Tương tự, số cách chọn và xếp thứ tự các tiết mục văn nghệ trong trường hợp tiết mục múa diễn ra đầu tiên là: 120.360  43200 . Vậy số cách chọn và xếp thứ tự các tiết mục văn nghệ sao cho các tiết mục hát và múa xen kẽ nhau là: 43200  43200  86400 . BÀI 3. TỔ HỢP A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1  k  n . Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó. 2. Số các tổ hợp k k Ak 0 Kí hiệu Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử với 1  k  n . Ta có: Cn  n . Quy ước: 0!  1; Cn  1 . k! k n! Với những quy ước trên, ta có: Cn  với 0  k  n . k !(n  k )! k 3. Tính chất của các số Cn Ta có hai đẳng thức sau: Cn  Cn k (0  k  n) và Cn 1  Cn 1  Cn (1  k  n) . k n k 1 k k B. VÍ DỤ Vấn đề 1. Tính số tổ hợp Ví dụ 1. Một lớp có 24 học sinh nam và 16 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn: a) 3 học sinh làm ban cán sự của lớp? b) 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có 2 học sinh nam? c) 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có ít nhất 1 học sinh nam? Giải a) Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 40 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 40. Số cách chọn 3 học sinh làm ban 3 cán sự của lớp là: C40  9880 . b) Mỗi cách chọn 2 học sinh nam trong 24 học sinh nam là một tổ hợp chập 2 của 24 . Số cách chọn 2 học 2 sinh nam trong 24 học sinh nam là: C24  276 . Mỗi cách chọn 1 học sinh nữ trong 16 học sinh nữ là một tổ hợp chập 1 của 16. 1 Số cách chọn 1 học sinh nữ trong 16 học sinh nữ là: C16  16 . Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp sao cho trong đó có 2 học sinh nam là: 276.16  4416 . c) Cách 1: Để ban cán sự lớp có ít nhất 1 học sinh nam thì xảy ra các trường hợp: Trường hợp 1: Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU 1 2 Chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ có C  C  24 120  2880 (cách chọn) 24 16 Trường hợp 2: 2 1 Chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ có C24  C16  276 16  4416 (cách chọn) Trường hợp 3: 3 Chọn 3 học sinh nam có C24  2024 (cách chọn). Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có ít nhất 1 học sinh nam là: 2880  4416  2024  9320 . Cách 2: 3 Số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp là: C40  9880 . 3 Số cách chọn 3 học sinh nữ làm ban cán sự của lớp là: C16  560 . Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có ít nhất 1 học sinh nam là: 9880  560  9320. Vấn đề 2. Chứng minh hệ thức tổ hợp Ví dụ 2. Chứng minh rằng: a) Cn  Cn k với 0  k  n ; k n b) Cnk11  Cn 1  Cn với 1  k  n .  k k Giải Ta có: n! n! n! a) Cnk     Cn  k . n k !( n  k )! [ n  ( n  k )]!( n  k )! ( n  k )![n  (n  k )]! b) k 1 k (n  1)! (n  1)! Cn 1  Cn 1   (k  1)![(n  1)  (k  1)]! k ![(n  1)  k ]!  k n  k  (n  1)!(k  n  k )  (n  1)!     k !(n  k )! k !(n  k )!  k !(n  k )! n! k   Cn k !(n  k )! Bài 4. NHỊ THỨC NEWTON A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Công thức khai triển nhị thức Newton ( a  b) n với n  4, n  5 : ( a  b)4  C4 a 4  C4 a3 b  C4 a2 b 2  C4 ab3  C4 b 4 0 1 2 3 4  a 4  4 a3 b  6a 2 b 2  4ab3  b 4 ( a  b )5  C5 a5  C5 a 4 b  C5 a3 b 2  C5 a 2 b3  C5 ab 4  C5 b 5 0 1 2 3 4 5  a5  5a 4 b  10a3 b2  10 a2 b3  5ab 4  b5 Nhận xét: (a  b) 4  a 4  4a 3b  6a 2b 2  4ab3  b 4 . (a  b)5  a5  5a 4 b  10a3 b2  10a2 b3  5ab 4  b5 . B. VÍ DỤ Vấn đề 1. Khai triển nhị thức (a  b) n với n  4, n  5 Ví dụ 1. Khai triển các biểu thức sau: a) ( a  2) 4 ; b) ( a  2) 4 Giải a) ( a  2) 4  a 4  4  a 3  2  6  a 2  22  4  a  23  24  a 4  8a 3  24a 2  32a  16 . b) (a  2) 4  a 4  4  a 3  2  6  a 2  22  4  a  23  24  a 4  8a 3  24a 2  32a  16 . Ví dụ 2. Cho x là số thực khác 0 . Khai triển các biểu thức sau: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 4  1 a)  x    x 4  1 b)  x   .  x Giải 4 2 3 4  1 1 1 1 1 4 1 a)  x    x 4  4 x3  6 x 2    4 x       x 4  4 x 2  6  2  4 .  x x x x  x x x 4 2 3 4  1 1 1 1 1 4 1 b)  x    x 4  4 x3  6 x 2    4 x       x 4  4 x 2  6  2  4 .  x x x x x x x Ví dụ 3. Khai triển các biểu thức sau: a) (2 x  1)5 b) (2 x  1)5 . Giải a) (2 x  1)5  (2 x)5  5  (2 x) 4 1  10  (2 x )3 12  10  (2 x)2 13  5  (2 x) 14  15  32 x 5  80 x 4  80 x 3  40 x 2  10 x  1 . b) (2 x  1)5  (2 x)5  5  (2 x) 4 1  10  (2 x )3 12  10  (2 x) 2 13  5  (2 x) 14  15  32 x 5  80 x 4  80 x 3  40 x 2  10 x  1 . Vấn đề 2. Xác định hệ số của x k trong khai triển biểu thức ( ax  b) n với n  4 , n  5 Ví dụ 4. Xác định hệ số của x3 trong khai triển biểu thức (3 x  4) 4 . Giải Số hạng chứa x3 trong khai triển biểu thức (3 x  4)4 là 4  (3 x)3  ( 4)  432 x3 . Vậy hệ số của x3 trong khai triển biểu thức (3 x  4) 4 là 432 . Ví dụ 5. Xác định hệ số của x 2 trong khai triển biểu thức (3 x  2)5 . Giải Số hạng chứa x 2 trong khai triển biểu thức (3 x  2)5 là 10  (3 x)2  ( 2)3  720 x 2 . Vậy hệ số của x 2 trong khai triển biểu thức (3 x  2) 5 là 720 . PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN CÂU HỎI TỰ LUẬN Câu 1. Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh thành một hàng dọc? Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt lập từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6 ? Câu 3. Cho tập A  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số phân biệt sao cho các số này lẻ và không chia hết cho 5 ? Câu 4. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh (mỗi em một ghế) ngồi vào 5 ghế trong một dãy 8 ghế? Câu 5. Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn 1 cái bút và 1 quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn? Câu 6. Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó? Câu 7. Cho hai đường thẳng d1 và d 2 song song với nhau. Trên d1 lấy 3 điểm phân biệt, trên d 2 lấy 4 điểm phân biệt. Số véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trên là bao nhiêu? Câu 8. Từ các số 0, 1, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau? Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU 1 1 1 1 99 Câu 9. Với n  , n  2 và thỏa mãn 2  2  2  ...  2  . Tính giá trị của biểu thức C2 C3 C4 Cn 50 101n  15 P . 5 Câu 10. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng abc với a , b , c  0;1; 2;3; 4;5; 6 sao cho a  b  c . Câu 11. Để khen thưởng cho học sinh trong lớp có thành tích cao trong học kỳ I. Cô giáo mua 5 quyển sổ và 3 hộp bút ( các quyển sổ giống nhau, các hộp bút giống nhau) để phát cho 8 bạn có thành tích cao trong lớp. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách phát, biết mỗi bạn chỉ nhận được một phần thưởng. Câu 12. Một túi có 20 viên bi khác nhau trong đó có 7 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Số cách lấy ra 3 viên bi không cùng một màu là bao nhiêu? Câu 13. Cho hai đường thẳng d1 và d 2 song song với nhau. Trên d1 lấy 5 điểm phân biệt, trên d 2 lấy 4 điểm phân biệt. Số tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm có được từ các điểm trên là bao nhiêu? Câu 14. Cho đa giác đều có 2020 đỉnh. Số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 trong số 2020 điểm là đỉnh của đa giác đã cho là bao nhiêu? Câu 15. Một lớp học có 20 nam và 26 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban cán sự gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong ban cán sự có ít nhất một nam. Câu 16. Số tất cả các hình tam giác trong hình vẽ bên là bao nhiêu  Câu 17. Cho tứ diện ABCD . Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD ? Câu 18. Cho tập hợp S gồm 5 chữ số 1, 2, 3, 7, 8 . Lập các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt lấy từ tập S . Tính tổng tất cả các số lập được. Câu 19. Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn? Câu 20. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ? Câu 21. Trong mặt phẳng có 2017 đường thẳng song song với nhau và 2018 đường thẳng song song khác cùng cắt nhóm 2017 đường thẳng đó. Đếm số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các giao điểm nói trên. Câu 22. Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 18 học sinh nam. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 5 học sinh của lớp đi dự lễ sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn ? Câu 23. Từ 30 câu hỏi trắc nghiệm gồm 15 câu dễ, 9 câu trung bình và 6 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra ? 2 16 Câu 24. Khai triển nhị thức (2x  3) có bao nhiêu số hạng? 4 5 Câu 25. Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  2  3x  là bao nhiêu? Câu 26. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000 được lập từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 ? Câu 27. Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số? Câu 28. An muốn qua nhà Bình để cùng bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường? Câu 29. Tính số cách xếp 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý và 3 quyển sách Hóa lên một giá sách theo từng môn. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 30. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau? Câu 31. Cho tập A  0;1; 2;3; 4;5;6 từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chia hết cho 2 ? Câu 32. Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 học sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ? Câu 33. Trong kho đèn trang trí đang còn 5 bóng đèn loại I, 7 bóng đèn loại II, các bóng đèn đều khác nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra 5 bóng đèn bất kỳ. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II? Câu 34. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chọn từ tập A  1; 2;3; 4;5 sao cho mỗi số lập được luôn có mặt chữ số 3 Câu 35. Có tất cả bao nhiêu cách chia 10 người thành hai nhóm, một nhóm có 6 người và một nhóm có 4 người? Câu 36. Cho tập A có n phần tử. Biết rằng số tập con có 7 phần tử của A bằng hai lần số tập con có 3 phần tử của A . Tìm n ? 1 Câu 37. Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện. 720  C77  C87  C97  ...  Cn   7 10 An 1 . Hệ số của 4032 n  1 x 7 trong khai triển  x  2   x  0  bằng bao nhiêu.  x  5 Câu 38. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn của biểu thức  x  y  . 5 Câu 39. Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức  2 x  3 bằng bao nhiêu? 8  8 Câu 40. Trong khai triển nhị thức:  x  3  , tìm số hạng không chứa x  x  Câu 41. Cho một đa giác đều n đỉnh  n  2, n    . Tìm n biết số hình chữ nhật được tạo ra từ bốn đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác đó là 45 . 4 5 Câu 42. Cho khai triển  x  2   x  1  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a9 x9 . Tìm hệ số a6 . Câu 43. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3? Câu 44. Cho tam giác ABC . Trên mỗi cạnh AB, BC , CA lấy 9 điểm phân biệt và không có điểm nào trùng với 3 đỉnh A, B, C . Hỏi từ 30 điểm đã cho ( tính cả các điểm A, B, C ) lập được bao nhiêu tam giác. 0 1 2 2019 2020 Câu 45. Tính tổng S  C2020  2C2020  3C2020  .....  2020C2020  2021C2020 Câu 46. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó chứa các chữ số 3 , 4 , 5 và chữ số 4 đứng cạnh chữ số 3 và chữ số 5 ? Câu 47. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. Câu 48. Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 5 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 4? LƠI GIẢI THAM KHẢO Câu 1. Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh thành một hàng dọc? Lời giải Số cách xếp cần tìm là: P7  7!  5040 . Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt lập từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6 ? Lời giải Số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt lập từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6 là số hoán vị của 6 chữ số: 6!  720 . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  9. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU Câu 3. Cho tập A  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số phân biệt sao cho các số này lẻ và không chia hết cho 5 ? Lời giải Gọi số tự nhiên có 8 chữ số phân biệt là : a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 Do các số cần lập là số lẻ và không chia hết cho 5 nên chọn a8 có 3 cách, a8  1;3;7 . Xếp 7 số vào 7 vị trí còn lại có 7! cách. Vậy, có 3.7!  15120 số cần lập. Câu 4. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh (mỗi em một ghế) ngồi vào 5 ghế trong một dãy 8 ghế? Lời giải Số cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh (mỗi em một ghế) ngồi vào 5 ghế trong một dãy 8 ghế là A85 . Câu 5. Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn 1 cái bút và 1 quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn? Lời giải Số cách chọn 1 cái bút có 10 cách, số cách chọn 1 quyển sách có 8 cách. Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn 1 cái bút và 1 quyển sách là: 10.8  80 cách. Câu 6. Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó? Lời giải 2 Số cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó là A10 . Câu 7. Cho hai đường thẳng d1 và d 2 song song với nhau. Trên d1 lấy 3 điểm phân biệt, trên d 2 lấy 4 điểm phân biệt. Số véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trên là bao nhiêu? Lời giải Mỗi véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trong 7 điểm trên là một chỉnh hợp chập 2 của 7 điểm suy ra có A72 Câu 8. Từ các số 0, 1, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau? Lời giải Gọi số cần lập là abcde Do a  0 nên có 4 cách chọn a Mỗi cách chọn bcde là một hoán vị của 4 nên có 4! cách chọn bcde Vậy tất cả có 4.4!  96 . 1 1 1 1 99 Câu 9. Với n  , n  2 và thỏa mãn 2  2  2  ...  2  . Tính giá trị của biểu thức C2 C3 C4 Cn 50 101n  15 P . 5 Lời giải 1 1 1 1 99 Ta có 2  2  2  ...  2   0!2! 1!2! 2!2!    ...   n  2 !2!  99 C2 C3 C4 Cn 50 2! 3! 4! n! 50  1 1 1 1  99  1 1 1 1 1 1 1  99  1.2  2.3  3.4  ...   n  1 n   50  2!1  2  2  3  3  4  ...  n  1  n   50  2!       1  99 1 1  2!1       n  100 . Vậy P  2023  n  50 n 100 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 10. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng abc với a , b , c  0;1; 2;3; 4;5;6 sao cho a  b  c . Lời giải Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng abc với a , b , c  0;1; 2;3; 4;5;6 sao cho a  b  c nên a , b , 3 c  1; 2;3; 4;5; 6 . Suy ra số các số có dạng abc là C6  20 . Câu 11. Để khen thưởng cho học sinh trong lớp có thành tích cao trong học kỳ I. Cô giáo mua 5 quyển sổ và 3 hộp bút ( các quyển sổ giống nhau, các hộp bút giống nhau) để phát cho 8 bạn có thành tích cao trong lớp. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách phát, biết mỗi bạn chỉ nhận được một phần thưởng. Lời giải 5 + Chọn 5 học sinh trong 8 học sinh có: C8 ( cách). + Phát 5 quyển sổ cho 5 học sinh đã chọn có: 1 ( cách). + Phát 3 hộp bút cho 3 học sinh còn lại só: 1 ( cách). 5 5 Vậy có tất cả: C8 .1.1  C8 ( cách). Câu 12. Một túi có 20 viên bi khác nhau trong đó có 7 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Số cách lấy ra 3 viên bi không cùng một màu là bao nhiêu? Lời giải 3 Số cách lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là C20 cách. Số cách lấy 3 viên bi cùng một màu là C7  C83  C5 cách. 3 3 3 3 3 3 Số cách lấy ra 3 viên bi không cùng một màu là C20  C7  C8  C5 Câu 13. Cho hai đường thẳng d1 và d 2 song song với nhau. Trên d1 lấy 5 điểm phân biệt, trên d 2 lấy 4 điểm phân biệt. Số tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm có được từ các điểm trên là bao nhiêu? Lời giải TH1: d1 chọn 2 điểm, d 2 chọn 1 điểm suy ra có C52 .C4  40 1 1 2 TH2: d1 chọn 1 điểm, d 2 chọn 2 điểm suy ra có C5 .C4  30 Vậy có 40  30  70 cách chọn. Câu 14. Cho đa giác đều có 2020 đỉnh. Số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 trong số 2020 điểm là đỉnh của đa giác đã cho là bao nhiêu? Lời giải Đa giác đều 2020 đỉnh có 1010 đường chéo qua tâm, cứ hai đường chéo qua tâm cho ta một hình 2 chữ nhật. Vậy số cách chọn ra 4 đỉnh tạo thành hình chữ nhật là C1010 Câu 15. Một lớp học có 20 nam và 26 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban cán sự gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong ban cán sự có ít nhất một nam. Lời giải 3 Có C46 cách chọn ba học sinh trong lớp. 3 Có C26 cách chọn ban cán sự không có nam (ta chọn nữ cả). 3 3 Do đó, có C46  C26  12580 cách chọn ban cán sự trong đó có ít nhất một nam được chọn. Câu 16. Số tất cả các hình tam giác trong hình vẽ bên là bao nhiêu Lời giải Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU Mỗi tam giác ở phần trên được tạo thành bởi cạnh đáy (cạnh ngang) và hai trong năm cạnh. Do đó số tam giác ở phần trên là C52  10 . Mỗi tam giác ở phần dưới được tạo thành bởi cạnh đáy (cạnh ngang) và hai trong tám cạnh. Do đó số tam giác ở phần dưới là C82  28 . Vậy số tam giác trong hình là 38.  Câu 17. Cho tứ diện ABCD . Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD ? Lời giải  Số vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD là. A42  12 . Câu 18. Cho tập hợp S gồm 5 chữ số 1, 2, 3, 7,8 . Lập các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt lấy từ tập S . Tính tổng tất cả các số lập được. Lời giải Số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ tập A  1, 2,3,7,8 có A53  60 số Mỗi chữ số có mặt trong 1 số như trên được lặp lại A42  12 lần Khi đó tổng tất cả các số lập được là S  12(1  2  3  7  8)(102  10  1)  27972 . Câu 19. Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn? Lời giải 5  Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh C9 cách. 5 5 5  Số cách chọn 5 học sinh chỉ có 2 lớp: C7  C6  C5 Vậy số cách chọn 5 học sinh có cả 3 lớp là C9   C7  C6  C5   98 . 5 5 5 5 Câu 20. Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ? Lời giải Gọi số cần tìm dạng: abcd ,  a  0  . 3  Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau: 4.A4  96 số.  Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5: A4  3. A32  42 . 3  Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau không chia hết cho 5 là: 96  42  54 số. Câu 21. Trong mặt phẳng có 2017 đường thẳng song song với nhau và 2018 đường thẳng song song khác cùng cắt nhóm 2017 đường thẳng đó. Đếm số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các giao điểm nói trên. Lời giải Mỗi hình bình hành tạo thành từ hai cặp cạnh song song nhau. Vì vậy số hình bình hành tạo thành chính là số cách chọn 2 cặp đường thẳng song song trong hai nhóm đường thẳng trên. 2 Chọn 2 đường thẳng song song từ 2017 đường thẳng song song có C2017 (cách). 2 Chọn 2 đường thẳng song song từ 2018 đường thẳng song song có C2018 (cách). 2 2 Vậy có C2017 .C2018 (hình bình hành). Câu 22. Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 18 học sinh nam. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 5 học sinh của lớp đi dự lễ sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn ? Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 5 Số cách chọn 5 học sinh bất kì là C30 . 5 Số cách chọn 5 học sinh nam là C18 . 5 Số cách chọn 5 học sinh nữ là C12 . 5 5 5  Số cách chọn 5 học sinh có cả nam lẫn nữ là C30  C18  C12  133146 . Câu 23. Từ 30 câu hỏi trắc nghiệm gồm 15 câu dễ, 9 câu trung bình và 6 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra ? Lời giải 10 Số cách chọn 1 đề gồm 10 câu bất kì là C30 . 10 Số cách chọn 1 đề gồm 10 câu dễ hoặc trung bình là C24 10 Số cách chọn 1 đề gồm 10 câu dễ hoặc khó là C21 10 Số cách chọn 1 đề gồm 10 câu khó hoặc trung bình là C15 10 Số cách chọn 1 đề gồm 10 câu dễ là C15  Số cách chọn 1 đề gồm 10 câu có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó là C30   C24  C21  C15   C15   27731043 . 10  10 10 10 10  2 16 Câu 24. Khai triển nhị thức (2 x  3) có bao nhiêu số hạng? Lời giải Khai triển nhị thức (a  b)n (n * ) thì có n  1 số hạng nên khai triển nhị thức (2x  3) sẽ có 2 16 17 số hạng. 4 5 Câu 25. Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  2  3x  là bao nhiêu? Lời giải 5 k  2  3x  có công thức số hạng tổng quát là. C5k .25  k .  3 x   C5k .2 5 k .3k .x k . 4 54 4 4 4 Với k  4 , ta được số hạng C5 .2 .3 .x  810 x . 4 5 Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  2  3x  là 810 . Câu 26. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000 được lập từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 ? Lời giải Các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 bao gồm các số tự nhiên có 1, 2 , 3 chữ số. Gọi số cần tìm là abc  a, b, c  0;1; 2;3; 4  (không nhất thiết các chữ số đầu tiên phải khác 0 ). a có 5 cách chọn. b có 5 cách chọn. c có 5 cách chọn. Vậy có 5.5.5  125 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 27. Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số? Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là n  abcd , trong đó a, b, c, d  0,1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9 và a  0 . Ta có a có 9 cách chọn; b, c, d mỗi số có 10 cách chọn. Vậy có cả thảy 9.103  9000 số cần tìm. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU Câu 28. An muốn qua nhà Bình để cùng bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường? Lời giải Công việc được chia làm hai bước: * Bước 1: Đi từ nhà An tới nhà Bình, có 4 cách. * Bước 2: Đi từ nhà Bình tới nhà Cường, có 6 cách. Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách thực hiện công việc là: 4  6  24 . Câu 29. Tính số cách xếp 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý và 3 quyển sách Hóa lên một giá sách theo từng môn. Lời giải Các bước thực hiện: * Bước 1: Chọn vị trí cho từng môn học  Có 3! cách. * Bước 2: Xếp sách toán vào  Có 5! cách. * Bước 3: Xếp sách toán vào  Có 4! cách. * Bước 4: Xếp sách toán vào  Có 3! cách. Áp dụng quy tắc nhân ta có tổng số cách xếp là: 5!.4!.3!.3! cách. Câu 30. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau? Lời giải Giả sử số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau là abcd . Khi đó: d có 5 cách chọn. a có 8 cách chọn. Số các số là: 5.8. A82  2240 (số). Vậy số các số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau là 2240 số. Câu 31. Cho tập A  0;1; 2;3; 4;5;6 từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và chia hết cho 2 ? Lời giải Gọi số có 5 chữ số cần tìm là x  a1a2 a3a4 a5 ; a1 , a2 , a3 , a4 , a5  A; a1  0; a5  0;2; 4;6 . Công việc thành lập số x được chia thành các bước: - Chọn chữ số a1 có 6 lựa chọn vì khác 0 . - Chọn các chữ số a2 , a3 , a4 , mỗi chữ số có 7 lựa chọn. - Chọn chữ số a5 có 4 lựa chọn vì số tạo thành chia hết cho 2 . Số số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 6.73.4  8232 (số). Câu 32. Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 học sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ? Lời giải Xếp 4 học sinh nam thành hàng dọc có 4! cách xếp. Giữa 4 học sinh nam có 5 khoảng trống ta xếp các bạn nữ vào vị trí đó nên có 5! cách xếp. Theo quy tắc nhân có 4!5!  2880 cách xếp thoả mãn bài ra. Câu 33. Trong kho đèn trang trí đang còn 5 bóng đèn loại I, 7 bóng đèn loại II, các bóng đèn đều khác nhau về màu sắc và hình dáng. Lấy ra 5 bóng đèn bất kỳ. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra số bóng đèn loại I nhiều hơn số bóng đèn loại II? Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Có 3 trường hợp xảy ra: TH1: Lấy được 5 bóng đèn loại I: có 1 cách TH2: Lấy được 4 bóng đèn loại I, 1 bóng đèn loại II: có C54 .C7 cách 1 TH3: Lấy được 3 bóng đèn loại I, 2 bóng đèn loại II: có C53 .C72 cách Theo quy tắc cộng, có 1  C54 .C7  C5 .C72  246 cách 1 3 Câu 34. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chọn từ tập A  1; 2;3; 4;5 sao cho mỗi số lập được luôn có mặt chữ số 3 Lời giải Gọi số tạo thành có dạng x  abc , với a , b , c đôi một khác nhau và lấy từ A . Chọn một vị trí a, b hoặc c cho số 3 có 3 cách chọn. 2 Chọn hai chữ số khác 3 từ A và sắp xếp vào hai vị trí còn lại của x có A4 cách. 2 Theo quy tắc nhân có 3. A4  36 cách. Mỗi cách sắp xếp như trên cho ta một số thỏa yêu cầu. Vậy có 36 số cần tìm. Câu 35. Có tất cả bao nhiêu cách chia 10 người thành hai nhóm, một nhóm có 6 người và một nhóm có 4 người? Lời giải 6 Số cách phân nhóm 6 người trong 10 người là C10 . Sau khi phân nhóm 6 người còn lại 4 người 6 được phân nhóm vào nhóm còn lại. Vậy có C10  210 cách. Câu 36. Cho tập A có n phần tử. Biết rằng số tập con có 7 phần tử của A bằng hai lần số tập con có 3 phần tử của A . Tìm n ? Lời giải 7 Số tập con có 7 phần tử của A là Cn . 3 Số tập con có 3 phần tử của A là Cn . Theo đề bài ta có phương trình 7 3 n! n! Cn  2Cn  2   n  3 n  4  n  5  n  6   2.7.6.5.4  n  7 !7!  n  3!3!   n  3 n  4  n  5  n  6   5.6.7.8  n  11 . Chú ý: Ta có thể giải phương trình trên chi tiết như sau  n  3 n  6  n  4  n  5  1680   n2  9n  18 n2  9n  20   1680 2  n 2  9n  22  n  11   n 2  9n   38  n 2  9n   1320  0   2  .  n  9n  60  n  2 Vì n  7 , n   nên nhận n  11 . 1 Câu 37. Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện. 720  C77  C87  C97  ...  Cn   7 10 An 1 . Hệ số của 4032 n  1 x 7 trong khai triển  x  2   x  0  bằng bao nhiêu.  x  Lời giải Áp dụng công thức. Cn 1  Cn  Cn 1  Cn 1  Cn 1  Cn , k  1, n ; k , n  * , ta được. k k k k k k C7  C87  C97  ...  Cn  C7   C9  C8    C10  C9   ...   Cn  Cn 1    Cn 1  Cn   Cn 1 . 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 1 1 Do đó. 720  C77  C87  C97  ...  Cn   7 10 8 An 1  720Cn 1  10 An 1  n  16 . 4032 4032 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU 16 16 k 16  1  16  k  1  k Có.  x  2    C16  x    2    C16  1 x163k . k k  x  k 0  x  k 0 Số hạng trong khai triển chứa x 7 ứng với 16  3k  7  k  3 . 3 3 Vậy hệ số của x 7 là C16  1  560 . 5 Câu 38. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn của biểu thức  x  y  . Lời giải 5  x  y  C50 x5  C5 x 4 y  C52 x3 y 2  C53 x 2 y 3  C54 xy 4  C5 y 5 1 5  x 5  5 x 4 y  10 x 3 y 2  10 x 2 y 3  5 xy 4  y 5 5 Câu 39. Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức  2 x  3 bằng bao nhiêu? Lời giải 5 5 4 3 2 5 Ta có  2 x  3  C  2 x   C  2 x   3  C52  2 x   3  ...  C5  3 0 5 1 5 5 Tổng các hệ số trong khai triển 0 2021 1 2020 2 2019 2 2021 2021 là: S  C2021  2   C2021  2   3  C2021  2   3  ...  C2021  3  5 5 4 3 2 5 Cho x  1   2.1  3  C50  2   C5  2   3  C52  2   3  ...  C5  3 1 5  S  1 . 8  8 Câu 40. Trong khai triển nhị thức:  x  3  , tìm số hạng không chứa x  x  Lời giải k k 8 k 8 k k 8 4 k Ta có số hạng tổng quát trong khai triển là: C x 8  3   C8 8 x x  Ta có: x84k  x0  8  4k  0  k  2 . Vậy số hạng không chứa x là C82 .82  1792 . Câu 41. Cho một đa giác đều n đỉnh  n  2, n    . Tìm n biết số hình chữ nhật được tạo ra từ bốn đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác đó là 45 . Lời giải Do đa giác đều nên đa giác đó nội tiếp trong một đường tròn và có n đường chéo đi qua tâm O của đường tròn. Chọn 2 đường chéo khác nhau đi qua tâm thì 4 đỉnh của đường chéo cho ta một 2 hình chữ nhật. Vậy có Cn hình chữ nhật. 2 n  n  1 Theo đề bài ta có: Cn  45   45  n  10 . 2 4 5 Câu 42. Cho khai triển  x  2   x  1  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a9 x9 . Tìm hệ số a6 . Lời giải 4 5 4 5 Ta có:  2  x  1  x    C4 x k 2 4 k. C5m x m . k k 0 m0 Số hạng tổng quát của khai triển là: C4 C5m x k  m . k Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
  16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ k  m  6  m  2, k  4 0  k  4  m  3, k  3   Hệ số a6 ứng với  . Suy ra ta có: . 0  m  5  m  4, k  2 m, k  *    m  5, k  1 Vậy hệ số cần tìm là: a6  C4 C52 20  C4 C5 2  C4 C54 22  C4C5 23  242 . 4 3 3 2 1 5 Câu 43. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3? Lời giải Số tự nhiên cần tìm thỏa mãn đầu bài có dạng a1a2 a3a4 a5 a6 a7 , trong đó ai ai 1ai  2 có dạng 123 hoặc 321 với i  1, 2,3, 4,5 . +) Trường hợp 1. Xét i  1 , khi đó a1a2 a3 có dạng 123 hoặc 321 , 4 chữ số còn lại được chọn từ tập 0, 4,5,6,7,8,9 có A74 cách chọn suy ra có 2. A74  1680 số. +) Trường hợp 2. Xét i  1 , khi đó a1 có 6 cách chọn từ tập 4,5, 6, 7,8,9 , ai ai 1ai  2 có 2.4 cách chọn, 3 chữ số còn lại được chọn từ tập 0, 4,5,6,7,8,9 và khác a1 có A6 cách chọn. 3 3 Suy ra có 6.2.4. A6  5760 số. Vậy có tất cả 1680  5760  7 440 số cần tìm thỏa mãn đầu bài. Câu 44. Cho tam giác ABC . Trên mỗi cạnh AB, BC , CA lấy 9 điểm phân biệt và không có điểm nào trùng với 3 đỉnh A, B, C . Hỏi từ 30 điểm đã cho ( tính cả các điểm A, B, C ) lập được bao nhiêu tam giác. Lời giải Để tạo ra một tam giác ta lấy 3 điểm không thẳng hàng. Ta xét cách lấy ba điểm thẳng hàng thì có ba trường hợp là: 3 điểm thuộc đoạn AB , hoặc 3 điểm thuộc đoạn BC , hoặc 3 điểm thuộc đoạn AC .Trên mỗi đoạn thẳng có 11 điểm nên số cách lấy 3 3 điểm trên mỗi đoạn là C11 . 3 Số cách lấy 3 điểm bất kì trong 30 điểm là C30 . 3 3 Vậy số tam giác được tạo ra từ 30 điểm trên là C30  3.C11  3565 . 0 1 2 2019 2020 Câu 45. Tính tổng S  C2020  2C2020  3C2020  .....  2020C2020  2021C2020 Lời giải k k 1 k Cách 1: Ta có  k  1 Cn  nCn1  Cn (1). Chứng minh (1) k k k VT 1   k  1 Cn  kCn  Cn  n  n  1! k  Cn  k  1!  n  1   k  1 !   k k  nCn 11  Cn  VP 1 Áp dụng: S  C2020   2020C2019  C2020    2020C2019  C2020   .....   2020C2019  C2020  0 0 1 1 2 2019 2020   C2020  C2020  ...  C2020   2020  C2019  C2019  ...  C2019  0 1 2020 0 1 2019  2 2020  2020.22019  2022.22019 . Cách 2: Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  17. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU 0 1 2 2019 2020  S  C  2C  3C  .....  2020C  2020 2020 2020 2020 2021C 2020 Ta có  2020 2019 2018 1 0  S  C2020  2C2020  3C2020  .....  2020C2020  2021C2020   2S  2022  C2020  C2020  ...  C2020  C2020   2022.22020 0 1 2019 2020  S  2022.2 2019 . Câu 46. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó chứa các chữ số 3 , 4 , 5 và chữ số 4 đứng cạnh chữ số 3 và chữ số 5 ? Lời giải Gọi số cần tìm là abcdef . Vì chữ số 4 cạnh chữ số 3 và chữ số 5 nên có 2 lựa chọn là 345 và 543 . TH1: -Nếu abc là 345 , 543 thì có 2 cách sắp xếp. 3 Chọn def : Có A7 cách. 3 Vậy có 2.A7 cách. TH2: - Nếu abc không là 345 và 543 . Chọn a : Có 6 cách (Loại 0, 3, 4, 5 ) Còn lại 6 chữ số, chọn thêm 2 chữ số: Có C62 cách. Ba chữ số 3. 4, 5 cạnh nhau coi là một khối, hoán vị với 2 chữ số vừa lấy thêm có 3! cách. Vậy có 6.C62 .3! cách. Kl: Có 2. A7  6.C62 .3!  1500 số. 3 Câu 47. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. Lời giải Cách 1: Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9 ) và sắp xếp chúng theo thứ tự có A95 cách. Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí). Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0 . 3 Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có C5 cách. Vậy có A95C53  151200 số cần tìm. Cách 2: Gọi số cần tìm có dạng a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 +) Chọn vị trí của 3 chữ số 0 trong 7 vị trí (trừ a1 ). Vì giữa 2 chữ số 0 luôn có ít nhất 1 chữ số khác 0 nên chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để điền các số 0 , sau đó thêm vào giữa 2 số 0 gần nhau 1 vị trí nữa. 3 Suy ra số cách chọn là C5  10. +) Chọn các số còn lại, ta chọn bộ 5 chữ số trong 9 chữ số từ 1 đến 9 , có A95 cách chọn. 5 Vậy có tất cả 10. A9  151200 số cần tìm. Câu 48. Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 5 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 4? Lời giải Số cần tìm có dạng abc (sau đó ta chèn số 154 hoặc 451 vào là thành số có sáu chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
  18. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ a, b, c thuộc vào 0, 2,3, 6, 7,8,9 , do các chữ số khác nhau từng đôi một. *Trường hợp 1: a khác 0  có 6 cách chọn chữ số a có 6 cách chọn chữ số b có 5 cách chọn chữ số c Vậy có 6.6.5  180 số, chèn bộ số 154 hoặc 451 vào 4 vị trí thì có 180.8  1440 số *Trường hợp 2: a  0 tương tự có 6.5  30 số, chèn bộ 143 hoặc 451 vào duy nhất một vị trí (trước chữ số a ) thì có 30.2  60 số Vậy tổng cộng có: 1440  60  1500 số PHẦN 3. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Lớp 11A1 có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp làm lớp trưởng? A. 500. B. 20. C. 25. D. 45. Câu 2. Một công việc được hoàn thành bằng cách chọn một trong hai hành động. Hành động thứ nhất có m cách thực hiện và hành động thứ hai có n cách thực hiện. Số cách hoàn thành công việc đã cho bằng: A. m n . B. m.n . C. m  n . D. n m . Câu 3. Một lớp học có 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh của lớp học sao cho trong 3 bạn được chọn có cả nam và nữ? A. 10350 . B. 3450 . C. 1845 . D. 1725 . Câu 4. Từ một nhóm học sinh gồm 12 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó có 2 nam và 1 nữ ? A. 528 . B. 520 . C. 530 . D. 228 . Câu 5. Trên giá sách có 6 quyển sách Toán khác nhau, 7 quyển sách Văn khác nhau và 8 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Có bao nhiêu cách lấy hai quyển sách thuộc hai môn khác nhau? A. 146 . B. 336 . C. 420 . D. 210 . Câu 6. Từ thành phố A đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B? A. 42 B. 46 C. 48 D. 44 Câu 7. Từ các số 1, 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số. A. 6 . B. 8 . C. 12 . D. 27 . Câu 8. Một quán phục vụ ăn sáng có bán phở và bún. Phở có 2 loại là phở bò và phở gà. Bún có 3 loại là bún bò, bún riêu cua và bún cá. Một khách hàng muốn chọn một món để ăn sáng. Hỏi khách hàng đó có bao nhiêu cách lựa chọn một món ăn sáng? A. 4 . B. 8 . C. 6 . D. 5 . Câu 9. Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc cỡ 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu áo và cỡ áo). A. 9 . B. 5 . C. 4 . D. 1 . Câu 10. Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn 1 cái bút và 1 quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn? A. 90 . B. 80 . C. 70 . D. 60 . Câu 11. Một tổ có 8 bạn nam và 10 bạn nữ. Số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là A. 80 . B. 306 . C. 153 . D. 18 . Câu 12. Từ một nhóm học sinh gồm 6 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh? A. 8 . B. 6 . C. 48 . D. 14 . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  19. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU Câu 13. Một hộp có 8 quả cầu đỏ khác nhau, 9 quả cầu trắng khác nhau, 10 quả cầu đen khác nhau. Số cách lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp là A. 816 . B. 720 . C. 4896 . D. 27 . Câu 14. Từ các số 1, 2, 3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 60 ? A. 30 . B. 17 . C. 2 . D. 0 . Câu 15. Cho 5 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ –không được tạo thành từ 5 điểm trên? A. 10 . B. 25 . C. 15 . D. 20 . Câu 16. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 5; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3. A. 108. B. 36. C. 228. D. 144. Câu 17. Tàu đi từ A đến B có toa ghế ngồi và toa ghế nằm. Toa ghế ngồi có 2 loại cứng và mềm. Toa ghế nằm có loại khoang 4 giửờng và khoang 6 giường. Khoang 4 giường có 2 loại vé tầng 1, tầng 2. Khoang 6 giường có 3 loại vé tầng 1, tầng 2, tầng 3. Hỏi có bao nhiêu cách để mua 1 vé tàu đó? A. 6 . B. 8 . C. 12 . D. 7 . Câu 18. Số hoán vị của một tập hợp gồm 5 phần tử là A. 5! . B. 52 . C. 55 . 5 D. C5 . Câu 19. Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh thành một hàng dọc? A. 88 . B. 8. C. 8!. D. 7! . Câu 20. Số các số có 6 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 34 được lập từ 1; 2; 3; 4; 5; 6 là A. 966 . B. 720 . C. 669 . D. 696 . Câu 21. Có 5 bạn học sinh trong đó có hai bạn Lan và Hồng. Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho hai bạn Lan và Hồng đứng cạnh nhau? A. 48. B. 120. C. 24. D. 6. Câu 22. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số A. 901 . B. 999 . C. 899 . D. 900 . Câu 23. Cho sơ đồ hình cây biểu thị số cách chọn một bộ quần áo từ ba chiếc quần khác màu và bốn chiếc áo khác màu như sau Có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo? A. 7 . B. 3 . C. 4 . D. 12 . Câu 24. Từ thành phố A đến thành phố B có 2 con đường và mỗi con đường này có 2 loại phương tiện di chuyển. Từ thành phố B đến thành phố C có 3 con đường và mỗi con đường này có 3 loại phương tiện di chuyển. Không có con đường nào nối trực tiếp thành phố A với C. Số cách đi khác nhau từ thành phố A đến C là: A. 36 . B. 13 . C. 10 . D. 72 . Câu 25. Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh thành một hàng dọc? A. 49 . B. 5040 . C. 1 . D. 7 . Câu 26. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt lập từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6 ? A. 360 . B. 6 . C. 720 . D. 1 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
  20. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 27. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho bốn bạn học sinh nam và năm bạn học sinh nữ vào chín chiếc ghế kê thành một hàng ngang? A. 9! . B. 9 . C. 4!.5! . D. 45 . Câu 28. Một đội văn nghệ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần chọn ra một bạn nam và một bạn nữ để hát song ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? A. 24 . B. 10 . C. 45 . D. 1. Câu 29. Theo Google Maps, để đi xe máy từ Huế tới Đà Nẵng có 3 con đường, và từ Đà Nẵng đến Quãng Ngãi có 3 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ Huế đến Quãng Ngãi qua Đà Nẵng? A. 6 . B. 1. C. 2 . D. 5 Câu 30. Hỏi từ tập các chữ số 0;1; 2;3; 4;5 . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số? A. 25 . B. 30 . C. 36 . D. 20 . Câu 31. Bạn A có 2 cái quần jeans khác nhau và 1 quần kaki, đồng thời có 3 cái áo sơ mi khác nhau. Hỏi An có bao nhiêu cách phối một bộ đồ? A. 9 . B. 6 . C. 5 . D. 8 . Câu 32. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh từ một nhóm 10 học sinh? A. 5! . 5 B. A10 . 5 C. C10 . D. 105 . Câu 33. Số tập con có 2 phần tử của tập hợp gồm 10 phần tử là A. 45. B. 90. C. 100. D. 20. Câu 34. Cho đa giác đều T  có 12 cạnh. Đa giác T  có bao nhiêu đường chéo? A. 45 . B. 54 . C. 66 . D. 78 . Câu 35. Xét sơ đồ mạng điện như hình vẽ dưới đây có 6 công tắc khác nhau, trong đó mỗi công tắc có 2 trạng thái đóng và mở. Hỏi có bao nhiêu cách đóng – mở 6 công tắc để mạng điện thông mạch từ E đến F A. 32. B. 128. C. 64. D. 15. Câu 36. Hai tổ sản xuất của một nhà máy có 9 công nhân nam và 13 công nhân nữ trong đó có đúng 2 cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 7 người trong số 22 người đó nhưng không có cặp vợ chồng nào? A. 140350. B. 140352. C. 25704. D. 24054. 4 Câu 37. Số các hạng tử trong khai triển nhị thức  2 x  3 là A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 5 . 9 Câu 38. Hệ số của x7 trong khai triển của  3  x  là A. C97 . B. 9C97 . C. 9C97 . D. C97 . 14  1  Câu 39. Cho khai triển Newton  x  2  với x  0 . Số hạng không chứa x là  x x A. 2018 . B. 1001 . C. 1000 . D. 2019 . Câu 40. Cho tam giác ABC . Trên mỗi cạnh AB , BC , CA lấy 9 điểm phân biệt và không có điểm nào trùng với 3 đỉnh A, B, C . Hỏi từ 30 điểm đã cho ( tính cả các điểm A, B, C ) lập được bao nhiêu tam giác. A. 3565 . B. 2565 . C. 5049 . D. 4060 . Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.03: Bộ 400 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2021
400 tài liệu
955 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
13=>1