ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI MÔN: ĐẠI SỐ Mã môn học: MATH 141401 Ngày thi: 30/12/2014. Thời gian làm bài: 90 phút Sinh viên được sử dụng tài liệu

Chú ý: Đề thi có 14 ý, mỗi ý 1 điểm. Sinh viên chỉ được chọn 10 ý để làm bài.

Câu 1: Cho các ma trận .

a/ (1điểm) Tìm m để hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm.

b/ (1điểm) Với , tính .

Câu 2: Cho là m t cơ s c a và

là m t cơ s c a . Cho ánh xạ tuyến tính

được xác định b i .

a/ (1điểm) Tìm m t cơ s và số chiều c a b/ (1điểm) Tìm ma trận c a ánh xạ tuyến tính . đối với cặp cơ s .

c/ (1điểm) Trong cho tích vô hướng . Hãy trực giao cơ s E.

Câu 3: Cho ma trận và .

a/ (1điểm) Tìm tất cả các giá trị riêng và vectơ riêng c a ma trận A. b/ (1điểm) Đưa ạng toàn phương về ạng chính t c b ng ph p biến

đ i trực giao. c/ (1điểm) Đưa ạng toàn phương về ạng chính t c b ng ph p biến đ i trực giao.

Câu 4: Cho ánh xạ xác định b i ,

với là tập số nguyên và tập .

) là m t ph p toán hai ngôi trên .

cùng với ph p toán (với mọi là m t nhóm Abel (nhóm Abel là nhóm giao hoán).

a/ (1điểm) Chứng minh quy t c b/ (1điểm) Chứng minh c/ (1điểm) Chứng minh ánh xạ là m t song ánh.

d/ (1điểm) Chứng minh là m t đồng cấu từ nhóm (nhóm các số nguyên với phép cộng các số

nguyên) vào nhóm . Từ đó suy ra là m t đẳng cấu nhóm.

Câu 5: Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy đẳng nếu .

a/ (1điểm) Chứng tỏ r ng là ma trận lũy đẳng. Ma trận A có khả nghịch không?

b/ (1điểm) Chứng minh r ng nếu là các ma trận lũy đẳng và thì cũng là ma

trận lũy đẳng. CBCT không giải thích đề thi. Ngày tháng năm B môn Toán