Học viện Nông nghiệp Việt Nam Khoa CNTT - Bộ môn Toán

Đề số 09 Ngày thi: 30/8/2015

ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015 Học phần: Giải tích Thời gian làm bài: 90 phút Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu

ln(

80

).

(cid:16)

(cid:14)

(cid:32)

)( xf

2x

Câu 1 (Phép tính vi phân hàm một biến: 2,0 điểm)

)(' xf

Biết rằng nếu giá bán một sản phẩm là x đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu được xác định bởi: 64 x

a) Tính đạo hàm của hàm cầu b) Tính vi phân của hàm f tại điểm . )(xf . Nếu ta tăng giá mỗi sản phẩm 0,01 đơn vị tiền so với 4(cid:32)x

giá ban đầu là 4 đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ là bao nhiêu?

3

Câu 2 (Độ dài đường cong: 2,0 điểm)

arctan

(cid:32)

)( xg

x

(cid:16)(cid:14) x

. x

1 4

('[1

1 3 a) Tính đạo hàm

Cho hàm số

2xg(cid:14) .)]

)(' xg

)(xg

của hàm số . Từ đó tính

;1(

)

(cid:16)

y (cid:32)

)(xg

)0;0(O

A

4 3

(cid:83) 16

với . b) Tính độ dài đường cong OAcho bởi phương trình và

yx,

Câu 3 (Cực trị hàm nhiều biến: 2,0 điểm)

h(x, y) =125x + 70y 2x2 xy y2 +15.

Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng của một chu kỳ sản xuất là x và y . Lợi nhuận thu được khi sản xuất hai loại sản phẩm nói trên ứng với mức sản lượng là hàm hai biến h(x, y) xác định như sau:

yx, để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.

Hãy tìm mức sản lượng

2(

.0

(

(cid:32)

(cid:16)

(cid:14)

Câu 4 (Phương trình vi phân: 3,0 điểm)

x

x

Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau: ) dyy

(cid:14)(cid:102)

2(

n

a) )2 (cid:14) dxy b) y" y' 6y = xe x. Câu 5 ( Sự hội tụ của chuỗi số: 1,0 điểm)

n 3)1 (cid:14) ! n

1 (cid:32)

n

Xét sự hội tụ của chuỗi số (cid:166) (Gợi ý: áp dụng dấu hiệu Đa-lăm-be).

……………………………. Hết …………………………….

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Cán bộ ra đề Nguyễn Văn Hạnh Nguyễn Hữu Hải

Duyệt đề Phạm Việt Nga

Học viện Nông nghiệp Việt Nam Khoa CNTT - Bộ môn Toán

Đề số 10 Ngày thi: 30/8/2015

ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015 Học phần: Giải tích Thời gian làm bài: 90 phút Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu

ln(

95

).

(cid:16)

(cid:14)

(cid:32)

)( xf

2x

Câu 1 (Phép tính vi phân hàm một biến: 2,0 điểm)

)(' xf

Biết rằng nếu giá bán một sản phẩm là x đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu được xác định bởi: 75 x

)(xf 5(cid:32)x

. . Nếu ta tăng giá mỗi sản phẩm 0,02 đơn vị tiền so với a) Tính đạo hàm của hàm cầu b) Tính vi phân của hàm f tại điểm

giá ban đầu là 5 đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ là bao nhiêu?

3

Câu 2 (Độ dài đường cong: 2,0 điểm)

arctan

(cid:32)

(cid:14)

(cid:16)

x

x

)( xg

. x

('[1

1 4 của hàm số

Cho hàm số

2xg(cid:14) .)]

)(' xg

)(xg

. Từ đó tính

;1(

(cid:16)

y (cid:32)

)(xg

)0;0(O

A

1 12 a) Tính đạo hàm b) Tính độ dài đường cong OAcho bởi phương trình

1 3

(cid:83) ) 4

với . và

Câu 3 (Cực trị hàm nhiều biến: 2,0 điểm)

h(x, y) = 85x +80y x2 xy y2 + 20. yx, để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.

Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng của một chu kỳ sản xuất là x và y . Lợi nhuận thu được khi sản xuất hai loại sản phẩm nói trên ứng với mức sản lượng x, ylà hàm hai biến h(x, y) xác định như sau:

)2

2(

.0

(

(cid:16)

(cid:14)

(cid:16)

dxy

x

x

Hãy tìm mức sản lượng Câu 4 (Phương trình vi phân: 3,0 điểm)

n

(cid:14)(cid:102)

3( n

Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau: a) ) (cid:32) dyy b) y"+ y' 6y = (2x +1)e x. Câu 5 ( Sự hội tụ của chuỗi số: 1,0 điểm)

2)1 (cid:14) ! n

1 (cid:32)

n

(Gợi ý: áp dụng dấu hiệu Đa-lăm-be). Xét sự hội tụ của chuỗi số (cid:166)

……………………………. Hết …………………………….

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Cán bộ ra đề Nguyễn Văn Hạnh Nguyễn Hữu Hải Duyệt đề Phạm Việt Nga

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015 Học phần: Giải tích Thời gian làm bài: 90 phút Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu

(cid:32)

(cid:16)

)(' xf

2

Điểm a Tính đạo hàm 4*0,25

60 (cid:16) 2 x )4( (cid:16)(cid:32)

df

Vi phân tại x = 4 là 0.25+0.25 Đáp án vắn tắt 2 x 80 (cid:16) x 125,4 dx

Học viện Nông nghiệp Việt Nam Khoa CNTT - Bộ môn Toán Đề số: 09 - Ngày thi 30/08/2015 (Người ra đề: Nguyễn Văn Hạnh) Câu 1 (2đ)

b Nếu dx = 0,01 thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ 0,04125 0.25+0.25

2

(cid:32)

1 (cid:16)(cid:14)

)(' xg

x

1 2

(4

)1

(cid:14)

x

a 0.25+0.25 Tính đạo hàm 2 (2đ)

2

('[1

2 )]

2 ]

(cid:14)

[1 (cid:14)(cid:32)

1 (cid:16)(cid:14)

xg

x

1 2

(4

)1

(cid:14)

x

2

[

2 ]

(cid:32)

1 (cid:14)(cid:14)

x

1 2

0.25

(4

)1

(cid:14)

x

1

1

0.25

2

('[1

2 )]

[

(cid:32)

(cid:14)

(cid:32)

1 (cid:14)(cid:14)

l

xg

dx

x

] dx

2

b 0.25+0.25 Đô dài

(cid:179)

(cid:179)

1(4

)

1 (cid:14)

x

0

0

1

3

[

arctan

]

(cid:32)

(cid:14)(cid:14) x

l

x

x

1 4

(cid:83) 16

125

4

70

2

0 (cid:16)

(cid:32)

(cid:16)

(cid:32)

x

(cid:16)(cid:16) x

y

0.25+0.25

1 3 Tính ' ),( yxh x Điểm dừng

4 (cid:14)(cid:32) 3 ' ; ),( yxhy y 0),(

180

;7/

7/155

(cid:32)

(cid:32)(cid:159)(cid:32)

(cid:32)

x

y

0.25+0.25 3 (2đ) 0.25+0.25

;4

;1

(cid:16)(cid:32)

(cid:16)(cid:32)

2 (cid:16)(cid:32)

' ' ),( yxh yxh x y " " ),( ),( yxh yxh xx xy )7/155;7/180(

;4

" ),( yxh yy )7/155;7/180(

;1

)7/155;7/180(

(cid:16)(cid:32)

(cid:16)(cid:32)

2 (cid:16)(cid:32)

Tính 0.25

" (cid:32) hA xx

" (cid:32) hB xy

" (cid:32) hC yy

2

04

;0

(cid:16)

7 (cid:33)(cid:32)

(cid:31)(cid:16)(cid:32)

0.25

B

A

AC được tối đa nếu mức sản lượng x = 180/7 và y = 155/7.

nên h đạt cực đại tại (180/7 ;155/7). Vậy lợi nhuận đạt 0.25+0,25

'

(cid:32)

y

(cid:16) 2

y (cid:14)

2 y

x x

Đặt y = ux

' (cid:32)(cid:14)(cid:159) xu

u

a 0.25 4 (3đ)

2 1 (cid:16) u 2 (cid:14) u

(cid:16)(cid:32)

0.25

dx x

( (cid:14) u 2 u

0.25+0,25

2

(cid:14)

(cid:16)(cid:32)

0.25

(cid:179)

(cid:179)

(cid:179)

1

)1 (cid:14) 1 (cid:14)

du 2 (cid:14)

u

dx x

2

2

ln

21

arctan

ln

ln

2

arctan

(cid:14)(cid:14)

(cid:14)

(cid:156)(cid:32)

(cid:14)

(cid:14)

(cid:32)

Cx

x

y

C

2

1 2

y x

y x

2

06

;2

3

(cid:16)(cid:32)(cid:156)(cid:32)(cid:16)(cid:16)

(cid:32)

)2 du 1 (cid:14) 2 ( 1 ud 2 2 u 2 1 y 2 x b Ptđt:

0.25

k

k

k

k

2

3

(cid:16)

x

x

0.25

(cid:14)

(cid:32) eCy 1

(cid:14)

0.25 Nghiệm tq của pt thuần nhất:

Y

Ax

(cid:16) xeB )

(cid:16)

x

eC 2 ( (cid:32) (cid:16) x

";

2

(

'

(cid:14)(cid:14)

( (cid:16)(cid:32)

(cid:16)

(cid:32)

0,25

Ax

Ax

Y

0,25 Nghiệm riêng của pt không thuần nhất: ) ) (cid:14) YeBA eBA

,

(cid:32)

(cid:32)

A

B

1 (cid:16) 4

3 16

2

3

(cid:16)

(cid:16)

x

x

x

(

(cid:32)(cid:14)(cid:32)

(cid:14)

(cid:16)

(cid:16)

0,25 Thay vào phương trình ta được

y

x

) e

eCYy 1

eC 2

1 4

3 4

1 (cid:14)

2(

1 (cid:14)

0,25 Nghiệm tq của pt đã cho

(cid:32)

(cid:32)

)1

(

! n n 3)1 (cid:14)

2(3 (cid:14)

n

)3 (cid:14) n 2)(1 (cid:14) n

n

u n u n

1

(cid:14)

10

(cid:32)

(cid:31)(cid:32)

Ta có 0.25+0.25 5 (1đ)

lim (cid:14)(cid:102)(cid:111) n

lim (cid:14)(cid:102)(cid:111) n

)1

(

n 3)3 (cid:14) n ( )!1 2( (cid:14) n )3 2(3 (cid:14) n 2)(1 (cid:14) (cid:14) n

n

u n u

n

0.25

0.25 Theo t/c Đa-lăm-bem chuỗi đã cho hội tụ

Học viện Nông nghiệp Việt Nam Khoa CNTT - Bộ môn Toán Đề số: 10 - Ngày thi 30/08/2015 (Người ra đề: Nguyễn Văn Hạnh)

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015 Học phần: Giải tích Thời gian làm bài: 90 phút Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu

(cid:32)

(cid:16)

)(' xf

2

x

75 (cid:16) 2 x

Vi phân tại x = 5 là

)5(

143,3

(cid:16)(cid:32)

(cid:16)(cid:124)

df

dx

dx

22 7

Điểm a Tính đạo hàm 4*0,25 Đáp án vắn tắt 2 x 95 (cid:16) 0.25+0.25 Câu 1 (2đ)

b Nếu dx = 0,02 thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ 0,06286 0.25+0.25

2

(

(cid:32)

)1 (cid:16)(cid:14)

)(' xg

x

1 4

1

1 2 (cid:14)

x

a 0.25+0.25 Tính đạo hàm

2

('[1

2 )]

[

(

(cid:14)

(cid:32)

)1 (cid:14)(cid:14)

xg

x

1 4

x

1 2 ] 2 1 (cid:14) 1

1

0.25+0.25 2 (2đ)

2

[

('[1

2 )]

(

(cid:32)

(cid:14)

(cid:32)

)1 (cid:14)(cid:14)

l

xg

dx

x

] dx

2

b 0.25+0.25 Đô dài

(cid:179)

(cid:179)

1 4

1

1 (cid:14) x

0

0

1

3

arctan

]

(cid:14)

(cid:32)

(cid:14)

l

x

x

x

1 4

1 (cid:14)(cid:32) 3

(cid:83) 4

85

2

80

2

(cid:32)

(cid:16)

(cid:16)

(cid:32)

x

(cid:16)(cid:16) x

y

0.25+0.25

1 [ 12 Tính ' ),( yxh x Điểm dừng

0 ' ; ),( yxhy y 0),(

;30

25

(cid:32)

(cid:32)(cid:159)(cid:32)

(cid:32)

x

y

0.25+0.25 3 (2đ) 0.25+0.25

;2

;1

(cid:16)(cid:32)

(cid:16)(cid:32)

2 (cid:16)(cid:32)

' yxh y " ),( yxh xy

' ),( yxh x " ),( yxh xx )25;30(

;1

;2

)25;30(

)25;30(

(cid:16)(cid:32)

" ),( yxh yy (cid:16)(cid:32)

2 (cid:16)(cid:32)

Tính 0.25

" (cid:32) hA xx

" (cid:32) hB xy

" (cid:32) hC yy

2

;03

(cid:16)

(cid:33)(cid:32)

(cid:31)(cid:16)(cid:32)

0.25

B

A

02 AC được tối đa nếu mức sản lượng x = 30 và y = 25.

nên h đạt cực đại tại (30; 25). Vậy lợi nhuận đạt 0.25+0,25

'

(cid:32)

y

2 (cid:16) y (cid:16) y

(cid:14) x 2 x

1

Đặt y = ux

' (cid:32)(cid:14)(cid:159) xu

u

a 0.25 4 (3đ)

(cid:14) 2

2 (cid:16) u (cid:16) u

(cid:16)(cid:32)

0.25

dx x

( (cid:16) u 2 u

0.25+0,25

2

(cid:16)(cid:32)

(cid:14)

2

0.25

(cid:179)

(cid:179)

)1 (cid:16) 1 (cid:16)

)2 du 1 (cid:16) 2 ( ud 2 u

dx x

2

2

2

ln

ln

ln

ln

ln

(cid:14)

1 (cid:14)(cid:16)

(cid:156)(cid:32)

(cid:16)

(cid:14)

(cid:32)

u

Cx

x

y

C

1 1

1 2

(cid:14) (cid:16)

du (cid:179) 1 (cid:16) u (cid:14) u (cid:16) u

x x

y y

2

;2

3

06 (cid:32)(cid:156)(cid:32)(cid:16)(cid:14)

(cid:16)(cid:32)

0.25

1 2 1 2 b Ptđt:

k

k

k

k

2

3

(cid:16)

x

x

0.25

(cid:32) eCy 1

(cid:14)

0.25 Nghiệm tq của pt thuần nhất:

Y

Ax

(cid:16) xeB )

(cid:16)

x

eC 2 ( (cid:32) (cid:16) x

";

2

(

'

(cid:16)(cid:14)

( (cid:16)(cid:32)

(cid:16)

(cid:32)

0,25

Ax

Ax

Y

,

(cid:32)

(cid:32)

0,25

B

A

(cid:14) Nghiệm riêng của pt không thuần nhất: ) ) (cid:14) YeBA eBA 1 (cid:16) 3

0,25 Thay vào phương trình ta được 2 (cid:16) 9

2

3

(cid:16)

(cid:16)

x

x

x

(

)

(cid:32)(cid:14)(cid:32)

(cid:14)

(cid:16)

(cid:14)

y

x

e

eCYy 1

eC 2

1 3

2 3

1 (cid:14)

n

1 (cid:14)

0,25 Nghiệm tq của pt đã cho

(cid:32)

(cid:32)

n

3( n (

)1

(

! n 2)1 (cid:14)

u n u

(cid:14) n

3(2 )4 (cid:14) n 3)(1 (cid:14) (cid:14) n

n

n

1

(cid:14)

10

(cid:32)

(cid:31)(cid:32)

Ta có 0.25+0.25 5 (1đ)

lim (cid:14)(cid:102)(cid:111) n

lim (cid:14)(cid:102)(cid:111) n

)1

(

2)4 )!1 3( (cid:14) n 3(2 )4 (cid:14) n 3)(1 (cid:14) (cid:14) n

u n u

n

n

0.25

0.25 Theo t/c Đa-lăm-bem chuỗi đã cho hội tụ