ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
ĐỀ THI KẾT THÚC MÔN HỌC
Năm học: 2024-2025; Học kỳ: I;
Môn học: Xác suất thống kê (MAT1101-26)
- Thời gian làm bài: 90 phút.
- Không sử dụng tài liệu và các thiết bị điện tử trừ máy tính tay.
- Kết quả tối đa: 10/11 điểm.
1. [1 điểm] Một con súc sắc được ném và số chấm ở mặt trên được ghi lại. Tính xác suất cho các
sự kiện sau: A={nhiều hơn 3 chấm};B={số chấm là lẻ},A∪B, và Ac
2. [2 điểm] Một biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất (pdf) như sau
fX(x) = (x/4với 1< x ≤3
0khác (1)
Cho A là sự kiện X≤2.
•Tìm P(A),fX|A(x)và E[X|A]
•Cho Y=X2. Tìm E[Y]
4. [3 điểm] Một hệ thống truyền thông nhị phân gửi một tín hiệu X (−1để gửi bit “0” và +1 để
gửi bit “1”). Tín hiệu thu được là Y=X+N, với Nlà một biến ngẫu nhiên Gaussian với kỳ
vọng 0 và phương sai σ2. Giả sử rằng các bit “0” có xác suất gấp ba lần so với các bit “1”.
•Tìm xác suất có điều kiện fY(y|X= +1),fY(y|X=−1)
•Máy thu quyết định rằng một bit “0” đã được truyền nếu tín hiệu thu được ythỏa mãn y
thỏa mãn
fY(y|X=−1)P[X=−1] > fY(y|X= +1)P[X= +1] (2)
và quyết định rằng 1 bit “1” được gửi trong trường hợp ngược lai. Giả sử rằng σ2= 1/16.
Xác suất mà máy thu xảy ra lỗi khi biết rằng X= +1 đã được truyền là bao nhiêu?
•Xác suất lỗi tổng thể là bao nhiêu?
5. [2 điểm] Một nhà thống kê muốn ước lượng chiều cao h(mét) của một khu dân cư, dựa trên
nmẫu thống kê X1, X2, . . . , Xn, được chọn ngẫu nhiên từ khu dân cư. Ông ấy sử dụng giá trị
trung bình Mn=X1+X2+···+Xn
nnhư là một ước lượng cho hvà một ước lượng thô về độ lệch
chuẩn của các mẫu Xilà 1 mét.
•Giá trị ncần phải lớn đến mức nào để độ lệch chuẩn của Mnkhông vượt quá 1cm?
•Giá trị ncần phải lớn đến mức nào để bất đẳng thức Chebyshev đảm bảo rằng ước lượng
nằm trong khoảng 5cm so với h, với xác suất ít nhất là 0.99.
Xem tiếp trang sau. . . Trang 1 / 7
Đề thi kết thúc môn học AIT 2005 Học kỳ I, 2024-2025
5. [1 điểm] Một tạp chí y học vừa công bố một công trình nghiên cứu cho thấy: những đứa trẻ
được nuôi bằng sữa mẹ cho chỉ số thông minh (IQ) cao hơn những đứa trẻ được nuôi bằng sữa
công thức. Để kiếm tra tính đúng đắng của thông báo này, người ta chọn ngẫu nhiên 10 trẻ
nuôi bằng sữa mẹ, 10 trẻ nuôi bằng sữa công thức, và ghi lại chỉ số IQ của chúng, xem Bảng 1.
Dựa trên số liệu ở Bảng 1, liệu có thể kết luận rằng công trình nghiên cứu nói trên là đúng hay
không? Sử dụng mức ý nghĩa 5%.
Bảng 1: Bảng thống kê chỉ số IQ của những đứa trẻ trong bài 5.
Nhóm nuôi bằng
sữa mẹ 121 105 111 119 108 101 90 131 106 112
Nhóm nuôi bằng
sữa công thức 102 110 107 98 99 103 86 117 113 97
6. [1 điểm] Một nhà máy xảy xuất ra Xnsản phẩm vào ngày thứ n, trong đó Xnsản phầm là các
biến ngẫu nhiên độc lập và phân bố giống nhau, với kỳ vọng là 5 và phương sai là 9. Tìm xác
suất của sự kiện tổng số thiết bị được sản xuất trong 100 ngày là nhỏ hơn 440.
7. [1 điểm] Giả sử Z có phân phối Poisson với tham số Y, trong đó Y có phân phối mũ (exponential)
với tham số λ. Chứng minh rằng Z cũng có phân phối hình học (geometric).
Xem tiếp trang sau. . . Trang 2 / 7
Đề thi kết thúc môn học AIT 2005 Học kỳ I, 2024-2025
SOME USEFUL INFORMATION
Xem tiếp trang sau. . . Trang 3 / 7
Đề thi kết thúc môn học AIT 2005 Học kỳ I, 2024-2025
Xem tiếp trang sau. . . Trang 4 / 7
Đề thi kết thúc môn học AIT 2005 Học kỳ I, 2024-2025
Xem tiếp trang sau. . . Trang 5 / 7