CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2012- 2013
MÔN THI: TOÁN - LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút
x
10
2 y
x y
Câu 1:(3.0 điểm)
2
x
2
x
12
1 2 y
cos 2
x
cos 4
x
6 2sin 3
x
a) Giải hệ phương trình:
2
b) Giải phương trình:
4
2
3
6
Câu 2:(2.5 điểm)
lim
n
n
1
n
1
a) Tính giới hạn dãy số:
2013
nu
n
1
n (
1)
1
n
n u n
u 1 u
xác định như sau: b) Cho dãy số
1 n 2013 nu
?
Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số
Câu 3:(2.5 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang cân (AD//BC) và BC=2a, AB=AD=DC=a (a>0). Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SD vuông góc với AC.
Trang | 1
a) Tính SD. b) Mặt phẳng () qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D) và song song với hai đường thẳng SD và AC. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (). Biết MD = x. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
4
3
2
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
x
ax
bx
cx d
0
d
2013
Câu 4:(2.0 điểm) Cho phương trình:
2
2
2
a
b
c
a) Với , chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
1d , giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh
4 3
b) Với
Trang | 2
--------------------HẾT----------------------
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
HƯỚNG DẪN CHẤM
0
b
a
1;
x
Nội dung
y . Đặt
a) ĐK: Điểm 1,5 điểm 0,25
a b ab
a b
7
a
2
a
3
a b
VN (
)
2
2
ab
18
3
b
2
ab
6
13
a
b
1 y Ta có hệ phương trình trở thành 11 5
0,75
2
x y ( ;
)
1;
3
1 3
0,25 TH1:
3
x y ( ; )
2;
2
1 2
b a b a b
cos 2
x
cos 4
x
6 2sin 3
x
2
0,25 TH2:
4sin
x
2 sin 3
x
2 6 2sin 3
x
2
2
4(1 sin
x
sin 3 ) 2(1 sin 3 ) 0
x
x
2
2
2
x
x (1 sin 3 )
cos
2(1 sin 3 ) 0
x
x
b) 1,5 điểm 0,5
2
2
4 sin 4(sin
x
2 cos 3
x
cos
x
) 2(1 sin 3 ) 0
x
sin 3
x
1
0,5
x
1
2
sin
x
2 cos 3
x
0
x
k
2 (
k Z
)
0,5
2
cos
x
0
sin3 2
2
cos
x
0
Câu 1
4
2
3
6
4
2
2
3
6
2
2
lim
n
n
1
n
1
lim
n
n
1
n
(
n
1
n
)
a)
2
1
n
1
4
2
2
1 2 n
lim
n
n
1
n
lim
lim
2
4
2
Ta có:
1 2
n
n
1
n
1
1
1 2 n
1 4 n
3
6
2
lim(
n
1
n
)
lim
0
6
2
6
4
1 2
3
3
(
n
1)
n
(
n
1)
n
4
2
3
6
1,0 điểm 0,25 0,25
lim
n
n
1
n
1
0,25 0,25 Do đó
1 2
0,
nu
u
u
1 n 1 n
n u n
n 1 u 1 n
n n
b)
* n N 1 n 2013
1 n 2013
Trang | 3
1,5 điểm 0,25
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
u
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
2 2
1 u 1
3 u 3
2 u 2
1 1 2013 1 2 2013
Do đó:
u
n n
u 1 n 1 n
1
1 n 2013
n
1
...
1
u
...
0,5
n n
1 u 1
1
1 1 2013
1 2 2013
1 n 2013
1 2013 2012
n
1
1
n
2013
nu
1 2013 2012 1 n
1
n
n
1
2013
2014
1
Suy ra:
nu
1 1 ... 1 2014 n
2013 n
1
(Cô si) 0,25 0,25 0,25
1nu
2013 n
lim 1
1 2013 2012
Mặt khác . Vậy lim
S
K
Q
T
C
B
3 2,5 điểm
J
P
O
M
A
D
N
Trang | 4
0,25
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
0
ST a a SD 2
ST a
120 7
SCT ,
7
.
(
NJ MK MN
)
(
MK PQ MP
)
0,25 0,25 0,25 0,25 a) Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a. Kẻ DT//AC (T thuộc BC). Suy ra CT=AD=a và DT vuông góc SD. Ta có: DT=AC= 3a Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a, Xét tam giác vuông SDT có DT= 3a b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC lần lượt tại N,P. Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC lần lượt tại K, J, Q. Thiết diện là ngũ giác NPQKJ. Ta có: NJ, MK, PQ cùng vuông góc với NP.
1 2
1 2
(
NJ MK NP
).
dt(NPQKJ)=dt(NMKJ)+dt(MPQK)= 0,25
1 2
3
NP
3
x
(do NJ=PQ).
NP MD AC OD
. OD
AC MD x a . a 3
a 2 .
x
NJ
2(
a x
3)
AN OM NJ SD AD OD
. SD OM OD
Ta có:
2 .
3
x
a a
a 3 a 3
KM
(
a
3
x
)
KM BM BD SD
SD BM . BD
a
3
2 3
0,5
2(
a x
3)
(
a
3
x
x
2(3
a
2 3 )
x x
1 2
2 3
) 3
2
1
1
2
a (3
x 2 3 )2 3
x
a (3
2 3 ) 2 3
x
x
a
Suy ra: dt(NPQKJ)=
3 3 4
3
4 3
2
x
a
0,25 0,25
a khi
3 3 4
3 4
Diện tích NPQKJ lớn nhất bằng
4
3
2
4
2013
cx
( ) f x f
0;
0
sao cho
1.0 điểm liên tục trên R.
) 0;
(0).
(
f
f
f
) 0
) 0;
(0).
(
f
f
. Do đó
. ) 0
, 0)
f ( Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc hai khoảng ( và (0,
)
Trang | 5
a) d= -2013 bx x ax Đặt 0 2013 0 Ta có: , nên tồn tại 2 số f x Mặt khác lim ( ) x ( 0,25 0,5 0,25
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
1 0
b
c
4 x 0
3 ax 0
cx 0
ax 0
2 x 0
2 bx 0
0x là nghiệm của phương trình ( 0 x ) 0 1 2 x 0
1 x 0
2
2
2
2
2
2
a
b
c
(
1)
a
c
c
(
1)
2 x 0
2 x 0
ax 0
2 x 0
b) d=1: Gọi 1.0 điểm
1 x 0
1 2 x 0
1 2 x 0
1 2 x 0
2
2
c
c
ax 0
2 x 0
ax 0
2 x 0
1 x 0
1 2 x 0
1 2 x 0
1 x 0
2
2 x 0
2
2
2
2
a
b
c
t
Ta có:
2
2 x 0
t
t
1
1 2 x 0
1
2 x 0
1 2 x 0 1 2 x 0
2
với Suy ra:
2
t ). 2
t 3
t 4
4 0
t (
t 2)(3
2)
0
t
t
1
2
2
2
a
b
c
0,25 0,25 0,25 Mặt khác: (đúng do
4 3 4 . 3
a b c
Vậy 0,25
x ) 0 1
2 (ứng với 3
1
a c
,
b
(ứng với
x ) 0
2 3
2 3
Trang | 6
Dấu bằng xảy ra khi
www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807
CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017
GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU
- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.
- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.
- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh
kiến thức và tối ưu kết quả học tập. -
CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ
- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung thời gian tốt nhất để học. - Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):
+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.
+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.
HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM
-
Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.
- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ
động thời gian học tập của mình.
- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian ngắn nhất.
- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề
nhanh hơn - hiệu quả hơn.
- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên toàn quốc.
Trang | 7
- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá trình học.
![Đề thi Tiếng Anh có đáp án [kèm lời giải chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250810/duykpmg/135x160/64731754886819.jpg)
