PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6,7,8 THCS
NĂM HỌC 2023-2024
MÔN TOÁN 8
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có: 03 trang
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM
I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (4,0 điểm). Thí sinh trả lời các câu 1
đến 16. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Biết rằng với mọi giá trị của x thì
( )( )
2
2 33 3x x a bx cx+ += +−
. Khi đó
abc++=
A.
14.
B.
13.
C.
12.
D.
5.
Câu 2. Giá trị của biểu thức
( ) ( )( ) ( ) ( )
22
2 3 3 23 2 12 4 3 1x y y y x xy−−− +−−+ −
là
A.
3.
B.
C.
5.
D.
4.
Câu 3. Kết quả của phép tính
22
16 2 16 2
..
24 24
x xx x
xx xx
− −−
+
++ ++
là
A.
4.x−
B.
4.x+
C.
1.
4x−
D.
1.
4x+
Câu 4. Biết phân thức
2
3
61
11
xx a b c
xx x
xx
−− =++
−+
−
. Ta có
abc−+
A.
6.
B.
2.
C.
0.
D.
3.−
Câu 5. Giá trị lớn nhất của phân thức
2
2024
2 2025
A
xx
=++
là
A.
2024 .
2025
B.
506 .
507
C.
1.−
D.
1.
Câu 6. Tổng tất cả các giá trị nguyên của x để phân thức
31
23
x
Bx
+
=−
nhận giá trị nguyên là
A.
10.
B.
2.
C.
6.
D. 3.
Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có
20 , 16 ,BC cm AC cm= =
đường cao AH. Độ dài AH là
A.
12 .cm
B.
8,4 .cm
C.
9,8 .cm
D.
9,6 .cm
Câu 8. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, các đường trung tuyến AD, BE, CF. Gọi K là trung điểm của
CG. Biết
12AD cm=
, độ dài của đoạn thẳng EK là
A.
4.cm
B.
8.cm
C.
6.cm
D.
3.cm
Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại I. Biết
12 , 6 .AB cm BC cm= =
Độ dài EF bằng
A.
2.cm
B.
4.cm
C.
6.cm
D.
3.cm
Đề chính thức
2
Câu 10. Cho tam giác ABC không vuông, có các đường cao BE, CF. Biết
20 , 30 ,AB cm BC cm= =
16BE cm=
. Độ dài đoạn thẳng EF bằng
A.
9.cm
B.
12 .cm
C.
18 .cm
D.
16 .cm
Câu 11. Cho tam giác ABC có
00
120 , 15 ,A C AB a= = =
, đường phân giác AD. Tính
22
11
BD BC
+
theo a, ta được kết quả bằng
A.
2
4.
a
B.
2
3.
4a
C.
2
4.
3a
D.
2
.
4
a
Câu 12. Để phương trình
( )
2
2 12 3 5x mx−+ = +
có nghiệm
1x=
thì tổng tất cả các giá trị của m thỏa
mãn là
A.
0.
B.
C.
4.
D.
1.
Câu 13. Nghiệm của phương trình
( ) ( ) ( )
20 19 18 ... 2023 2024 2024xxx− +− +− ++ + =
là
A.
2023.x= −
B.
2003.x= −
C.
2024.x=
D.
0.x=
Câu 14. Với giá trị nào của m thì đồ thị của ba đường thẳng
2; 5 2; 4ymxyxyx=−=−=−+
đồng quy?
A.
1.m=
B.
5.m=
C.
7.m= −
D.
7.m=
Câu 15. Hàm số bậc nhất có đồ thị song song với đồ thị của hàm số
31yx= +
và cắt trục tung tại điểm
có tung độ bằng
1−
là
A.
3 1.yx= +
B.
31yx=−+
. C.
3 1.yx=−−
D.
3 1.yx= −
Câu 16. Sau một nhiệm kì, tỉ lệ ủng hộ ứng cử viên A tại một địa phương giảm đi 20%, vì vậy mà tỉ lệ cử
tri không ủng hộ ứng cử viên A nhiệm kì này là 55%. Tỉ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A nhiệm kì trước là
A.
68,75%.
B.
56, 25%.
C.
66%.
D.
58,75%.
II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI. Thí sinh trả lời các câu hỏi 1, 2. Trong mỗi ý a, b, c, d ở mỗi
câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho tam giác ABC có
5, 8, 6AB cm BC cm CA cm= = =
, tam giác PMN có
4, 3MN cm PN cm= =
.
A. Nếu
2,5MP cm=
thì
ABC PMN∆∆∽
. B. Nếu
2MP cm=
thì thì
ABC PMN∆∆∽
.
C. Nếu
ABC PMN∆∆∽
thì
2.
ABC
PMN
S
S=
D. Nếu
ABC PMN∆∆∽
thì
1.
4
PMN
ABC
S
S=
Câu 2. Thực hiện tung đồng thời hai con xúc xắc cân đối đồng chất 1 lần.
A. Số kết quả có thể là 36.
B. Xác suất để biến cố: tổng số chấm xuất hiện ở hai con xúc xắc bằng 5 xảy ra là
5.
36
C. Xác suất để biến cố: tổng số chấm xuất hiện ở hai con xúc xắc bằng 7 xảy ra là
6.
36
D. Xác suất để biến cố: tổng số chấm xuất hiện ở hai con xúc xắc bằng 11 xảy ra là
1.
36
3
B. PHẦN TỰ LUẬN (14,0 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm)
a) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của
chúng là một số chính phương lẻ.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên
a
, ta có
( )
11
66aa−
.
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Cho đa thức
( )
32
P x x bx cx d=+ ++
. Biết
( ) ( )
2 4; 3 9PP= =
. Tính
( ) ( )
41PP−
.
b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn
1abc++=
và
333
4abc++=
. Tính giá trị của biểu thức
111
.Pa bc b ca c ab
=++
+++
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho hai điểm B và C cố định sao cho
( )
20BC a a= >
và A thay đổi sao cho tam giác ABC luôn
vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt các đường phân giác
các góc AMB và AMC lần lượt tại P và Q. Gọi D là giao điểm của MP và AB và E là giao điểm của MQ
với AC.
a) Chứng minh rằng
2.PA PD PM=
và
2
..BP CQ AM=
b) Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác
ACQ
và
ABP
theo a.
Câu 4. (2,0 điểm)
Một chiếc tàu điện gồm 3 toa tiến vào 1 sân ga có 12 hành khách, trong đó có An và Bình chờ lên
tàu. Giả sử hành khách tiến lên tàu một cách ngẫu nhiên và độc lập nhau, mỗi toa còn ít nhất 12 chỗ
trống. Tính xác suất để biến cố: “An và Bình lên cùng một toa” xảy ra.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho hai số a, b không âm thỏa mãn
22
2 4.a ba b+≥+
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )
2024
2
2024 .
1 21
ab
Sab
=++
++
.......................HẾT.......................
Họ và tên thí sinh: ................................................................... SBD: ..................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6,7,8 THCS
NĂM HỌC: 2023-2024
MÔN: TOÁN
Hướng dẫn chấm có: 05 trang
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM
I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Mỗi câu đúng được 0,25 điểm
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Đ/A
C
A
A
B
D
C
D
A
B
C
C
A
B
B
D
B
II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Điểm tối đa của mỗi câu là 1,0 điểm.
- Thí sinh chỉ chọn chính xác 01 ý trong 1 câu hỏi được 0,1 điểm
- Thí sinh chỉ chọn chính xác 02 ý trong 1 câu hỏi được 0,25 điểm
- Thí sinh chỉ chọn chính xác 03 ý trong 1 câu hỏi được 0,5 điểm
- Thí sinh chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu hỏi được 1,0 điểm.
Câu
A
B
C
D
1
Đúng
Sai
Sai
Đúng
2
Đúng
Sai
Đúng
Sai
B. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 1. (3,0 điểm)
Gợi ý
Điểm
a) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng
với tích của chúng là một số chính phương lẻ.
1,5
Gọi hai số chính phương liên tiếp đó là
2
a
và
( )
2
1a+
với
.a∈
Ta cần chứng minh
( ) ( )
22
22
11Aa a aa= ++ + +
là số chính phương lẻ
0,25
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
22 2
2 2 42 2
1 1 211 1a a aa a aa a a a++ + + = + +++ = ++
với a là số tự
nhiên sẽ là một số chính phương.
0,75
Học sinh chứng minh được
( )
2
12a a aa+= +
là số tự nhiên chẵn
0,25
Suy ra
2
1aa++
là số lẻ. Vậy A là số chính phương lẻ.
0,25
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên
a
, ta có
( )
11
66aa−
.
1,5
2
Ta sẽ chứng minh
( )
11
6aa−
và
( )
11
11aa−
Do 11 là số nguyên tố nên theo định lý Fermat có
( )
11
mod11aa≡
(*)
0,25
Do 2 và 3 là các số nguyên tố nên theo định lý Fermat, ta có
( ) ( ) ( )
32
mod 3 1 ; mod 2aa aa≡≡
0,25
Do
( ) ( )
2 32
mod 2 mod 2aa aaa≡ ⇒≡≡
(2)
Từ (1) (2) và (2,3) = 1 suy ra
( )
3
mod 6aa≡
( )
53 mod 6aaa⇒≡≡
( )
7
mod 6aa⇒≡
0,25
0,25
( )
11 5
mod 6a aa⇒ ≡≡
(**)
0,25
Từ (*) (**) và do (6,11) = 1 suy ra đpcm.
0,25
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Cho đa thức
( )
32
P x x bx cx d=+ ++
. Biết
( ) ( )
2 4; 3 9PP= =
. Tính
( ) ( )
41PP−
.
b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn
1abc++=
và
333
4abc++=
. Tính giá trị của biểu thức
111
.Pa bc b ca c ab
=++
+++
Gợi ý
Điểm
a) Cho đa thức
( )
32
P x x bx cx d=+ ++
. Biết
( ) ( )
2 4; 3 9PP= =
. Tính
( ) ( )
41PP−
.
2,0
Xét đa thức
( ) ( )
2
Qx Px x= −
0,5
Thế thì
( ) ( )
2 30QQ= =
suy ra
2; 3xx= =
là hai nghiệm của đa thức
( )
Qx
0,25
Viết
( ) ( )( )( )
23Qx x x x a=−−−
, với a là một số thực và là nghiệm thứ ba của Q(x)
0,5
( ) ( )( )( )
2
23Px x x x a x⇒ =− − −+
( ) ( )
4 2 4 16 24 2Pa a= −+= −
;
( ) ( )
1 21 1 3 2Paa= − +=−
0,5
Từ đây tính được
( ) ( )
4 1 21PP−=
.
0,25
b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn
1abc++=
và
333
4abc++=
. Tính giá trị
của biểu thức
111
.Pa bc b ca c ab
=++
+++
2,0