PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm: 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2022 – 2023
Môn thi: Toán 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 28/11/2022
Câu 1: (4,0 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử:
a.
2
x + 7x +12
b.
42
x + 2023x + 2022x + 2023
Câu 2: (4,0 điểm):
a. Chứng minh rằng nếu:
2 22
x + y + z = xy + xz + yz
thì
x=y=z
b. Tìm dư trong phép chia đa thức
( )( )( )( )
P(x) x + 2 x + 4 x + 6 x + 8 + 2022=
cho đa thức
2
x +10x + 21
.
Câu 3: (4,0 điểm):
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:
2xy + 3x - 5y = 9
Câu 4: (7,0 điểm):
Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt
cắt đường thẳng BC tại P và R, cắt đường thẳng CD tại Q và S.
a. Chứng minh
∆
AQR và
∆
APS là các tam giác cân.
b. QR cắt PS tại H; M, N lần lượt là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác
AMHN là hình chữ nhật.
c. Chứng minh P là trực tâm
∆
SQR.
d. Chứng minh MN là đường trung trực của AC.
e. Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
Câu 5: (1,0 điểm):
Chứng minh:
32
6 11 6 24Bn n n=−+−
với n là một số tự nhiên lẻ.
Hết
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………………. Số báo danh: ………………..
Cán bộ coi thi số 1: …………………………… Cán bộ coi thi số 2: …………………
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2022 – 2023 - Môn: Toán 8
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4,0
điểm)
22 2
) x 7 12 3 4 12 ( 3 ) (4 12)
( 3) 4( 3) ( 3)( 4)
a x xxx xx x
xx x x x
++=+++= + + +
= ++ +=+ +
b)
42 4 2
x + 2023x + 2022x + 2023 = x x + 2023x 2023 2023x− ++
32 2 2
x(x 1) 2023(x + x +1) ( 1)( 1) 2023( 1)xx xx xx= −+ = − +++ ++
22
( 1)( 2023)xx xx= ++ −+
1,0
1,0
0,5
1,0
0,5
Câu 2
(4,0
điểm)
a) Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
⇒
2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx
⇒
x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 = 0
⇒
(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 0 (1)
Ta có : (x – y)2
≥
0, (y – z)2
0≥
, (z – x)2
0≥
Do đó: (1)
0
0
0
xy
yz
zx
−=
⇒ −=
−=
.
b)
( )( )( )( )
( )( )
22
( ) 2 4 6 8 2022 10 16 10 24 2022Pxxxxx xx xx=+ + + ++ =++ +++
Đặt
210 21 ( 3; 7)tx x t t= + + ≠− ≠−
, biểu thức P(x) được viết lại:
( )( )
2
( ) 5 3 2022 2 2007Px t t t t=− ++ =−+
Do đó khi chia
22 2007tt−+
cho t ta có số dư là 2007
1,0
1,0
1,0
1,0
Câu 3
(4,0
điểm)
a) Ta có:
22
39 9
A = 2x + 3x - 4 = 2 x 2. . 4
4 16 8
x

+ + −−


2
3 41 41
=2 x+4 88
−

−≥


Dấu “=” xảy ra khi
33
0
44
xx
−
+=⇔=
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
41
8
−
đạt được khi
3
4
x−
=
b)
2xy + 3x - 5y = 9
4xy + 6x -10y = 18 2x(2y + 3) - 5(2y + 3) = 3⇒⇒
(2y + 3)(2x - 5) = 3⇒
do x, y là các số nguyên nên ta có bảng sau:
2x - 5
-3
-1
1
3
2y + 3
-1
-3
3
1
x
1
2
3
4
y
-2
-3
0
-1
Vậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn là: (1;-2), (2;-3), (3;0), (4;-1)
1,0
1,0
0,5
0,5
1,0
Câu 4
(7,0
điểm)
Vẽ đúng hình, cân đối đẹp.
a)
ADQ ABR∆=∆
(cgv-gn) vì
ARDAQ B=
(cùng phụ với
BAQ
) và DA = BA (cạnh hình
vuông). Suy ra AQ = AR, nên
∆
AQR là tam
giác vuông cân tại A. Chứng minh tương tự
ta có:
∆
ABP =
∆
ADS
do đó AP = AS và
∆
APS là tam giác vuông
cân tại A.
b) AM và AN là đường trung tuyến của tam
giác vuông cân AQR và APS nên AN
⊥
SP và AM
⊥
RQ. Mặt khác:
PAN PAM=
= 450 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AMHN có ba góc
vuông, nên AMHN là hình chữ nhật.
c) Theo giả thiết: QA
⊥
RS, RC
⊥
SQ nên QA và RC là hai đường cao của
∆
SQR. Vậy P là trực tâm của
∆
SQR.
d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM =
2
1
QR
⇒
MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C.
Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông
SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực
của AC
e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách
khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng nằm trên
đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.
0,5
1,5
1,5
1,0
1,0
1,5
Câu 5
(1,0
điểm)
[ ]
32 322
2
2
2
6 11 6 3 3 9 2 6
( 3) 3 ( 3) 2( 3)
( 3)( 3 2)
( 3) ( ) (2 2)
( 3) ( 1) 2( 1)
( 3)( 2)( 1)
n n n n n n nn
n n nn n
n nn
n nn n
n nn n
nnn
−+−=−−++−
= −− −+ −
=− −+

=− −− −

= − −− −
=−−−
Do n lẻ nên n-3, n-2, n-1 là 3 số tự nhiên liên tiếp trong đó có hai số chẵn.
Trong 2 số chẵn này có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 4.
Nên
( 3)( 2)( 1) 2.4 8nnn−−− =
Mặt khác
( 3)( 2)( 1)nnn−−−
là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên
( 3)( 2)( 1) 3nnn−−−
mà (8;3) = 1
( 3)( 2)( 1) 8.3 24nnn⇒− − − =
Vậy,
32
6 11 6 24nn n−+−
với mọi số tự nhiên n lẻ.
0,5
0,5
* Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn tính điểm tối đa.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN BÌNH
ĐỀ DỰ BỊ
(Đề gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2022- 2023
Môn thi: TOÁN LỚP 8
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4,0 điểm)
a. Phân tích thành nhân tử: x2 + 6x + 5
b. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố:
12n2 – 5n – 25
Câu 2: (4,0 điểm)
a. Cho x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x.y
b. Chứng minh rằng nếu
ac
bd
=
thì
444
44
ab a b
cd c d
−+

=

−+

Câu 3: (4,0 điểm)
a. Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0.Tính:
22
4ba
ab
P−
=
b. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì
a = b = c.
Câu 4: (4,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.
a. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy.
b. Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh
rằng EMFN là hình bình hành.
Câu 5: (3,5 điểm)
Cho
∆
ABC có diện tích bằng 30 cm2. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt
lấy các điểm M, N, D sao cho
1
3
AM BN CD
AB BC CA
===
. Tính diện tích
∆
MND.
----------------------------HẾT------------------------
Câu
Hướng dẫn
Điểm
1
(4,0)
a) Ta có: x2 + 6x + 5 = x2 + x + 5x + 5 = x(x + 1) + 5(x + 1)
=
( )( )
51 ++ xx
2
b) Với n ∈ N, ta có: 12n2 – 5n – 25
= 12n2 – 20n + 15n – 25
= 4n(3n – 5) + 5(3n – 5)
= (3n – 5)(4n + 5)
Vì n ∈ N nên 3n – 5 < 4n + 5
Do đó để 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố thì 3n – 5 = 1 => n = 2
Vậy với n = 2 thì 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố
0,5
0,5
0,5
0,5
2
(4,0)
a) Ta có x + y = 1 => y = 1 – x
Khi đó P = x.y = x.(1 – x)
= x – x2
= - (x2 – x +
1
4
-
1
4
)
= - [(x -
1
2
)2 -
1
4
]
= - (x -
1
2
)2 +
1
4
Do - (x -
1
2
)2
≤
0 với mọi x
=> P = - (x -
1
2
)2 +
1
4
≤
1
4
Nên giá trị lớn nhất của P =
1
4
<=>
10
2
1
x
xy
−=
+=
<=>
1
2
1
2
x
y
=
=
Vậy với
1
2
x=
;
1
2
y=
thì biểu thức P = x.y có giá trị lớn nhất là
1
4
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Từ
44
44
4
4
4
4
dc
ba
d
b
c
a
d
b
c
a
d
c
b
a
−
−
==⇔=⇔=
(1)
Từ
d
c
b
a=
4
4
4
4
4
4
)(
)(
dc
ba
d
b
c
a
dc
ba
d
b
c
a
−
−
==⇔
−
−
==⇔
(2)
Từ 1 và 2 suy ra
44
44
4
dc
ba
dc
ba
+
+
=
−
−
0,5
0,5
0,5
0,5
PHÒNG GD&ĐT
HUYỆN YÊN BÌNH
ĐỀ DỰ BỊ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
Môn: Toán - lớp 8 Năm học 2022-2023