TRƯỜNG THCS MINH KHAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ A
KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH LỚP 9
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 22/3/2024
(Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang)
Câu I (2,0 điểm). Cho biểu thức:
32 6 3
23 1 3
− −+
= −−
−− + −
xx x x
Pxx x x
với
0; 9≥≠xx
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tính giá trị của biểu thức P khi
3 22= −
x
.
Câu II (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường thẳng
( ): .= +d y ax b
Tìm
,ab
để đường thẳng
có hệ số góc bằng
3
và đi qua điểm
( 1; 2)M−
.
2. Giải hệ phương trình:
xy2
3x 2y 11
−=
+=
Câu III (2,0 điểm).
1. Giải phương trình:
23 20xx− +=
.
2. Cho phương trình
22
2 20x mx m− − −=
(
m
là tham số). Tìm các giá trị của
m
để phương trình có hai nghiệm
12
,xx
(với
12
xx<
) thỏa mãn hệ thức
2
2 1 12
2 3 3 34x x xx m m− − = ++
.
Câu IV (3,0 điểm). Cho đường tròn tâm (O) đường kính
AB
, lấy điểm
H
thuộc
đường kính
AB
, qua điểm
H
kẻ dây
CD
vuông góc với đường kính
AB
, lấy điểm
E
thuộc cung nhỏ
BD
(
E
khác
B
và
D
);
AE
cắt CD tại điểm
F
.
1. Chứng minh: Tứ giác
BEFH
nội tiếp.
2. Chứng minh:
24. .CD AH HB=
3. Đường thẳng đi qua
H
song song với
CE
, cắt đường thẳng
AE
và
BE
lần
lượt tại
I
và
K
. Gọi G là giao điểm của DE và IK, M là trung điểm của đoạn
thẳng CE. Chứng minh:
DI AE⊥
và ba đường thẳng CI, MG, BE đồng quy.
Câu V (1,0 điểm). Cho các số thực không âm
,,xyz
thỏa mãn
3.xy yz zx xyz++=
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
222
3
111 2
xyz
Q xyz
yzx
=+++
+++
.
-------------------------------------- HẾT ----------------------------------------------
Họ và tên thí sinh: ..............................................................................
Chữ ký của CBCT1: ........................................................................
SBD: ................................................................
Chữ ký của CBCT2: ................................
TRƯỜNG THCS
MINH KHAI
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: TOÁN
Hướng dẫn chung:
1) Nếu học sinh giải cách khác với cách nêu trong hướng dẫn chấm này, mà đúng, thì
vẫn được điểm tối đa của phần (câu) tương ứng.
2) Trong câu hình, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không cho điểm
câu đó.
Câu
Nội dung
Điểm
I
(2,0đ)
1. ĐK :
x 0;; x 9≥≠
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
2
2 x3 xx32 x3 x3 x1
xx 3 x 3
Px1 x3
x1 x3 x1 x3
− −− − − + +
−+
= − −=
+−
+− +−
0,50
=
( )( ) ( )( )
3 2 12 18 4 3 3 8 24
13 13
xx x x x x xx x x
xx xx
−− + − −− − − + −
=
+− +−
=
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )( )
38 3 8 3
13 13
xx x x x
xx xx
−+ − + −
=
+− +−
=
8
1
x
x
+
+
0,50
Vậy với
x 0;; x 9≥≠
thì P =
8
1
x
x
+
+
0,25
2. Với
( )
2
322 21 21xx=− = −⇒ = −
0,25
Thay P vào ta có :
11 2 2 11 2 4
2
2
P−−
= =
0,50
II
(2,0đ)
1. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường thẳng
()d
có phương trình
y ax b= +
.
Tìm
,ab
để đường thẳng
()d
có hệ số góc bằng
3
và đi qua điểm
( 1; 2 )M−
.
Đường thẳng
()d
có hệ số góc bằng
3
nên suy ra
3a=
.
0,50
Mặt khác
()d
đi qua
( 1; 2 )M−
ta có
2 3 2 5.ab b b−+=⇔−+=⇔=
Vậy giá
trị cần tìm là
3; 5.ab= =
0,50
2. Ta có hệ PT
22 4 515
3 2 11 2
xy x
x y xy
−= =

⇔⇔

+ = −=

33
21
xx
yx y
= =

⇔⇔

=−=

0,75
Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất ( x; y) = (3; 1) 0,25
III
(2,0đ)
1. Giải phương trình
23 2 0.xx− +=
Ta có
( )
1 3 20abc+ + =+− + =
. 0,50
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
1; 2
c
xx
a
= = =
.
Vậy phương trình có tập nghiệm là
{ }
1; 2S=
.
0,50
2. Cho phương trình
22
2 20x mx m− − −=
(
m
là tham số). Tìm các giá trị của
m
để
phương trình có hai nghiệm
( )
121 2
,xxx x<
thỏa mãn hệ thức
2
2 1 12
2 3 3 3 4.x x xx m m− − = ++
Ta có
( )
222
' ( 2) 2 2 0,m m m mR∆=− −− − = + > ∀ ∈
nên phương trình luôn có
hai nghiệm
( )
121 2
,xxx x<
. Khi đó theo Viet, ta có
12
2
12
2 (1) .
. 2 (2)
xx m
xx m
+=
=−−
0,25
Do
2
12 1 2
. 2 0 0; 0.xx m x x=− −<⇒ < >
Giả thiết
2
2 1 12
2 3 3 34x x xx m m− − = ++
22
12 12
2 3( 2) 3 3 4 2 3 2 (3)xx m m m xx m⇔+−−−= ++⇔+=−
0,25
Từ
(1), (3)
ta có
12 1
12 2
22
2 32 2
xx m xm
xx m x m
+= =−

⇔

+= − =+

0,25
Thay
12
2; 2xm xm=−=+
vào
(2)
, ta được
( )( )
22
1
2 2 22 2 1
m
mm m m m
= −
− + =− −⇔ =⇔
=
(thỏa mãn).
Vậy giá trị cần tìm là
1m= −
và
1.m=
0,25
IV
(2,0đ)
Qua điểm
H
kẻ dây
CD
vuông góc với đường kính
AB
, lấy điểm
E
thuộc cung nhỏ
BD
(
E
khác
B
và
D
);
AE
cắt CD tại điểm
F
.
1. Chứng minh: Tứ giác
BEFH
nội tiếp.
1. HS chứng minh tứ giác BEFH nội tiếp.
1,0
2. Chứng minh:
2
4. .CD AH HB=
Xét
( )
;OR
có dây
CD AB⊥
tại
H
⇒
H
là trung điểm của
CD
(quan hệ giữa
đường kính và dây).
0,25
Xét (O) có:
90o
ACB =
(góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn)
0,25
Xét
ABC∆
vuông tại
C
, có
CH
là đường
cao
2.CH AH HB⇒=
0,25
Mà
2
CD
CH =
. Nên
2
4. .CD AH HB=
0,25
3. Đường thẳng đi qua
H
song song với
CE
, cắt đường thẳng
AE
và
BE
lần lượt tại
I
và
K
. Gọi G là giao điểm của DE và IK, M là trung điểm của đoạn thẳng CE. Chứ
ng minh:
DI AE⊥
và ba đường thẳng CI, MG, BE đồng quy.
//HI CE DHI DCE⇒=
(2 góc đồng vị)
Xét (O; R) có:
DAE DCE=
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung
DE
)
DHI DAE⇒=
DHI DAI⇒=
0,25
Xét tứ giác
DAHI
có:
DHI DAI=
, Mà
, HA
là 2 đỉnh kề nhau
⇒
Tứ giác AHID nội tiếp.
⇒
AHD AID=
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AD)
Mà
90 90AHD AID= °⇒ = °
DI AE⇒⊥
0,25
N
M
G
I
K
F
C
D
O
A
B
H
E
Xét (O;R) có
DBE DAE=
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung DE)
Mà
DAE DHI=
(cmt)
DHI DBE⇒=
Xét tứ giác
DIEK
có:
90DIE IEK DKE= = = °
⇒
Tứ giác
DIEK
là hình chữ nhật
⇒
IK
và
DE
cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
⇒
G
là trung điểm của
IK
.
0,25
Giả sử
CI
cắt
BK
tại
N
;
NG
cắt
CE
tại
’M
Ta có:
// ' ''
IG NG
IG CM CM NM
⇒=
(Hệ quả định lí Ta let)
// ' ''
GK NG
GK M E M E NM
⇒=
''
IG GK
CM M E
⇒=
Mà
IG GK=
(
G
là trung điểm
IK
)
''CM M E⇒=
⇒
’M
là trung điểm của
CE
⇒
M
trùng
’M
⇒
, , M GN
thẳng hàng
Vậy
, , CI MG BE
đồng quy
0,25
V
(1,0đ)
Cho các số thực không âm
,,xyz
thỏa mãn
3.xy yz zx xyz++=
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
222
3
111 2
xyz
Q xyz
yzx
=+++
+++
.
Vì
3.xy yz zx xyz++=
nên
1113
xyz
++=
0,25
Mà
( )
111 93xyz xyz
xyz

++ + + ≥⇒++≥


(1)
Ta có:
22
22
1 1 22
x xy xy xy
x xx
y yy
=− ≥− =−
++
( Vì
2
1 20yy+≥ >
)
Tương tự
22
;
1 21 2
y yz z zx
yz
zx
≥− ≥−
++
0,25
Suy ra
222
111
xyz
yzx
++≥
+++
22 2
xy yz zx
xyz
y
− +− +−
( )
222
1
111 2
xyz xy yz zx x y z
yzx
⇔ + + + + + ≥++
+++
222
3
111 2
xyzxyz x y z
yzx
⇔ + + + ≥++
+++
(2)
0,25
Từ (1) và (2), ta được
3Q≥
.
Khi
1xyz= = =
thì
3Q=
.Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q bằng 3. 0,25
----------------
-
- Hết -----------------
TRƯỜNG THCS MINH KHAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ B
KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH LỚP 9
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 22/3/2024
(Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang)
Câu I (2,0 điểm). Cho biểu thức:
32 6 3
23 1 3
− −+
= −−
−− + −
yy y y
Qyy y y
với
0; 9≥≠yy
1. Rút gọn biểu thức Q.
2. Tính giá trị của biểu thức Q khi
3 22= −y
.
Câu II (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường thẳng
( ): .= +d y ax b
Tìm
,ab
để đường thẳng
có hệ số góc bằng
2
và đi qua điểm
( 1; 2)M−
.
2. Giải hệ phương trình:
xy2
3x 2y 6
−=
+=
Câu III (2,0 điểm).
1. Giải phương trình:
2
4 30− +=xx
.
2. Cho phương trình
22
2 20x mx m− − −=
(
m
là tham số). Tìm các giá trị của
m
để phương trình có hai nghiệm
12
,xx
(với
12
>xx
) thỏa mãn hệ thức
2
2 1 12
2 3 3 34+ − = ++x x xx m m
.
Câu IV (3,0 điểm). Cho đường tròn tâm (O) đường kính
AB
, lấy điểm
Q
thuộc
đường kính
AB
, qua điểm
Q
kẻ dây
CD
vuông góc với đường kính
AB
, lấy điểm
E
thuộc cung nhỏ
BD
(
E
khác
B
và
D
);
AE
cắt CD tại điểm
F
.
1. Chứng minh: Tứ giác
BEFQ
nội tiếp.
2. Chứng minh:
24. .=CD AQ QB
3. Đường thẳng đi qua
Q
song song với
CE
, cắt đường thẳng
AE
và
BE
lần
lượt tại
I
và
K
. Gọi G là giao điểm của DE và IK, M là trung điểm của đoạn
thẳng CE. Chứng minh:
DI AE⊥
và ba đường thẳng CI, MG, BE đồng quy.
Câu V (1,0 điểm). Cho các số thực không âm
,,abc
thỏa mãn
3.++=ab bc ca abc
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22 2
3
111 2
=+++
+++
abc
A abc
bca
.
-------------------------------------- HẾT ----------------------------------------------
Họ và tên thí sinh: ..............................................................................
Chữ ký của CBCT1: ........................................................................
SBD: ................................................................
Chữ ký của CBCT2: ................................