ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO

Học kỳ 2 - 2012-2013

(Thí sinh được tham khảo mọi tài liệu mang theo )

THỜI GIAN : 120 PHÚT

Sinh viên làm càng nhiều càng tốt, điểm 10 dành cho một số sinh viên làm đúng nhiều câu hỏi. Trong các câu chỉ có một khẳng định, thí sinh phải chứng minh khẳng định của mình. Trong các câu hỏi có trường hợp đúng có trường hợp sai, thí sinh phải cho các thí dụ tương ứng và chứng minh các khẳng định trong các thí dụ đó.

Giải các câu sau : 1. Cho {Em} là một dãy tập con đo được trong một không gian đo được (X, M, µ).

n=1(∪m≥nEm). Hỏi đẳng thức sau đây đúng hay sai

Đặt fn = χEn và E = ∩∞

fn = χE ? lim inf n→∞

X

n=1 2−nfn(x) có hội tụ hầu hết trên X?

2. Cho {fm} là một dãy hàm khả tích trong một không gian đo được (X, M, µ). Giả sử (cid:90) ∀ n ∈ IN . |fn|dµ ≤ 1

Hỏi chuổi số (cid:80)∞ 3. Cho µ là độ đo Lebesgue trên IR , f trong L1(µ), và {fn} là một dãy L1(µ). Giả sử (cid:90) |fn − f |dµ = 0. lim n→∞ IR

E

Cho một số thực dương (cid:15). Hỏi có hay không một số thực dương δ sao cho nếu E là một tập con đo được với µ(E) ≤ δ thì (cid:90) ∀ n ∈ IN ? |fn|dµ < (cid:15)

4. Đặt (cid:90) Λ(f ) = ∀ f ∈ Cc(IR). χ[0,2]f (t)dt IR

(i) Chứng minh Λ là một ánh xạ tuyến tính dương trên Cc(IR). (ii) Đặt µ là độ đo Borel tương ứng với Λ như trong định lý 2.14. Cho E là khoảng [1, 4]. Tính µ([1, 4]).

5. Cho µ là độ đo Lebegue trong IR, M là σ-đại số Lebegue và f thuộc Cc(IR) (liên tục

có giá compắc). Giả sử f ≥ 0 trên IR và (cid:90) f dµ = 1. IR

E

Đặt (cid:90) ν(E) = f dµ ∀ E ∈ M.

Chấp nhận ν là một độ đo dương. Hỏi support của ν là tập gì? 6. Cho µ là độ đo Lebegue trong IR2 và một số thực dương (cid:15). Hỏi có hay không một tập đo được E sao cho E = IR2 và 0 < µ(E) ≤ (cid:15)?

Hết

1