ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO

Học kỳ 2 - 2014-2015

(Thí sinh được tham khảo mọi tài liệu mang theo )

THỜI GIAN : 120 PHÚT

Sinh viên làm càng nhiều càng tốt, điểm 10 dành cho một số sinh viên làm đúng nhiều câu hỏi. Trong các câu chỉ có một khẳng định, thí sinh phải chứng minh khẳng định của mình. Trong các câu hỏi có trường hợp đúng có trường hợp sai, thí sinh phải cho các thí dụ tương ứng và chứng minh các khẳng định trong các thí dụ đó.

Giải các câu sau : 1. Cho f là một hàm số thực đo được trong một không gian đo được (X, M, µ) sao cho f (X) ⊂ [−1, 1]. Hỏi kết luận sau đây đúng hay sai: có một dãy hàm bậc thang {sm} sao cho sm(x) ≤ sn(x) với mọi x trong X và m ≤ n, và {sm} hội tụ đều về f trên X.

2. Cho {fm} là một hàm số thực đo được trong một không gian đo được (X, M, µ) và g là một hàm số khả tích trên X. Giả sử fm(x) ≥ g(x) với mọi x trong X và với mọi số nguyên n. Hỏi bất đẳng thức sau đây đúng hay sai

X

X

(cid:90) (cid:90) fndµ. lim inf n→∞ fndµ ≤ lim inf n→∞

1 µ(E)

E

3. Cho (X, M, µ) là một không gian đo được, α và β là hai số thực và f thuộc L1(X) sao cho α < β và f (X) ⊂ [α, β]. Hỏi kết luận sau đúng hay sai: nếu E là một tập con đo được với µ(E) > 0, ta có (cid:90) f dµ ∈ [α, β].

4. Cho (X, M, µ)là một không gian đo được với µ(x) < ∞, {fm} là một dãy trong L1(X). Giả sử {fm} hội tụ đều về f trên X. Hỏi kết luận sau đúng hay sai: f ∈ L1(X) và

X

X

(cid:90) (cid:90) f dµ. fndµ = lim n→∞

Hết

1