1
HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
MATHOLP’04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004
Môn thi: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho các ma trận:
113
520
331
;
110
123
031
TA
a) Tính B = T – 1AT.
b) Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A.
Câu 2. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông thực cấp hai A, B, C ta luôn có
2004 2004
– – .AB BA C C AB BA
Câu 3. Biết rằng các ma trận vuông A, B đều là nghiệm của đa thức f(x)= x2– x
và AB + BA = 0. Tính det(A – B) ?
Câu 4. Cho ma trận thực
nn
ij
aA
thoả mãn điều kiện:
ji
ji
aij ,1
,0
Chứng minh rằng:
a) Nếu n= 3, thì tồn tại ma trận A để sao cho detA = 0.
b) Nếu n= 4, ta luôn có detA
0.
Câu 5.
a) Xác định đa thức f(x) dạng
f(x) = x5 – 3x4+2x3 +ax2 +bx +c
biết rằng nó chia hết cho đa thức (x – 1)(x +1)(x – 2).
b) Cho P(x), Q(x), R(x) là các đa thức với hệ số thực có bậc tương ứng là 3, 2, 3
thỏa mãn điều kiện (P(x) + Q(x))2=(R(x))2. Hỏi đa thức T(x)=P(x)Q(x)R(x) có ít nhất
bao nhiêu nghiệm thực (kể cả bội của nghiệm).
-------o0o-------
2
ĐÁP ÁN
OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004
Môn thi: Đại số
Câu 1. Cho các ma trận:
113
520
331
;
110
123
031
TA
a) Tính B = T – 1AT.
b) Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A.
Giải.
a) Ta có
11
7 0 21 1
115 10 5 , 3
70 6 10 2 4
T B T AT

.
b) Giá trị riêng {–1, –3, 4}.
Câu 2. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông thực cấp hai A, B, C ta luôn có
(AB – BA)2004C = C(AB – BA)2004.
Giải.
Tính toán trực tiếp ta thấy với cặp ma trận vuông cấp hai A và B bất kỳ, AB và BA
có cùng một vết. Từ đó suy ra ma trận D=AB –BA có vết bằng 0. Vậy nên
ab
Dca



và D2 = (a2 +cb)E.
Do đó
D2004= (a2 + cb)1002E
và nó giao hoán với mọi ma trận C.
Câu 3. Biết rằng các ma trận vuông A, B đều là nghiệm của đa thức f(x)= x2– x và
AB+ BA = 0. Tính det(A – B) ?
Giải.
Ta có A2=A, B2=B nên
Đặt
det( ) , det( )A B A B

. Ta có
2
2
22
det( ) det( )
det( ) det( )
A B A B hay
A B A B



Suy ra
( , ) (0, 0), ( , ) (1, 1), ( , ) ( 1, 1).
Vậy ta có ba trường hợp:
(i)
0
, chẳng hạn khi A = 0, B = 0.
(ii)
1,
chẳng hạn khi A = E, B = 0.
(iii)
1,

chẳng hạn khi
3
1 0 0 0
,.
0 0 0 1
AB

Câu 4. Cho ma trận thực
nn
ij
aA
thoả mãn điều kiện:
ji
ji
aij ,1
,0
Chứng minh rằng:
a) Nếu n= 3, thì tồn tại ma trận A để sao cho detA = 0.
b) Nếu n= 4, ta luôn có detA
0.
Giải.
a) Ví dụ, với
3
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A





ta có detA3 = 0.
b) Xét ma trận
0 1 1 1
1 0 1 1 .
1 1 0 1
1 1 1 0
B






Ta tính được detB= –3.
Theo định nghĩa của định thức thì
14
1 2 3 4
14
( ,..., )
1 2 3 4
( ,..., )
det ( 1)N j j
j j j j
jj
B b b b b
và
14
1 2 3 4
14
( ,..., )
1 2 3 4
( ,..., )
det ( 1) (*)
N j j
j j j j
jj
A a a a a
Rõ ràng là nếu tích
1 2 3 4
1 2 3 4 0
j j j j
b b b b
thì tích
1 2 3 4
1 2 3 4 0
j j j j
a a a a
và ngược lại. Do
det 3B
là một số lẻ nên số số hạng khác 0 trong (*) cũng là một số lẻ và vì vậy
det 0.A
Câu 5.
a) Xác định đa thức f(x) dạng
f(x) = x5 – 3x4+2x3 +ax2 +bx +c
biết rằng nó chia hết cho đa thức (x – 1)(x +1)(x – 2).
b) Cho P(x), Q(x), R(x) là các đa thức với hệ số thực có bậc tương ứng là 3, 2, 3
thỏa mãn điều kiện (P(x) + Q(x))2=(R(x))2. Hỏi đa thức T(x)=P(x)Q(x)R(x) có ít nhất
bao nhiêu nghiệm thực (kể cả bội của nghiệm).
Giải.
a) Từ giả thiết
(1) ( 1) (2) 0,f f f
ta thu được hệ phương trình
0
6 0.
4 2 0
abc
a b c
a b c
Giải hệ này, ta thu được
1, 3, 2.a b c
Vậy đa thức cần tìm là
4
f(x) = x5 – 3x4 +2x3 + x2 – 3x +2.
b) Không mất tính tổng quát, có thể coi các hệ số bậc cao nhất của các đa thức P,
Q, R đều dương.
Trước hết, ta chứng minh đa thức Q(x) luôn luôn có 2 nghiệm thực.
Ta có Q2 = (R – P)(R + P). Vì degP=degQ = 3 nên deg(R + P)= 3. Do degQ2 = 4
nên deg(R – P) =1. Do đó đa thức Q2 có nghiệm thực và vì vậy đa thức Q có nghiệm
thực. Vì degQ=2 nên Q có đúng 2 nghiệm thực.
Tiếp theo, ta chứng minh đa thức P(x) luôn luôn có 3 nghiệm thực.
Ta có P2=(R – Q)(R + Q). Vì deg(R – Q)=deg(R + Q)= 3 nên các đa thức (R – Q)
và (R + Q) có nghiệm thực. Nếu hai nghiệm thực đó khác nhau, thì P có hai nghiệm
thực phân biệt và nghiệm còn lại của P hiển nhiên cũng là nghiệm thực. Nếu (R – Q)
và (R + Q) có chung nghiệm thực x = a thì x = a là nghiệm của R và của Q. Do vậy
1 1 1
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ).R x x a R x Q x x a Q x P x x a P x
Thế vào hệ thức P2=(R – Q)(R + Q), ta thu được
2 2 2
1 1 1 ,P R Q
với
11
,PR
là các tam
thức bậc hai, Q1 là nhị thức bậc nhất. Ta có
2
1 1 1 1 1
( )( ).Q R P R P
Vì
2
1
Q
là đa thức bậc hai và R1+ Q1 là tam thức bậc hai nên R1 – P1 là đa thức hằng.
Vậy, nếu
2
1( ) ( 0)P x ax bx c a
và
1()Q x dx e
thì
2
1()R x ax bx c k
và
2
11
( ) ( ) ( ) . (1)k R x P x dx e
Suy ra k>0. Thay giá trị
e
xd

vào (1), ta thu được
11
0
ee
RP
dd
nên
10.
2
ek
Pd



Do đó tam thức bậc hai P1(x) có hai nghiệm thực và P(x) có 3
nghiệm thực.
Trở lại bài toán. Do P có 3 nghiệm thực, Q có 2 nghiệm thực và R là đa thức bậc 3
(có ít nhất 1 nghiệm thực) nên số nghiệm thực của T(x) không nhỏ thua 6.
Ví dụ, ta chọn
32
2
32
( ) 3 2 ,
( ) 2( 2 1),
( ) 3 4 2
P x x x x
Q x x x
R x x x x
thì P2+Q2=R2 và đa thức (PQR) có đúng 6 nghiệm thực.
5
HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
MATHOLP’05 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005
Môn thi: Đại số
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Xét ma trận có dạng
2
1 1 2 1 3 1 4
2
1 2 2 2 3 2 4
2
1 3 2 3 3 3 4
2
1 4 2 4 3 4 4
1
1,
1
1
x x x x x x x
x x x x x x x
Ax x x x x x x
x x x x x x x







Chứng minh rằng định thức của A là một đa thức đối xứng theo các biến
1 2 3 4
, , , .x x x x
Tính định thức của A khi
1 2 3 4
, , ,x x x x
lần lượt là 4 nghiệm của đa thức
4 3 2
4( ) 5 1.P x x x x
Câu 2. Cho ma trận
22
.
13
A


Tìm ma trận B có các giá trị riêng dương sao cho B2 =A.
Câu 3.
1) Tồn tại hay không đa thức P(x) thoả mãn
( ) ( )P x P x

và
( ) ( ),P x P x
với mọi
x ?
2) Biết rằng đa thức Q(x) có tính chất
( ) ( ), .Q x Q x x
¡
Chứng minh rằng
( ) 0, .Q x x ¡
Câu 4. Cho ma trận
2 1 0
0 1 0 ,
0 0 2
M





Đặt
, 1,2,3.
( ) ( , 2).
n
ij ij
M b n n n
¥
Tính
33
11
( ).
n ij
ij
S b n


Câu 5. Giải hệ phương trình
1 2 1
1
21 2
11
..... 2004
..... 2005 1
.................................. ...................
...
2005 1
nn
nn
n
nn
a
x x x x
ax
x x x
a x x
x
--------Hết--------