BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
-------------
*
*
-------------
ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2010-2011
(Vòng chung khảo)
Thời gian làm bài: 150 phút
--------------------------
Câu 1. Cho A là ma trận vuông cấp 2011 và |A| = 2010. Tính |A
*
|, trong đó A
*
là ma trận phù
hợp của A.
Câu 2. Tìm giới hạn sau:
lim
→+tan+3
1+2sin−cos
Câu 3. Tìm m để ma trận sau có hạng nhỏ nhất:
=−2
−1
−2−1
4
3
13
1
5
1
−3
0
3
Câu 4. Xét sự khả vi của hàm số sau:
!"=#$%&
'
(ℎ≠0
0(ℎ=0+
tại điểm x = 0.
Câu 5. Giải hệ phương trình tuyến tính
,
-
.
-
/
2&+3−20+1+42=6
3&+2−0+1+32=7
4&+5−30+21+52=11
2&−2+0−1−22=3
2&++20−22=5 +
----------&&----------
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
-------------
*
*
-------------
ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
(Vòng chung khảo)
Thời gian làm bài: 150 phút
--------------------------
Câu 1. Có tồn tại ma trận thỏa mãn:
&=52010 2011
2012 0 6
hay không? Tại sao?
Câu 2. Tính giới hạn sau: lim
→arctan++0
89−$
:
Câu 3. Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ sau trong
không gian ;<:
=&=!0,…,0,1";==!0,…,2,1";…;=<=!,…,2,1"
Câu 4. Cho !" là hàm khả vi đến cấp 2 trên R. Chứng minh rằng !2012">
2012 biết rằng !0"=0, ′!0"=1và CC!"≥0,∀∈G.
Câu 5. Giải hệ phương trình sau:
H3&+−20+31=−1
&+3−20−21=1
2&−4+0+31=−3
−&−+0+21=0+
----------&&----------
HƯỚNG DẪN GIẢI NĂM 2010 – 2011
Câu 1. Do |A| = 2010 ≠ 0 nên A khả nghịch.
Ta có: %&=&
|J|∗⇒∗=2010.%&⇒|∗|=2010&&.|%&|
Mà A.A
-1
= E suy ra |A|.|A
-1
| = 1 suy ra |A
-1
= 1/|A| = 1/2010
Suy ra |A
*
| = 2010
2010
.
Câu 2. Do sin
2
x ~ tanx
2
~ x
2
khi x → 0
1 – cosx = 2sin
2
(x/2) ~ x
2
/2 khi x → 0
nên lim
→+tan+ 3
1+2sin−cos =lim
→ 3
2sin=3
2
Câu 3. Biến đổi ma trận A
=−2
−1
−2 −1
4
3
1 3
1
5
1
−3
0
3→1
−3
0
3 −1
4
3
1 3
1
5
−2
−1
−2→1
0
0
0 −1
1
0
0 3
10
−25
−49 −2
−6
17−3
28−4
Do P&,,0
&,,0=−25≠0 suy ra r(A) ≥ 3
Dễ thấy với m = 17/3 thì r(A) = 4.
Với m ≠ 17/3 ta thấy Q!"= 3 ⇔ S
'
%1T
%2 =U%1S
&V%0S⇔
W
X
X
Y
=7
=%Z√\&
0
=%%√\&
0+
Câu 4. Xét lim→]!"%]!"
% =lim→^
_`
a'
=limb→c^
_d'
&/b = limb→c b
^
d'
=f
ghi lim
b→c &
b^
d'
=0
(Với t = 1/x). Vậy f(x) khả vi tại 0.
Câu 5. Biến đổi ma trận hệ số mở rộng
j=
k
l
m
2
3
4
2
2 3
2
5
−2
1 −2
−1
−3
1
2 1
1
2
−1
0 4
3
5
−2
−1 ||||| 6
7
11
3
5
n
o
p
về dạng tam giác (nên đổi cột 1 cho cột 4, ẩn cũng đổi tương ứng), thay ẩn, ta được nghiệm duy
nhất của hệ: (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
) = (2, 1, 0, -1, 0).
----------&&----------
ĐÁP ÁN &THANG ĐIỂM NĂM 2011 – 2012
ĐÁP ÁN Điểm
Câu 1
(5 điểm)
Giả sử tồn tại ma trận A thỏa mãn bài toán
Khi đó
|
&
|
=
|
|
&
≥
0
2.5 đ
Mặt khác
|
&
|
=
−
2011
.
2012
<
0
. Mâu thuẫn
Vậy không có ma trận A thỏa mãn bài toán 2.5 đ
Câu 2
(3 điểm)
lim
→
arctan
+
+

0
89
−
$

:
=
lim
→
arctan
+
+

0
89
−
1
+
1
−
$

:
1 đ
=
lim
→
arctan
+
−
2
sin
2
=
−
2
lim
→
arctan
+
=
−
4
2 đ
Câu 3
(3 điểm)
Do
|
|
=
r
−
1
⋯
1
0
−
1
⋯
1
⋯
0
0
⋯
1
r
=
!
≠
0
2 đ
Suy ra
Q
!
"
=
. Vậy hệ véc tơ đã cho độc lập tuyến tính 1 đ
Câu 4
(5 điểm)
Do
C
C
!
"
≥
0
,
∀
∈
G
⇒
C
!
"
là hàm đồng biến trên R
⇒
C
!
"
≥
C
!
0
"
=
1
,
∀
≥
0
2 đ
Xét hàm
u
!
"
=
!
"
−
. Ta có
u
C
!
"
=
C
!
"
−
1
≥
0
,
∀
≥
0
⇒
u
!
"
ĐB /
[
0
,
+
∞
"
⇒
u
!
2012
"
>
u
!
0
"
=
0
⇒
!
2012
"
>
2012
3 đ
Câu 5
(4 điểm)
x
→
y
0
0
0
0
0
2
−
1
0
0
−
1
0
−
1
0
1
7
2
z
0
1
0
0
{
2.5 đ
Hệ đã cho tương đương:
|
2−0=1
7
1
=
0
−
&
−
+
0
+
2
1
=
0
+
⇔
|
1=0
0
=
2
−
1
&
=
−
1
+
1.5 đ