HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM

KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN NĂM HỌC 2016 ĐỀ THI MÔN : GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 120 phút

Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… SBD: ……………………

Bài 1. (Dãy số)

1) Cho dãy số xác định bởi:

a) Chứng minh rằng với mọi .

b) Chứng minh dãy số đơn điệu. c) Chứng minh dãy số hội tụ và tìm giới hạn của dãy số.

2) Cho dãy số xác định bởi: Chứng minh

3) Cho và dãy số xác định bởi với mọi

a) Chứng minh giảm, bị chặn dưới và có giới hạn 0.

b) Tìm giới hạn . (HD: tìm cách sử dụng định lý Stolz)

Bài 2. (Hàm số, hàm số liên tục)

1) Giả sử là một hàm số thực xác định trên sao cho với mọi

. Bằng cách chọn các giá trị thích hợp của , chứng minh rằng:

a)

b) Hơn nữa, với mọi

2) Cho hàm số là hàm số liên tục. Chứng minh rằng tồn tại sao

cho (HD: sử dụng định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Bài 3. (Phép tính vi phân hàm số)

1) Chứng minh rằng với mọi

2) Cho là hàm số khả vi cấp hai liên tục trên và phương trình có ba

nghiệm phân biệt. a) Áp dụng định lý Rolle với hàm số hãy chứng minh phương trình

có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

b) Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm.

------------------------------------------- Hết -------------------------------------------

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM

KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN NĂM HỌC 2016 ĐÁP ÁN MÔN : GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1. 1)

a) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp (đã điều chỉnh lại đề bài)

Với , thỏa mãn (*) .

Giả sử (*) đúng đến , ta có

Suy ra (*) đúng đến . Ta có đpcm.

b) Xét do (*) nên dãy là dãy tăng.

c) Dãy là dãy tăng và bị chặn trên bởi nên tồn tại thỏa mãn

phương trình

2) Ta có nên là dãy tăng. Giả sử dãy bị chặn, suy ra tồn tại

thỏa mãn phương trình . Phương trình này vô nghiệm nên điều giả sử là

không đúng. Vậy dãy đã cho không bị chặn.

3) a) Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được .

Lại có nên tồn tại thỏa mãn

Vậy .

b) Xét . Đặt . Ta có

Lại có (do )

Vậy theo định lí Stolz , ta có hay . Suy ra

Bài 2. 1)

a) Cho ta được

b) Cho ta được .

Vậy . Kết hợp với câu a) cho ta kết luận .

2) Xét trên là hàm liên tục thỏa mãn

(do ) nên . Theo định lí giá trị trung gian của hàm liên tục, tồn tại

sao cho hay .

Bài 3. 1) Chứng minh với 

Xét 2 trường hợp

Trường hợp 1: , bất đẳng thức tương đương . Xét hàm số

với . Ta có nên là hàm nghịch biến

trên . Vậy với .

Trường hợp 2: . Đặt ta chuyển về trường hợp 1 với bất đẳng thức

(*) được chứng minh như trên.

2) a) Xét hàm là hàm số liên tục, khả vi trên và

với là các nghiệm của phương trình . Áp dụng định lí Rolle cho trên

đoạn , tồn tại sao cho hay

Tương tự tồn tại sao cho hay phương trình có 2

nghiệm phân biệt

b) Áp dụng định lí Rolle cho hàm trên , tồn tại sao

cho hay .

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm.