TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 20132014
Môn: Toán 12. Khối D.
3
Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
- - = - + + x
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2 Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số ( 2m 1)x m 1
( Cm ) . y 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1 = . = 2) Tìm m để đường thẳng y 2mx m 1 - - cắt cắt đồ thị hàm số ( Cm ) tại ba điểm phân biệt có
2
3 2 sin x 3
- =
-
+
hoành độ lập thành một cấp số cộng.
( 3 sin x 2 sin x 3 tan x .
)
4
2
2
+
y
2xy
+
=
13
2
) +
( 9 x
-
( x
) y
Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình:
=
3
1 -
y
x
(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) + 2x (cid:239) (cid:238)
3
. 2)Giải hệ phương trình:
=
3x 2 - 3x 2 Câu III (1,0 điểm). Tính giới hạn : = L lim fi x 2 + - - x 2
, , BC a 2 = . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của tam giác BCD ,
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành với AB 2a BD a 6 = . biết SG 2a = Tính thể tích V của hình chóp S .ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a .
, x y là các số dương thoả mãn
3 = Câu V (1,0 điểm). Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1 xy 1 + + x 1 y
(
)
) A 0;3 ,
(
M = + + - - thức: 3 x y ( y + 1) 3 y x ( x + 1) x 1 + y 1 2 x 1 2 y
B. PHẦN RIÊNG (3 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1.Theo chương trình Chuẩn Câu VIA (2,0 điểm) 1)Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai B 3;4 và C nằm trên đáy là AB , CD ; hai đường chéo AC , BD vuông góc với nhau. Biết trục hoành. Xác định toạ độ đỉnh D của hình thang ABCD .
2
3
x
+
( ) = p x
x
n (cid:246) (cid:247) ł
(cid:230) (cid:231) Ł
C
+
3C
+
3C
+
C
=
2)Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : . Biết rằng số nguyên dương n
6 n
7 n
8 n
9 n
2C +
8 n 2
2
thoả mãn
(
)
(
)
+ y m 3m x 2 m 3 cos x - = - luôn nghịch biến trên ¡ CâuVIIA (1,0điểm).Xác định m để hàm số:
là +
( 12 2 1.2.C
) . 3 +
2.3.C
+ L
=
+
S
2.Theo chương trình nâng cao. Câu VI B (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,lập phương trình chính tắc của elip ( ) E biết rằng có một đỉnh và hai tiêu điểm của ( ) E tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của ( ) E 2) Tính tổng :
2 2013
3 2013
2013 2013
2
2
( y m m 1 x m m 1 sin x 2m
)
)
2012.2013.C (
CâuVII B (1,0 điểm).Xác định m để hàm số: + + - + + = + luôn đồng
biến trên ¡ HẾT
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 20132014
Môn: Toán 12. Khối D.
Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Văn bản này gồm 05 trang)
3
I) Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định. 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong các giáo viên chấm thi. 3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả. II) Đáp án và thang điểm: Câu Điểm
2 ( 2m 1)x m 1
2
3
Đáp án ( Cm ) . x y + + = - - - 1,0 đ
= - - 2 + x
x
x
CâuI 0,25 y = -¥ . Đồ thị hàm số không có tiệm cận. Cho hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1 = . Khi m 1 = hàm số trở thành 3x y Tập xác định: R; hàm số liên tục trên R. y Sự biến thiên: lim fi-¥ = +¥ ; lim fi+¥
+ 0 0 1 – – Bảng biến thiên: x –(cid:181) y’ y +(cid:181) 2 +(cid:181) 0 + 2 2,0 đ 0.25
yĐU = 0
–2 –(cid:181) Đồ thị của hàm số có dạng như hình dưới đây:
0.25
2
2
3
3 (cid:219) - x
2mx m 1 - - cắt ( Cm ) tại ba điểm phân biệt có hoành độ = 1,0đ
+ ( 2m 1 )x + 2mx 0 = 2) Tìm m để đường thẳng y lập thành một cấp số cộng Xét phương trình hoành độ giao điểm: - - - - = ( 2m 1)x m 1 2mx m 1 - + + x
2
( x x
) =
2m
x = 0 Ø Œ (cid:219) = x 1 Œ Œ = x º
0.25 (cid:219) - + ( 2m 1 )x 2m 0 +
2
- -
(
) ; A 0; m 1
(
) C 2m;4m m 1
(
(cid:219) „
m 0;m
„
Ba giao điểm là: - -
) ; B 1;m 1 - 1 2
(*) Ta có: A , B , C phân biệt
(cid:219) + =
0 1 2.2m
(cid:219) = m
Sắp sếp các hoành độ theo thứ tự tăng dần ta có các dãy số sau • 0 ; 1 ; 2m lập thành cấp số cộng (cid:219) + 0 2m 2.1 = (cid:219) = thoả mãn (*) 0.25
(cid:219) + = (cid:219) = -
2m 1 2.0
m
1 2
-
;1
• 0 ; 2m ; 1 lập thành cấp số cộng thoả mãn (*) m 1 1 4 0.25 • 2m ; 0 ; 1 lập thành cấp số cộng thoả mãn (*)
1 1 ; 2 4
2
3 2 sin x 3
- =
-
+
Kết luận: m = 0.25
( 3 sin x 2 sin x 3 tan x
)
0 „
2
3
1) Giải phương trình: .(1)
=
-
+
-
)
2
2
3
0.25 CâuII Điều kiện: cos x Phương trình đã cho tương đương với : 2 sin x.cos x 3 cos x
2
-
0
+ -
( 3 sin x 2 sin x 3 sin x = - ) +
(
2
(cid:219) (cid:219) 3cos x.sin x 2 sin x ) = 3 cos x sin x.cos x 1
2
(cid:219) - + 0 0.25 2,0 đ
) =
(cid:219) sin 2x 1 2 2 cos x 3 cos x + - - 0 1 2 2 sin x.cos x 3 cos x ( 2 sin x sin x.cos x 1 - ) )( ( = sin x.cos x 1 2 sin x 3cos x (cid:246) (cid:230) ( (cid:247) (cid:231) ł Ł
2
=
( ) 2 VN 1 2
(cid:219)
cos x
= - (cid:219) = –
x
+
k 2 ,k
p ˛ ¢ ( thoả mãn điều kiện )
1 2
p 2 3
(cid:219) 2 cos x 3 cos x 2 0 - = - ( do sin 2x 2 0, x - „ " ) 0.25 = - Ø cos x Œ (cid:219) Œ cos x Œ º
x
= –
+
k 2 ,k
p ˛ ¢
p 2 3
4
2
2
+
y
2xy
+
=
13
2
( 9 x
) +
-
( x
) y
0.25 Vậy phương trình có hai họ nghiệm:
=
3
1 -
y
x
(cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) + 2x (cid:239) (cid:238)
2
2
2)Giải hệ phương trình: .
)
)
2
( x
) y
1 + y + 4 - y + = 13 - Ø ( x Œ Œ º ø œ œ ß Viết lại hệ phương trình: Đ/K x - „ y 0 0.25
) ( + x
) +
( x
) y
+ y - y = 3 1 - (cid:236) ( (cid:239) 5 x (cid:239) (cid:237) (cid:239) ( x (cid:239) (cid:238)
2
2
a = + x y ; b = - + x y Đặt điều kiện b . 2 ‡ y x
2
) =
0.25 - 2 13 + a 1 a = (cid:218) = 9a - 24a 15 0 = + Hệ đã cho trở thành: (cid:219) (cid:219) 5 3 = - 3 a 1 - ( 4 b + = a b 3 (cid:236) (cid:237) b (cid:238) (cid:236) 5a (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) = - 3 a (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) b (cid:238)
+ = y 1 = a 1 x + = y 1 = x 1 • (cid:219) (cid:219) (cid:219) 0.25 - + y = 2 b = 2 x - = y 1 = y 1 (cid:236) (cid:237) (cid:238) (cid:236) (cid:237) (cid:238) (cid:236) (cid:237) (cid:238) 1 - y x x (cid:236) (cid:239) (cid:237) x (cid:239) (cid:238)
x; y
= 5 3 Loại 0.25 3 a 3 5 3 (cid:236) a (cid:239) (cid:239) • (cid:237) (cid:239) = - = - = b (cid:239) (cid:238)
( ) ) = 1;1
3
4 3 Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất (
3
3
+ - 3x 2 2
-
2
2
(
3x 2 - 3x 2 1,0đ Tính giới hạn : = L lim fi x 2
=
=
-
=
-
L 1
L 2
lim fi x 2
lim fi x 2
) ( + 2 - x 2
+ - 3x 2 - x 2
- - 3x 2 - x 2
(cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł
(cid:246) (cid:247) (cid:247) ł
3
2
+ - 3x 2 8
=
=
L 1
lim fi x 2
2
3
3x 2 + - - x 2
3
+
2 3x 2 4
+ +
( + 3x 2
)
lim fi x 2 ( - x 2
(cid:246) (cid:247) ł
(cid:230) ) (cid:231) Ł
+ - x 2 - ) - 3x 2 0.25 CâuIII L
3
=
=
L 1
2
lim fi x 2
3
3
1 4
+
2 3x 2
+ +
4
( + 3x 2
)
1,0đ 0.25
= = L 2 lim fi x 2 3x 2 2 - - - x 2 lim ( fi x 2 - x 2 - - 3x 2 4 )(
) - + 3x 2 2
0.25
-
=
-
= -
= = L 2 lim fi x 2
= L L 1
L 2
=
0.25 3 - + 3x 2 2 3 1 4 4 3 4 1 2
=
, , BC a 2 = . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của CâuIV 1,0đ
Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành với AB 2a = BD a 6 tam giác BCD , biết SG 2a . Tính thể tích V của hình chóp S .ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a .
2
2
1,0đ 0.25
2 BD )
Nhận xét ABCD là hình chữ nhật (do AB + AD =
3 a
S .ABCD
ABCD
0.25 V = SG.S = 1 3 4 2 3
0.25 K là điểm đối xứng với D qua C, H là hình chiếu vuông góc của G lên BK suy ra BK ( SHG ) . Gọi I là hình chiếu vuông góc của G lên SH suy ra GI = d(AC,SB) ^
2
2
2a 2a = + (cid:222) = (cid:222) CJ GH = GH = CJ mà 1 CJ 1 BC 1 2 CK 3 3
0.25 Tam giác SHG vuông ở G suy ra GI=a. Vậy: d(AC,SB) = a
, x y là các số dương thoả mãn
= 3 Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 + + x 1 y
) 2 ( + a b
M = + + - - CÂU V 1,0đ 3 x y ( y + 1) 3 y x ( x + 1) x 1 + y 1 2 x 1 xy 1 2 y
( + a b
) =
a = > 0, b = > 0 Đặt , theo đề bài ta có - 3 ab £ (BĐTCauchy), Cách 1 0.25 1 x 4
a b + >
2
M
=
-
a
-
2 b
+
kết hợp với suy ra 1 y 0
2 3 b + + 1 a
ab + a b
2
Ta tìm giá trị lớn nhất của
2
2
( + a b ) = 3 + + a b ) + 2 ab - ( 0.25 2 - + + + ab a b + + ab a b 1
a b + ‡ 3 a + b 1 ab a b + ø 2 œ ß
g t ( )
2 = - + +
t
t
+
2
(do + = - + ( a b ) + + + a b ab = - 3 ( + a b ) ) 12 + a b 1 Ø Œ 4 º
t
= + ‡ xét hàm số:
a b
2
) 2; +¥
12 t
¢ = - - ( ) g t
t 2
+ < " ‡
1 0,
t
2
12 2 t
Đặt trên [ 0.25 suy ra g t nghịch biến trên (2, ( ) ) +¥
3 2
2
(2) = 6 suy ra giá trị lớn nhất của M bằng đạt được khi Do đó = g 0,25 a b y
M
=
+
-
a
-
2 b
3 a + b 1
3 b + + 1 a
ab + a b
0 b 0, > = = a > , theo đề bài ta có Cách 2 Đặt 0.25
( ) + a ab b b
( ) + a ab b a
2
2 . b
+ g t max ( ) [ ) +¥ 2, 1 1 = = (cid:219) = = . x 1 1 y x + 0.25 + - a - M = + a ab + a b b + 1 + ab ab ab £ + + = + M = + + 0.25
) ab (BĐT AMGM)
ab + a b 1 ab + a 1 b 2
+
) 1
=
+
M
£
+
1 2
2
2
+ a b 2
3 2
1 2
Ø Œ º
ø œ ß
a + 2 ( a b ab ( b a , (BĐT AMGM) 1 ( + a b b a 2 ) 1 + 2 ) £ ab ab + b 1 ( + a b b a
= =
b 1
0,25 dấu bằng khi a
3 2
Vậy giá trị lớn nhất của M bằng đạt được khi a = = (cid:219) = = . x 1 y 1 b
(
) A 0;3 ,
(
1,0đ Câu VI A 1)Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đáy là ) AB , CD ; hai đường chéo AC , BD vuông góc với nhau. Biết B 3;4 và C nằm trên trục hoành. Xác định toạ độ đỉnh D của hình thang ABCD .
2,0 đ 0.25
uuur
( ) ˛ (cid:222) C c;0 C Ox ( ) - = (cid:222) c 0 DC : x 3 y uuur AC( 0; 3 ); BD( 3d
-
+ -
c 3;d
-
4 )
- D( 3d + c;d )
2
AC BD
^ (cid:222) +
3dc
c
3c 3d 12
+
=
0( 1 )
-
)
I(
(cid:222)
0.25
I là trung điểm AB
IJ
^ (cid:222) =
AB
d
( 2 )
- 8 3c 5
- 3 7 ; 2 2 + 3d (cid:230) (cid:222) (cid:231) J 2 Ł
=
6
2
0.25 J là trung điểm DC , từ 2c d ; 2 (cid:246) (cid:247) ł
2c
-
- 9c 18
= (cid:219) 0
c Ø Œ Œ = c º
- 3 2
Thay (2) vào (1) có:
c 6 = (cid:222) = - (cid:222) d 2 - D( 0; 2 )( tm ) 0,25
c = (cid:222) = (cid:222) d D( 6; )( ktm ) - 3 2 5 2 5 2
2
3
(Học sinh phải kiểm tra điều kiện thông qua véctơ AB và véctơ DC cùng chiều) Kết luận: D( 0; 2 ) -
x
+
( ) = p x
x
(cid:230) (cid:231) Ł
n (cid:246) (cid:247) ł
C
+
3C
+
3C
+
C
=
2) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : . Biết rằng số 1,0đ
6 n
7 n
8 n
9 n
2C +
8 n 2
* ¥
nguyên dương n thoả mãn
(cid:219)
C
2C
=
(cid:219)
C
+
C
=
2C
(cid:219)
C
=
C
(cid:219) =
n 15
9 + n 2
8 + n 2
9 + n 2
8 + n 2
15
15
15
- 15 k
2
2
k
3
3
- 30 5 k 6
,n 9 0.25 n Điều kiện : 9 + n 3 ˛ 8 + n 2 ‡ 8 + n 2
x
+
=
C
=
C 2 x
x
( ) = p x
k 15
k 15
(cid:229)
(cid:229)
(
)
= k 0
= k 0
x
x
(cid:230) (cid:231) Ł
(cid:246) (cid:247) ł
k (cid:246) (cid:247) ł
= (cid:219) =
0
k
6
Khi đó 0.25
6
6
Số hạng không chứa x tương ứng với 0.25
2
Số hạng không chứa x phải tìm là 0,25
(cid:230) (cid:231) Ł - 30 5k 6 320320 = ) (
15 C .2 )
2
¢ = - y m 3m 2 m 3 sin x
-
-
( (
)
Xác định m để hàm số: + y m 3m x 2 m 3 cos x - - = luôn nghịch biến trên ¡ 1,0
0,25
2
2
- m 3m 2 m 3 sin x 0 x
(cid:219) -
-
¡ £ " ˛ (cid:219) -
-
0 t
=
sin x
¢ (cid:219) £ " ˛ ¡ y
)
) - m 3m 2 m 3 t
[ £ " ˛ -
] 1;1 ,t
Câu Đạo hàm : VII A Điều kiện hàm số luôn nghịch biến trên ¡ ( 0 x ( 0,25
2
f
= -
-
-
( ) t
( + 2 m 3 t m 3m
)
] 1;1
Đồ thị là một đoạn thẳng
( ) t
] 1;1
) £
2
trên đoạn [ - 0 0,25 để f t 0 0
2
) ( + 2 m 3 m 3m 0 ) ( + 2 m 3 m 3m 0
( f (cid:236) - £ 1 (cid:239) [ £ " ˛ - (cid:219) (cid:237) ( ) f 1 (cid:239) (cid:238) ( )( (cid:236) m 3 m 2 (cid:239) (cid:237) ( )( m 3 m 2 (cid:239) (cid:238)
) £ ) £ £
£
- - £ - + 0 - £ 2 m 3 £ (cid:219) (cid:219) 2 m 3 (cid:219) £ £ 2 m 3 £ £ 0,25 - - 0 - - £ (cid:236) (cid:237) (cid:238)
1,0 đ Câu VI B
2,0 đ là + (cid:236) (cid:239) (cid:237) - (cid:239) (cid:238) Vậy để hàm số nghịch biến trên ¡ thì 2 m 3 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,lập phương trình chính tắc của elip ( ) E biết rằng có một đỉnh và hai tiêu điểm của ( ) E tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữnhật cơ sở của ( ) E
( 12 2
) . 3
2
2
2
2 b c ,
với 2 tiêu điểm
( -
) c ;0 ;
( ) E :
( a
) 0
( F c 2
2
)( c
-
2 y 2 b 2 đỉnh trên trục nhỏ là
theo gt:tam giác
( (cid:218)D
( 0;
( 0;
) b
B 1
) b B , 2
B F F 1 1 2
) 0 ) đều B F F 1 1
+ > > b = 1 ;0 = a - > 0,25 F 1 x a
là
và chu vi hình chữ nhật cơ sở của ( ) E
0,25 +
( 12 2
) . 3
2
2
2 b
2
a - = a 6
( ) E :
2 y 27
c 2 = 3 3 (cid:219) + = 1 0,5 x 36 3 + 3 2 ( ) = + a b
( 12 2
S
=
1.2.C
+
2.3.C
+
+ L
2012.2013.C
2) Tính tổng :
2 2013
3 2013
2013 2013
(cid:236) (cid:239) (cid:219) = b (cid:237) (cid:239) = c ) (cid:238) 3 (cid:236) = c (cid:239) (cid:239) b (cid:237) (cid:239) (cid:239) 4 (cid:238)
" = k
2,3,...,2013.
-
1,0 đ
k 2013
Xét số hạng tổng quát : ( 0,25
( ) k 1 .k.C
( ) k 1 .k.
k 2013
- k 2 2011
) k 1 .k .C 2013! ) - k ! 2013 k !
(
- = - = 2012.2013.C " = k 2,3,...,2013 0,25
1 2011
2 2011
2011 2011
0 2011
)
2011
+ C + C + + L C Vậy S = 0,25
( 2012.2013. C ) 2011
(
2
2
+ S = 2012.2013. 1 1 0,25
( y m m 1 x m m 1 sin x 2m
)
2
2
- + + + + + đồng biến trên ¡ Câu Xác định m để hàm số: 1,0
Đạo hàm ¢ = y
2
¢ (cid:219) ‡ " ˛ ¡ 0 x y 0,25
2
2
=
cos x
2
2
( + + m m 1 ( + + m m 1 Đồ thị
2012.2013.2 = ) ( = ) ) ( ( - + + + + m m 1 m m 1 cos x 7B 1,0 đ Điều kiện hàm số luôn nghịch biến trên ¡ 2 ‡ " ˛ ¡ x - + 0,25 với t
) ( + ) ( + ( ) = t
[ " ˛ -
] 1;1
] 1;1
) m m 1 cos x 0 ) m m 1 t - + ( + + m m 1
[ ‡ " ˛ - t 0 ) ( +
f , t là một trên đoạn [ -
( ) t
] 1;1
] 1;1 ) - + m m 1 t ( ) ‡ f 1 ( ) - ‡ 1
2
2m 2 0 m
+ ‡ " ˛
¡
0 0,25 đoạn thẳng để f 0 t 0 (cid:236) (cid:239) [ ‡ " ˛ - (cid:219) (cid:237) f (cid:239) (cid:238)
(cid:222) ‡
m 0
‡ 2m 0
(cid:236) (cid:237) (cid:238)
thoả mãn yêu cầu bài toán . Vậy m 0 ‡ (cid:219) 0,25
