ÑEÀ THI TUYEÅN SINH VAØO LÔÙP 10 MOÂN TOAÙN CHUNG
TRÖÔØNG THPT CHUYEÂN LEÂ QUYÙ ÑOÂN BÌNH ÑÒNH
NAÊM HOÏC 2008– 2009
Ngaøy thi: 17/06/2008 - Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt
Caâu 1. (1 ñieåm)
Haõy ruùt goïn bieåu thöùc:
A =
a a 1 a a 1
a a a a
(vôùi a > 0, a 1)
Caâu 2. (2 ñieåm)
Cho haøm soá baäc nhaát y =
1 3
x – 1
a) Haøm soá ñaõ cho laø ñoàng bieán hay nghòch bieán treân R? Vì sao?
b) Tính giaù trò cuûa y khi x =
1 3
.
Caâu 3. (3 ñieåm)
Cho phöông trình baäc hai:
x2 – 4x + m + 1 = 0
a) Tìm ñieàu kieän cuûa tham soá m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät.
b) Giaûi phöông trình khi m = 0.
Caâu 4. (3 ñieåm)
Cho tam giaùc ABC ngoaïi tieáp ñöôøng troøn (O). Treân caïnh BC laáy ñieåm M, treân
caïnh BA laáy ñieåm N, treân caïnh CA laáy ñieåm P sao cho BM = BN vaø CM = CP.
Chöùng minh raèng:
a) O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc MNP.
b) Töù giaùc ANOP noäi tieáp ñöôøng troøn.
Caâu 5. (1 ñieåm)
Cho moät tam giaùc coù soá ño ba caïnh laø x, y, z nguyeân thoûa maõn:
2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = 0
Chöùng minh tam giaùc ñaõ cho laø tam giaùc ñeàu.
GIAÛI ÑEÀ THI VAØO LÔÙP 10 MOÂN TOAÙN CHUNG
TRÖØÔØNG THPT CHUYEÂN LEÂ QUYÙ ÑOÂN BÌNH ÑÒNH
NAÊM HOÏC 2008 – 2009 – Ngaøy: 17/06/2008
Thôøi gian laøm baøi: 150 phuùt
Caâu 1.(1 ñieåm)
Ruùt goïn:
A =
a a 1 a a 1
(a > 0, a 1)
=
3 3
a 1 a 1
a a 1 a a 1
a a
a a 1 a a 1
= a a 1 a a 1 2 a
2
a a
(a > 0, a 1)
Caâu 2.(2 ñieåm)
a) Haøm soá y =
1 3
x – 1 ñoàng bieán treân R vì coù heä soá a =
1 3
< 0.
b) Khi x =
1 3
thì y =
1 3 1 3 1
= 1 – 3 – 1 = - 3.
Caâu 3.(3 ñieåm)
a) Phöông trình x2 – 4x + m + 1 = 0
Ta coù bieät soá ’ = 4 – (m + 1) = 3 – m.
Ñieàu kieän ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät laø:
’ > 0 3 – m > 0 m < 3.
b) Khi m= 0 thì phöông trình ñaõ cho trôû thaønh: x2 – 4x + 1 = 0
’ = 4 – 1 = 3 > 0
Phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät:
x1 = 2 -
3
, x2 = 2 +
3
.
Caâu 4.(3 ñieåm)
a) Chöùng minh O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp MNP
Ta coù: O laø giao ñieåm ba ñöôøng phaân giaùc cuûa ABC neân töø ñieàu kieän giaû thieát
suy ra:
A
N
B
M
C
P
O
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
OBM = OMN (c.g.c)
OM = ON (1)
OCM = OCP (c.g.c)
OM = OP (2)
Töø (1), (2) suy ra OM = ON = OP.
Vaäy O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp MNP.
b) Chöùng minh töù giaùc ANOP noäi tieáp
Ta coù OBM = OMN
µ
1 1
M N
, OCM = OCP
µ
2 2
P M
Maët khaùc
µ
µ
0
1 2 1 2
P P 180 M M
(keà buø)
µ
1 1
P M
µ
µ
1 1
P N
Vì
µ
µ
1 2
N N
= 1800 neân
µ
µ
1 2
P N
= 1800.
Vaây töù giaùc ANOP noäi tieáp ñöôøng troøn.
Caâu 5. (1 ñieåm)
Chöùng minh tam giaùc ñeàu
Ta coù: 2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = 0 (1)
Vì x, y, z N* neân töø (1) suy ra y laø soá chaün.
Ñaët y = 2k (k N*), thay vaøo (1):
2x2 + 12k2 + 2z2 – 8xk + 2xz – 20 = 0 x2 + 6k2 + z2 – 4xk + xz – 10 = 0
x2 – x(4k – z) + (6k2 + z2 – 10) = 0 (2)
Xem (2) laø phöông trình baäc hai theo aån x.
Ta coù: = (4k – z)2 – 4(6k2 + z2 – 10) = 16k2 – 8kz + z2 – 24k2 – 4z2 + 40 =
= - 8k2 – 8kz – 3z2 + 40
Neáu k 2, thì do z 1 suy ra < 0: phöông trình (2) voâ nghieäm.
Do ñoù k = 1, suy ra y = 2.
Thay k = 1 vaøo bieät thöùc :
= - 8 – 8z – 3z2 + 40 = - 3z2 – 8z + 32
Neáu z 3 thì < 0: phöông trình (2) voâ nghieäm.
Do ñoù z = 1, hoaëc 2.
Neâu z = 1 thì = - 3 – 8 + 32 = 21: khoâng chính phöông, suy ra phöông trình (2)
khoâng coù nghieäm nguyeân.
Do ñoù z = 2.
Thay z = 2, k = 1 vaøo phöông trình (2):
x2 – 2x + (6 + 4 – 10) = 0 x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 2 (x > 0)
Suy ra x = y = z = 2.
Vaäy tam giaùc ñaõ cho laø tam giaùc ñeàu.