TNU Journal of Science and Technology
228(10): 29 - 34
THE HIGHER TOPOLOGICAL COMPLEXITY OF GENERIC ARRANGEMENT
Tran Hue Minh*, Nguyen Van Ninh TNU - University of Education
ARTICLE INFO
ABSTRACT
Received:
Revised:
11/4/2023
Published:
17/4/2023
KEYWORDS
Topological complexity Cohomology Homotopy equivalent General position Orlik-Solomon algebra
17/02/2023 The higher topological complexity is given by Y.B. Rudyak introduced in 2010 as a topological invariant that has many relations with other invariants. It is difficult to compute this invariant in the general case. In this paper, we give the results of higher topological complexity for the complement of generic arrangement in complex space. To get this result, we give the upper bound by constructing local section and the lower bound using the cohomology of isomorphism between complement and the Orlik-Solomon algebra of corresponding arrangement. The results show that the higher topological complexity of the complement of generic arrangements depends only on the number of dimensions of the space and the number of hyperplanes of the arrangement. The calculated results give us one more example to be able to confirm whether the topological complexity of an arrangement of hyperplanes is combinatorial dependent or not.
ĐỘ PHỨC TẠP TÔ PÔ BẬC CAO CỦA SẮP XẾP GENERIC
Trần Huệ Minh*, Nguyễn Văn Ninh Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên
THÔNG TIN BÀI BÁO
TÓM TẮT
Ngày hoàn thiện: 11/4/2023
Ngày đăng: 17/4/2023
TỪ KHÓA
Ngày nhận bài: 17/02/2023 Độ phức tạp tô pô bậc cao được Y.B. Rudyak đưa ra năm 2010, đây là một bất biến tô pô có nhiều liên hệ với các bất biến khác. Việc tính toán bất biến này trong trường hợp tổng quát là khó. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra kết quả về độ phức tạp tô pô bậc cao cho phần bù các sắp xếp generic trong không gian phức. Để đưa ra được kết quả này chúng tôi lần lượt đưa ra chặn trên bằng cách xây dựng các nhát cắt địa phương và đưa ra chặn dưới bằng cách sử dụng tính đẳng cấu giữa đối đồng điều của phần bù và đại số Orlik-Solomon của sắp xếp tương ứng. Kết quả chỉ ra rằng độ phức tạp tô pô bậc cao của phần bù các sắp xếp generic chỉ phụ thuộc vào số chiều của không gian và số siêu phẳng của sắp xếp. Kết quả được tính toán cho ta thêm một ví dụ để có thể khẳng định độ phức tạp tô pô của một sắp xếp các siêu phẳng có phụ thuộc tổ hợp hay không.
Độ phức tạp tô pô Đối đồng điều Tương đương đồng luân Vị trí tổng quát Đại số Orlik-Solomon
DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.7352
* Corresponding author. Email: minhth@tnue.edu.vn
http://jst.tnu.edu.vn 29 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology
228(10): 29 - 34
1. Giới thiệu
Cho là một không gian tô pô, là ánh xạ biến mỗi đường là không gian các đường liên tục trong thành cặp điểm đầu và điểm cuối của
. Đây là một phân thớ theo nghĩa Serre. Độ phức tạp tô pô của
và hay . Trong [3], Yu. được M. Farber định nghĩa trong [1] chính là giống Schwarz (xem [2]) của Rudyak đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm độ phức tạp tô pô bậc cao (hoặc xem [4]). Với được đồng nhất, là tích kết của đoạn đơn vị , với , đặt
là không gian tất cả các hàm liên tục từ vào với tô pô compact mở. Xét phân thớ
với là phần tử 1 trong . Đây chính là một cái thế phân thớ của ánh xạ đường chéo
(xem [3]).
Định nghĩa 1. Độ phức tạp tô pô bậc cao của của không gian là số nhỏ nhất
sao cho tồn tại một phủ mở của bởi tập mở và với mỗi tập mở tồn tại một
nhát cắt địa phương của , nghĩa là
Sau đây là một số tính chất quan trọng của .
i) là một bất biến đồng luân.
ii) Cho là không gian liên thông đường có kiểu đồng luân của một - phức chiều thì
iii) Cho và là các không gian liên thông đường. Khi đó,
.
iv) Vì là cái thế phân thớ của ánh xạ nên ta có tính chất sau: Giả sử là
một số nguyên dương, với là các lớp đối đồng điều thỏa mãn
. Khi đó, và Độ phức tạp tô pô bậc cao đã được tính cho các mặt cầu và tích của các mặt cầu bởi Basabe và cộng sự [4], và một số không gian cấu hình bởi J. Gonzélez, B. Gutiérrez [5].
Chúng tôi quan tâm đến độ phức tạp tô pô bậc cao của phần bù các sắp xếp siêu phẳng. Trong cho phần bù của các đường thẳng phức và phần bù của [6] và [7], chúng tôi đã tính toán
sắp xếp kiểu thớ. Trong bài báo này, chúng tôi tính cho phần bù của một sắp xếp generic.
2. Sơ lược về vấn đề nghiên cứu
Đặt trong
Trước hết, chúng ta nhắc lại một số khái niệm cần thiết trong lý thuyết sắp xếp siêu phẳng. là một không gian afin con bậc 1 được xác định là không gian véc tơ phức chiều. Một siêu phẳng chiều của có thể xem là hạt nhân của đa thức . Siêu phẳng
sai khác một hằng số khác không. Một sắp xếp các siêu phẳng trong là một tập hữu
http://jst.tnu.edu.vn 30 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology
228(10): 29 - 34
hạn các siêu phẳng trong . Đa thức được
gọi là đa thức xác định của . Phần bù của được xác định là
được gọi là sắp xếp tâm nếu . Nếu thì ta gọi là sắp xếp
. Nếu có tâm, thì ta có thể chọn hệ trục tọa độ afin sao cho tất cả các siêu phẳng tâm với tâm đi qua gốc tọa độ. Một sắp xếp được gọi là tâm thực chất nếu chỉ gồm 1 điểm gốc tọa độ. siêu phẳng với đa thức xác định Cho một - sắp xếp tâm chứa
. Ta xây dựng một - sắp xếp với siêu phẳng được kí hiệu bởi
. Ở đây, được xác định bằng cách thay bởi 1 trong đa thức . được
gọi là giải nón của . Định nghĩa 2. Một - sắp xếp tâm với được gọi là sắp xếp generic nếu với mọi tập
con với thì tập các hàm xác định các siêu phẳng của độc lập tuyến tính.
Nếu là một - sắp xếp generic chứa siêu phẳng với
tọa độ sao cho đa thức xác định có dạng . Do đó, , khi đó ta có thể chọn lại hệ có kiểu đồng luân của
một - xuyến . Từ đó ta có (xem [4]). Đây là một trường hợp đặc biệt
của định lý chính. Vậy ta chỉ cần xét trường hợp . Định nghĩa 3. Một - sắp xếp
với , được gọi là sắp xếp ở vị trí tổng quát nếu với mọi tập con và là một không gian afin con có đối chiều
với thì .
Ta có một sắp xếp là generic khi và chỉ khi giải nón là một - sắp xếp ở vị trí
tổng quát (xem [8]).
Để chứng minh cho trường hợp tổng quát, ta sẽ lần lượt đưa ra chặn dưới và chặn trên cho . Để đưa ra được chặn dưới, chúng tôi sử dụng sự đẳng cấu của đại số đối đồng điều
của với đại số Orlik-Solomon, từ đó tính toán trực tiếp trên các phần tử của đại số Orlik- Solomon. Để đưa ra chặn trên, ta sẽ sử dụng định lý của Hatori để đưa ra kiểu đồng luân của phần bù, từ đó xây dựng trực tiếp các nhát cắt địa phương của .
3. Kết quả chính
Định lý. Cho là sắp xếp generic gồm siêu phẳng phức trong , và
là phần bù. Khi đó
Chứng minh: Chứng minh của định lý sẽ chia làm hai phần.
Chặn dưới: Bằng việc sử dụng kết quả về sự đẳng cấu của
với đại số Orlik – như các đại số phân bậc (xem [8]) và kết hợp với việc sử dụng tính chất của Solomon
chặn dưới (iv), ta sẽ đưa ra chặn dưới của bằng việc sử dụng đại số Orlik - Solomon.
http://jst.tnu.edu.vn 31 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology
228(10): 29 - 34
Vì là sắp xếp generic nên đại số có các phần tử sinh với quan hệ như sau
và nếu thì
là một cơ sở (như không gian véc Tập hợp các phần tử
tơ phức) của (xem [8]). Coi các phần tử như các phần tử trong , khi đó với mỗi ta đặt
, với
Đặt với . Xét phần tử
bậc không bị Trong khai triển của có số hạng
triệt tiêu bởi các số hạng khác. Do đó, ta có .
và Mặt khác, với mọi . Từ đó ta suy ra
Chặn trên: Với mỗi sắp xếp tâm trong không gian véc tơ phức, ta có phần bù
(xem [8]). Vì là sắp xếp generic gồm
đương đồng luân với là một nên - sắp xếp ở vị trí tổng quát gồm tương siêu phẳng với siêu phẳng. Áp dụng định lý
của Hattori (xem [9]), ta có tương đương đồng luân với , với
nếu
Áp dụng tính chất (i) và bất đẳng thức (2) của ta có
Từ là một khung - phức chiều của nên áp dụng (1) ta được
.
Mặt khác ta có (xem [3]). Từ đó suy ra
.
Nếu thì , từ đó ta có điều phải
chứng minh. Vì vậy, ta chỉ cần xét trường hợp . Nghĩa là ta chứng minh
.
Thật vậy, ta sẽ phân tích thành hợp của tập con và xây dựng
các nhát cắt địa phương trên từng tập con trên.
Với mỗi tập con , , ta xét các tập con của như sau
http://jst.tnu.edu.vn 32 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology
228(10): 29 - 34
nếu và chỉ nếu
nếu và chỉ nếu
Đặt:
, với với mọi
với
với .
Khi đó, các tập với và với và là
một phủ của chứa tập con. Tiếp theo, ta sẽ xây dựng các nhát cắt liên
tục của trên mỗi tập con này. Ta có, là hợp rời của các tập và mỗi tập cũng là hợp
rời của các tập . Do đó, ta chỉ cần xây dựng nhát cắt trên mỗi tập và .
Với hai điểm ta xác định một đường đi trong từ đến như sau: Giả
sử và . Khi đó, ta đặt ,
với tọa độ thứ là được cho bởi công thức sau:
- Nếu thì với mọi
- Nếu thì
Với là cung tròn nối hai điểm từ tới cho bởi công thức
Tham số của được chia thành ba phần bởi với
tham số hóa xác định bởi
Dễ thấy rằng xác định với mọi và là một đường liên tục nối
với .
Tiếp theo, ta cần kiểm tra nằm trên với mọi và . Nghĩa là
với mỗi , có ít nhất tọa độ bằng 1.
Giả sử với Kí hiệu
và đặt . Khi đó ta có
http://jst.tnu.edu.vn 33 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology
228(10): 29 - 34
Với bất kì , xét chỉ số . Vì và nên và từ định
nghĩa ta có với mọi .
Với ta xét chỉ số . Vì nên . Do đó, , suy ra
với mọi .
Với , ta xét chỉ số . Vì nên . Do đó, , suy ra
với mọi .
Vậy với mỗi , có ít nhất tọa độ bằng 1, nằm trên .
Xét ánh xạ xác định bởi .
Từ cách xây dựng ta suy ra hạn chế của phụ thuộc liên trên các tập hợp
tục theo và là nhát cắt của trên các tập . Hơn nữa, các tập hợp
với đều là các tập . Do đó, và Vậy
Vì nên
Kết hợp và ta được điều phải chứng minh.
4. Kết luận
Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra kết quả về độ phức tạp tô pô bậc cao của phần bù một sắp xếp generic. Khi tìm chặn dưới chúng tôi sử dụng sự đẳng cấu của đối đồng điều của phần bù với đại số Orlik-Solomon của sắp xếp siêu phẳng đó. Khi tìm chặn trên, bằng việc sử dụng kiểu đồng luân của phần bù chúng tôi đã xây dựng trực tiếp các nhát cắt địa phương.
TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES
