Giá trị kỳ vọng
Trong Lý thuyết xác suất, giá trị kỳ vọng, giá trị mong đợi (hoặc kỳ vọng
toán học), hoặc trung bình (mean) của một biến ngẫu nhiên là trung bình có
trọng số của tất cả các giá trị của thể của biến đó, hay là được tính bằng tổng
các tích giữa xác suất xảy ra của mỗi giá trị có thể của biến với giá trị đó.
Như vậy, nó biểu diễn giá trị trung bình mà người ta "mong đợi" thắng cược
nếu đặt cược liên tục nhiều lần với khả năng thắng cược là như nhau. Lưu ý
rằng bản thân giá trị đó có thể không được mong đợi theo nghĩa thông
thường; nó có thể ít có khả năng xảy ra hoặc không thể xảy ra. Một trò chơi
hoặc một tình huống trong đó giá trị kỳ vọng bằng 0 được gọi là một "trò
chơi công bằng" (fair game).
Ví dụ, một vòng quay roulette có 38 kết quả có thể có khả năng như nhau.
Mỗi đặt cược vào một số duy nhất thắng 35-1 ( nghĩa là ta được trả 35 lần số
tiền đặt cược và được nhận lại tiền đặt cược, vậy ta nhận được 36 lần tiền
cược). Do đó, xét cả 38 kết quả có thể, giá trị kỳ vọng của khoản lợi thu được
từ 1 đôla đặt cược cho một số duy nhất là:
nghĩa là khoảng -$0.0526. Do đó, giá trị kỳ vọng là ta sẽ mất trung bình hơn
năm xu cho mỗi đôla tiền đặt cược.
Mục lục
1 Định nghĩa toán học
2 Các tính chất
o 2.1 Tuyến tính
o 2.2 Kỳ vọng lặp
o 2.3 Bất đẳng thức
o 2.4 Biểu diễn
o 2.5 Không có tính nhân
o 2.6 Không bất biến về hàm
3 Ứng dụng của giá trị kỳ vọng
4 Kỳ vọng của ma trận
5 Xem thêm
6 Liên kết ngoài
Định nghĩa toán học
Thông thường, nếu là một biến ngẫu nhiên xác định trên một không gian
xác suất , thì giá trị kỳ vọng của (ký hiệu hoặc đôi khi hoặc
) được định nghĩa như sau
trong đó sử dụng tích phân Lebesgue. Lưu ý rằng không phải mọi biến ngẫu
nhiên đều có một giá trị kỳ vọng, do có thể không tồn tại tích phân (ví dụ
phân bố Cauchy). Hai biến ngẫu nhiên có cùng phân bố xác suất sẽ có giá trị
kỳ vọng bằng nhau.
Nếu là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị , , ... và các xác suất
tương ứng là , , ... với tổng bằng 1, thì có thể được tính bằng tổng
của chuỗi
cũng như trong ví dụ đánh bạc nêu trên.
Nếu phân bố xác suất của chấp nhận một hàm mật độ xác suất , thì giá
trị kỳ vọng có thể được tính như sau
Định nghĩa của trường hợp rời rạc trực tiếp suy ra rằng nếu là một hằng
biến ngẫu nhiên (constant random variable), nghĩa là với một là một
số thực không đổi nào đó, thì giá trị kỳ vọng của cũng bằng .
Giá trị kỳ vọng của một hàm g(x) tùy ý của x, với hàm mật độ xác suất f(x) có
công thức
Các tính chất
Tuyến tính
Phép toán giá trị kỳ vọng (hay phép toán kỳ vọng) là phép toán tuyến tính
theo nghĩa sau
với hai biến ngẫu nhiên và bất kỳ (được định nghĩa trên cùng một không
gian xác suất) và hai số thực bất kỳ và .
Kỳ vọng lặp
Với hai biến ngẫu nhiên bất kỳ , ta có thể định nghĩa kỳ vọng có điều
kiện (conditional expectation):
Khi đó giá trị kỳ vọng của thỏa mãn
Do đó, đẳng thức sau là đúng:
Vế phải của đẳng thức được gọi là kỳ vọng lặp. Mệnh đề này được nói đến
trong quy tắc kỳ vọng toàn thể (law of total expectation)
Bất đẳng thức
Nếu một biến ngẫu nhiên X luôn nhỏ hơn hay bằng một biến ngẫu nhiên Y
khác, kỳ vọng của X cũng nhỏ hơn hay bằng kỳ vọng của Y:
Nếu , thì .
Đặc biệt, do và , giá trị tuyệt đối của kỳ vọng của một
biến ngẫu nhiên nhỏ hơn hay bằng kỳ vọng của giá trị tuyệt đối của nó: