Toán Tài chính
Toán Tài chính (thuật ngữ tiếng Anh: Mathematical finance) là một ngành
toán học ứng dụng nghiên cứu thị trường tài chính. Nói chung, tài chính toán
học sẽ thừa kế và mở rộng các mô hình toán học hay con số mà không cần
phải thiết lập một liên kết đến lý thuyết tài chính, bằng cách lấy giá cả thị
trường quan sát như đầu vào. Tính thống nhất toán học là cần thiết, chứ
không phải là tính phù hợp với lý thuyết kinh tế.
Môn học này có nhiều liên hệ đến tài chính kinh tế, nhưng nó hẹp hơn và trừu
tượng hơn. Ví dụ, một nhà kinh tế học tài chính có thể nghiên cứu lý do tại
sao một công ty có giá cổ phiếu như thế, còn một nhà toán học thì sử dụng
giá cổ phiếu cho sẵn, rồi dùng giải tích thống kê để tìm giá trị cho chứng
khoán phái sinh của cổ phiếu.
Vì vậy, ví dụ, trong khi một nhà kinh tế học tài chính có thể nghiên cứu các
lý do cấu trúc tại sao một công ty có thể có một số giá cổ phần nhất định, một
nhà toán học tài chính có thể lấy giá cổ phần như một yếu tố đã cho, và cố
gắng để sử dụng tính toán ngẫu nhiên để có được giá trị tương ứng của các
phái sinh của cổ phiếu (xem: Định giá quyền chọn, Mô hình hóa tài chính).
Định lý cơ bản của định giá không hưởng chênh lệch là một trong những định
lý quan trọng trong tài chính toán học, trong khi phương trình và công thức
Black-Scholes nằm trong số những kết quả quan trọng.
Tài chính toán học cũng trùng với rất nhiều lĩnh vực như tài chính điện toán
(cũng như kỹ nghệ tài chính). Môn học sau tập trung vào ứng dụng, trong khi
môn học trước tập trung vào lập mô hình và phái sinh (xem: phân tích định
lượng), thường bởi sự giúp đỡ của các mô hình tài sản ngẫu nhiên. Nói
chung, có tồn tại hai nhánh riêng biệt của tài chính đòi hỏi các kỹ thuật định
lượng tiên tiến: định giá các phái sinh trên một mặt, và quản lý rủi ro -danh
mục đầu tư trên mặt khác.
Nhiều viện đại học cung cấp các chương trình cấp độ và nghiên cứu trong tài
chính toán học, xem Thạc sĩ Tài chính toán học.
Mục lục
1 Lịch sử: Q so với P
o 1.1 Định giá phái sinh: thế giới Q
2 Xem thêm
3 Chú thích
4 Tham khảo
Lịch sử: Q so với P
Có tồn tại hai nhánh riêng biệt của tài chính đòi hỏi kỹ thuật định lượng tiên
tiến: định giá các phái sinh và quản lý rủi ro và danh mục đầu tư. Một trong
những khác biệt chính là họ sử dụng các xác suất khác nhau, cụ thể là xác
suất rủi ro trung tính (hay xác suất định giá hưởng chênh lệch), ký hiệu là
"Q", và xác suất thực tế (hoặc actuarial), ký hiệu "P".
Định giá phái sinh: thế giới Q
Thế giới Q
Mục tiêu "ngoại suy hiện tại"
Môi trường xác suất rủi ro trung tính
Các quá
trình các martingale thời gian liên tục
Chiều thấp
Các công cụ
tính toán Ito, phương trình vi
phân (PDE)
Các thách
thức hiệu chỉnh
Kinh doanh bên bán
Mục tiêu của định giá phái sinh là để xác định mức giá hợp lý của chứng
khoán được đưa ra trong các điều kiện của các chứng khoán thanh khoản hơn
mà giá của chúng được xác định bởi quy luật của cung và cầu. Ý nghĩa của
"hợp lý" phụ thuộc, tất nhiên, vào việc liệu người đó là mua hoặc bán chứng
khoán. Ví dụ về các chứng khoán được định giá là quyền chọn bình thường
và quyền chọn đặc biệt, trái phiếu chuyển đổi, vv
Một khi một giá hợp lý đã được xác định, các thương nhân bên bán có thể
làm ra một thị trường trên chứng khoán này. Do đó, định giá phái sinh là một
bài tập "ngoại suy" phức tạp để xác định giá trị thị trường hiện tại của một
chứng khoán, sau đó được sử dụng bởi các cộng đồng bên bán. Định giá phái
sinh định lượng được khởi xướng bởi Louis Bachelier trong Lý thuyết đầu cơ
(xuất bản năm 1900), với việc giới thiệu các quá trình cơ bản nhất và có ảnh
hưởng nhất, chuyển động Bờ-rao, và các ứng dụng của nó đối với việc định
giá quyền chọn. Bachelier đã mô hình hóa chuỗi thời gian của các thay đổi
trong lô-ga-rít của giá cổ phiếu như một bước đi ngẫu nhiên trong đó những
thay đổi ngắn hạn đã có một variance hữu hạn. Điều này gây ra những thay
đổi dài hạn để theo một phân phối Gau-xơ. Công trình của Bachelier, tuy
nhiên, phần lớn là không được biết bên ngoài học viện.
Lý thuyết vẫn không hoạt động cho đến khi Fischer Black và Myron Scholes,
cùng với các đóng góp cơ bản của Robert C. Merton, được áp dụng quy trình
có ảnh hưởng thứ hai, chuyển động Bờ-rao hình học, đối với định giá quyền
chọn. Cho điều này M. Scholes và R. Merton đã được trao năm 1997 giải Nô-
ben tưởng niệm trong khoa học kinh tế. Black là không đủ điều kiện cho giải
thưởng vì cái chết của ông vào năm 1995.
Bước quan trọng tiếp theo là định lý cơ bản của định giá tài sản bởi Harrison
và Pliska (1981), theo đó mức giá hiện tại bình thường phù hợp P0 của một
chứng khoán là không hưởng chênh lệch, và do đó thực sự hợp lý, chỉ khi tồn
tại một quá trình ngẫu nhiên Pt với giá trị kỳ vọng không đổi trong đó mô tả
sự phát triển tương lai của nó:
(1 )
Một quá trình đáp ứng (1) được gọi là một "martingale". Một martingale
không thưởng rủi ro. Do đó xác suất của quá trình định giá chứng khoán
thường hóa được gọi là "rủi ro trung tính" và thường được ký hiệu bởi chữ
cái blackboard font " ".
Mối quan hệ (1) phải nắm giữ cho tất cả các thời gian t: do đó quá trình này
được sử dụng để định giá phái sinh được thiết lập tự nhiên trong thời gian
liên tục.
Các nhà phân tích định lượng người hoạt động trong thế giới Q của định giá
phái sinh là những chuyên gia có kiến thức sâu sắc về các sản phẩm đặc thù
mà họ mô hình.
Các chứng khoán có giá cụ thể, và do đó những vấn đề trong thế giới Q là
thấp chiều trong tự nhiên. Hiệu chuẩn là một trong những thách thức chính
của thế giới Q: một khi một quá trình tham số thời gian liên tục đã được hiệu