1
ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN
Th.S Bùi Đình Thắng
GIÁO TRÌNH
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
VÀ THỒNG KÊ TOÁN
Lƣu hành nội bộ
Nghệ An, tháng 5 năm 2015
2
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết xác suất và thống kê toán học là một ngành toán học ra
đời khoảng thế kỷ XVII, đối tƣợng nghiên cứu của nó là các hiện
tƣợng ngẫu nhiên, các quy luật ngẫu nhiên thƣờng gặp trong thực tế.
Lý thuyết xác suất và thống kê phát triển mạnh mẽ trong thế kỷ XX,
xác suất thống kê đƣợc áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, trong đó
có kinh tế, xã hội, điều khiển học, y học .... Do đó, ngày nay lý thuyết
Xác suất và thống kê toán đã đƣợc đƣa vào giảng dạy ở hầu hết các
ngành đào tạo trong các trƣờng Đại học và Cao đẳng trong nƣớc và
trên thế giới.
Để kịp thời phục vụ việc học tập của sinh viên, Khoa cơ sở -
Trƣờng Đại học Kinh tế Nghệ An đã tổ chức biên soạn cuốn giáo trình
Lý thuyết xác suất và thống kê toán. Đây là giáo trình dùng chung cho
hệ Cao đẳng và hệ Đại học, dựa vào chƣơng trình giảng dạy bộ môn
Khoa học tự nhiên – Khoa cơ sở có thể lựa chọn nội dung giảng dạy
phù hợp với trình độ của mỗi hệ đào tạo.
Trong giáo trình này chúng tôi không đi sâu vào việc chứng minh
những lý thuyết toán học phức tạp mà trình bày các kiến thức cơ bản
về xác suất và thống kê toán nhằm đảm bảo phần cơ sở toán học cho
quá trình thu thập và xử lý thông tin kinh tế - xã hội sẽ đƣợc tiếp tục
nghiên cứu trong các môn học khác.
Giáo trình đƣợc trình bày gồm 8 chƣơng:
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
Chương 2. Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
Chương 3. Một số quy luật phân phối xác suất thường gặp
Chương 4. Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều
Chương 5. Các định lý giới hạn
Chương 6. Lý thuyết mẫu
Chương 7. Bài toán ước lượng tham số
Chương 8. Bài toán kiểm định giả thuyết
3
Giáo trình "Lý thuyết xác suất và thống kê toán" đƣợc biên soạn
lần đầu và trong thời gian ngắn nên chắc chắn giáo trình không tránh
khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đƣợc sự góp ý của bạn
đọc để giáo trình ngày càng đƣợc hoàn thiện.
Tác giả
4
Chƣơng 1
BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT
1.1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
1.1.1. Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên là một thuật ngữ để chỉ một phép thử hay một
thực nghiệm hay một quan sát ... mà kết quả là ngẫu nhiên, không biết
trƣớc một cách chắc chắn. Các kết quả có thể (ký hiệu là ) của phép
thử ngẫu nhiên gọi là các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp (biến cố sơ cấp).
1.1.1.1. Định nghĩa. Tập hợp tất cả các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp
gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu là: Ω.
Số các biến cố sơ cấp của Ω ta ký hiệu là Card(Ω).
Ví dụ 1. 1) Gieo một đồng xu là thực hiện một phép thử ngẫu
nhiên. Các kết quả S = "Xuất hiện mặt sấp", N = "Xuất hiện mặt ngửa" là
các biến cố sơ cấp. Không gian mẫu là = {S, N}. Card() = 2.
2) Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc 6 mặt là thực hiện một phép
thử ngẫu nhiên. Các kết quả Mi: “Xúc xắc xuất hiện mặt i chấm”
(i = 1, 2, ..., 6) là các biến cố sơ cấp. Không gian mẫu là Ω = {M1, M2,
M3, M4, M5, M6}. Card(Ω) = 6.
3) Từ một hộp có 13 viên bi khác nhau ta lấy ra ngẫu nhiên 4 bi,
thì hành động đó là thực hiện một phép thử ngẫu nhiên. Mỗi kết quả
lấy ra đƣợc 4 viên bi trong 13 viên bi là một biến cố sơ cấp. Do đó
không gian mẫu Ω là tập hợp các tổ hợp chập 4 của 13 phần tử.
Card(Ω) =
4
13
C
= 715.
1.1.1.2. Định nghĩa
Một tập hợp con A đƣợc gọi là một biến cố ngẫu nhiên (biến
cố). Các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp A đƣợc gọi là biến cố ngẫu
nhiên sơ cấp thuận lợi cho A. Biến cố A đƣợc gọi là xảy ra khi và chỉ
khi xảy ra một biến cố ngẫu nhiên sơ cấp A. Nhƣ vậy A có thể
có, có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử.
Biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử đƣợc gọi là
biến cố không thể, ký hiệu là .
5
Biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử đƣợc gọi là biến
cố chắc chắn.
Ví dụ 2. 1) Xét phép thử gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc 6 mặt.
Các kết quả:
Ac: “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn”;
Al: “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lẻ”;
Ant: “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố”;
B: "Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4";
C: "Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm bé thua 5"
là các biến cố ngẫu nhiên.
Biến cố "Xúc xắc xuất hiện có số chấm lớn hơn 0" là biến cố chắc
chắn.
Biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 6” là biến cố
không thể.
2) Một hộp có 13 viên bi trong đó có 5 viên bi xanh, 8 viên viên
đỏ. Xét phép thử lấy 5 viên bi. Các kết quả: A = "Lấy ra đƣợc 3 bi
xanh, 2 bi đỏ"; B = "Lấy ra đƣợc 4 bi xanh, 1 bi đỏ"; C = "Lấy ra đƣợc
ít nhất một bi đỏ"; D = "Lấy ra đƣợc nhiều nhất 3 bi xanh" ... là các
biến cố ngẫu nhiên. Biến cố "Lấy ra đƣợc 4 viên bi màu vàng" là biến
cố không thể.
1.1.2. Quan hệ giữa các biến cố
Giả sử A, B là hai biến cố của cùng một phép thử.
1.1.2.1. Quan hệ kéo theo. Ta nói rằng biến cố A kéo theo (hay
thuận lợi) biến cố B nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B cũng xảy ra.
Ký hiệu là A ⊂ B.
Ví dụ 3. 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc, ta có: M1⊂ Al,
M4 ⊂ Ac.
2) Chọn ngẫu nhiên một con bài trong bộ bài tú-lơ-khơ gồm 52
quân bài. Gọi A là biến cố chọn đƣợc con bài chất rô; B là biến cố
chọn đƣợc con bài màu đỏ. Khi đó A ⊂ B.
3) Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm trong một kho hàng có hai loại sản
phẩm loại 1 và loại 2. Gọi A là biến cố chọn đƣợc 3 sản phẩm cùng
loại; B là biến cố chọn đƣợc 3 sản phẩm loại 1. Khi đó B ⊂ A.