Mục lục
1 Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất 2
1.1 Cácvídụ ........................................ 2
1.2 Bàitập.......................................... 6
2 Đại lượng ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất 9
2.1 Đạilượngngẫunhiên.................................. 9
2.1.1 Cácvídụ .................................... 9
2.1.2 Bàitập ..................................... 12
2.2 Đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Cácvídụ .................................... 16
2.2.2 Bàitập ..................................... 18
3 Mẫu thống kê và ước lượng tham số 21
3.1 Mộtsốvídụ....................................... 21
3.2 Bàitập.......................................... 22
4 Kiểm định giả thuyết 26
5 Phân tích tương quan và hồi quy 29
Tài liệu tham khảo 31
1
Chương 1
Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác
suất
1.1 Các ví dụ
Ví dụ 1.1. Một hộp có 100 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 100. Rút ngẫu nhiên hai
thẻ rồi đặt theo thứ tự từ trái qua phải. Tính xác suất để:
1. Rút được hai thẻ tạo thành một số có hai chữ số.
2. Rút được hai thẻ tạo thành một số chia hết cho 5.
Giải.
1. Gọi A:"Hai thẻ rút được tạo thành một số có hai chữ số". Khi đó
P(A) = A2
9
A2
100
=9.8
100.99 ≈0,0073.
2. Gọi B:"Hai thẻ rút được tạo thành một số chia hết cho 5 ".
Khi đó thẻ thứ hai là phải là một trong 20 số 5,10,...,100, còn thẻ thứ nhất là một trong
99 thẻ còn lại.Vậy số trường hợp thuận lợi cho B là 99.20,
P(B) = 99.20
A2
100
= 0,2.
Ví dụ 1.2. Một hộp chứa 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen cùng kích thước. Rút ngẫu nhiên
cùng lúc 4 quả cầu. Tính xác suất để trong đó có:
1. Hai quả cầu đen.
2. Ít nhất 2 quả cầu đen.
3. Tất cả là cầu trắng.
2
Giải. Số phần tử của không gian mẫu là C4
10.
1. Gọi A:"Trong 4 quả cầu rút ra có 2 quả đen".
Số trường hợp có thể xảy ra A là C2
3.C2
7. Do đó P(A) = C2
3.C2
7
C4
10
= 0,3.
2. Gọi B:"Trong 4 quả cầu rút ra có ít nhất hai quả đen".
Số trường hợp có thể xảy ra B là C2
3.C2
7+C3
3.C1
7.
Do đó P(B) = C2
3.C2
7+C3
3.C1
7
C4
10
=1
3.
3. Gọi C:"Tất cả 4 quả cầu rút ra là cầu trắng". Khi đó P(C) = C4
77
C4
10
=1
6.
Ví dụ 1.3. Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 5 nam và 3 nữ dự tuyển, mỗi người đều có cơ
hội ứng tuyển ngang nhau. Tính xác suất để trong 4 người đó:
1. Có không quá 2 nam.
2. Có ít nhất 1 nữ.
3. Có 3 nữ, biết rằng có ít nhất 1 nữ đã được tuyển.
Giải.
Đặt Ak: "Có knam được tuyển trong 4 nhân viên".
1. Gọi A:" Có không quá 2 nam".
P(A) = P(A1) + P(A2) = C1
5.C3
3+C2
5.C2
3
C4
8
=1
2.
2. Gọi B:"Có ít nhất một nữ".
Xác suất để không có người nữ nào được tuyển là P(A4). Khi đó
P(B) = 1 −P(A4)=1−C4
5
C4
8
=13
14
.
3. Gọi C:"Có 3 nữ, biết ít nhất một nữ đã được tuyển".Vậy
P(C) = P(A1/B) = P(A1)
P(B)=C1
5
C4
8
.13
14 =1
13
.
Ví dụ 1.4. Một cuộc điều tra trong thành phố X đối với các hộ gia đình sử dụng dịch vụ truyền
hình cáp và internet, có 30% hộ sử dụng truyền hình cáp, 20% hộ sử dụng internet và 15% hộ sử
dụng cả hai dịch vụ trên. Điều tra ngẫu nhiên một hộ gia đình, tính xác suất để hộ này:
1. Không sử dụng dịch vụ nào.
3
2. Không dùng internet, biết người này đã dùng truyền hình cáp.
Giải.
Đặt A:"Hộ gia đình sử dụng truyền hình cáp";
B:"Hộ gia đình sử dụng internet ".
Ta có: P(A)=0,3; P(B) = 0,2; P(AB) = 0,15.
1. Xác suất để hộ gia đình không dùng dịch vụ nào là P(¯
A. ¯
B) = P(¯
A) + P(¯
B)−P(¯
AB) =
1−3
10 + 1 −2
10 −(1 −15
100) = 13
20.
2. Xác suất cần tính là P(¯
B/A) = P(A¯
B)
P(A)=P(A)−P(AB)
P(A)=0,3−0,15
0,3=1
2.
Ví dụ 1.5. Để thành lập đội tuyển quốc gia về một môn thể thao, người ta tổ chức một cuộc thi
tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh, vòng thứ hai lấy 70% thí sinh đã qua vòng
thứ nhất, vòng thứ ba lấy 45% thí sinh đã qua vòng thứ hai.
1. Tính xác suất để một thí sinh bất kì được vào đội tuyển.
2. Biết thí sinh này bị loại, tính xác suất để thí sinh bị loại ở vòng thứ hai.
Giải.
Đặt Ai: "Thí sinh được chọn ở vòng thứ i ", i∈ {1,2,3}.
Ta có: P(A1) = 0,8; P(A2/A1)=0,7; P(A3/A1A2)=0,45.
1. Xác suất để thí sinh được vào đội tuyển là P(A1A2A3). Theo công thức nhân xác suất ta
có: P(A1A2A3) = P(A1).P (A2/A1).P (A3/A1A2)=0,8.0,7.0,45 = 0,252.
2. Đặt K: "Thí sinh đó bị loại". Khi đó P(K) = P(¯
A1) + P(A1¯
A2) + P(A1A2¯
A3).
P(¯
A1) = 1 −P(A1)=0,2;
P(A1¯
A2) = P(A1).P (¯
A2/A1) = P(A1)(1 −P(A2/A1)) = 0,8.0,3=0,24;
P(A1A2¯
A3) = P(A1)P(A2/A1)P(¯
A3/A1A2) = 0,8.0,7.0,55 = 0,308.
→P(A1A2¯
A3)=0,2.+ 0,24 + 0,308 = 0,748.
Vậy xác suất để thí sinh đó bị loại ở vòng hai, biết rằng thí sinh đã bị loại là: P(¯
A2/K) =
P(¯
A2.K)
P(K)=P(A1¯
A2)
P(K)=0,24
0,748 = 0,3209.
Ví dụ 1.6. Có ba hộp A, B, C đựng các lọ thuốc. Hộp A có 10 lọ tốt và 5 lọ hỏng, hộp B có 6 lọ
tốt và 4 lọ hỏng; hộp C có 5 lọ tốt và 5 lọ hỏng.
1. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ thuốc, tính xác suất để được 3 lọ cùng loại.
2. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ra 3 lọ thuốc thì được 1 lọ tốt và 2 lọ hỏng. Tính xác
suất để hộp được chọn là hộp A.
Giải.
4
1. Gọi Ai: " Lọ lấy ra từ hộp thứ i là tốt", i∈ {1,2,3}.
Xác suất để được 3 lọ cùng loại là P(A1A2A3+¯
A1¯
A2¯
A3) = P(A1)P(A2)P(A3)+P(¯
A1)P(¯
A2)P(¯
A3) =
10
15 ·6
10 ·5
10 +5
15 ·4
10 ·5
10
=4
15.
2. Gọi Hi: "Lấy được hộp thứ i", i∈ {A, B, C}; X:"Lấy được 1 lọ tốt và 2 lọ hỏng".
Khi đó P(HA) = P(HB) = P(HC) = 1
3. Xác suất để hộp A được chọn là P(HA/X). Theo
công thức Bayes:
P(HA/X) = P(XHA)
P(X)=P(HA)P(X/HA)
P(X).
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P(X) = P(HA)P(X/HA) + P(HB)P(X/HB) + P(HC)P(X/HC).
Lần lượt có P(X/HA) = C2
5C1
10
C3
15
;P(X/HB) = C1
6C2
4
C3
10
;P(X/HC) = C1
5C2
5
C3
10
.
Thay vào công thức ta có: P(X) = 5113
16380 ≈0,312. Do đó P(HA/X)=0,2347.
Ví dụ 1.7. Thống kê năm học trước của một trường đại học, tỉ lệ sinh viên thi trượt môn Toán
là 34%, thi trượt môn Ngoại ngữ là 20.5%, và trong số các sinh viên thi trượt Toán có 50% sinh
viên thi trượt môn Ngoại ngữ.
1. Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên của trường, nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu sinh viên
thi trượt cả hai môn Toán và Ngoại ngữ? Tính xác suất tương ứng.
2. Phải chọn bao nhiêu sinh viên sao cho trong số đó, với xác suất không bé hơn 99%, có ít
nhất một sinh viên đỗ cả hai môn?
Giải.
Gọi T:"Sinh viên thi trượt môn Toán"; N:"Sinh viên thi trượt môn Ngoại ngữ".
Ta có: P(T) = 0,34; P(N) = 0,205; P(N/T )=0,5.
1. Xác suất sinh viên trượt cả hai môn là P(T.N) = P(T).P (N/T )=0,34.0,5 = 0,17.
Chọn 12 sinh viên nghĩa là thực hiện phép thử Bernoulli với xác suất trượt cả hai môn là
p= 0,17. Số sinh viên nhiều khả năng trượt cả hai môn nhất là [(n+ 1)p] = [13.0,17] = 2.
Xác suất tương ứng là P12(2) = C2
12(0,17)2(1 −0,17)10 = 0,296.
2. Xác suất sinh viên đỗ cả hai môn là P(¯
T . ¯
N)=1−P(T∩N) = 1−P(T)−P(N)+P(T.N) =
0,625.
Gọi nlà số sinh viên cần chọn. Xác suất để sinh viên đỗ cả hai môn là không đổi, nên ta có
quá trình Bernoulli B(n, p).
Gọi I: "Ít nhất một sinh viên đỗ cả hai môn". Theo đề bài ta có:
P(I)=1−Pn(0) = 1 −(1 −0,625)n≥0,99 ⇔0,375n≤0,01 ⇔n≥4,69.
Vậy cần chọn ít nhất 5 sinh viên.
5