ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM
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BỘ MÔN TOÁN LÝ
GIÁO TRÌNH NỘI BỘ
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Dành cho sinh viên tất cả các ngành học
(Tài liệu lưu hành nội bộ)
Thái Nguyên, năm 2017
M l
PhÇn 1. Lý thuyÕt x¸ suÊt 5
1 BiÕn è ngÉu nhiªn vµ x¸ suÊt 6
1.1 Gi¶i tÝh tæ hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Quy t¾ éng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Quy t¾ nh©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Ho¸nvÞ................................... 7
1.1.4 ChØnhhîp ................................. 8
1.1.5 ChØnh hîp lÆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 Tæhîp ................................... 9
1.1.7 Ph¬ng ph¸p gi¶i mét bµi to¸n gi¶i tÝh tæ hîp . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Php thö vµ biÕn è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Phpthö .................................. 10
1.2.2 BiÕn è (sù kiÖn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Quan hÖ gi÷a ¸ biÕn è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Ph©n hia mét biÕn è theo hÖ ®Çy ®ñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 C¸ ®Þnh nghÜa vÒ x¸ suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 §Þnh nghÜa æ ®iÓn vÒ x¸ suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 §Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸ suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Nguyªn lý x¸ suÊt lín vµ x¸ suÊt nhá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 C¸ ®Þnh lý ¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 §Þnh lý éng x¸ suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 §Þnh lý nh©n x¸ suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3 §Þnh lý x¸ suÊt toµn phÇn - §Þnh lý Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.4 §Þnh lý Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Bµi tËp h¬ng 1 28
2 BiÕn ngÉu nhiªn vµ Quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt 33
2.1 BiÕn ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt ña biÕn ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 B¶ng ph©n phèi x¸ suÊt ña biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹ . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Hµm ph©n phèi x¸ xuÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3 Hµm mËt ®é x¸ suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 C¸ tham sè ®Æ trng ña biÕn ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Kú väng to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2 Ph¬ng sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.3 §é lÖh huÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Mét sè quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt th«ng dng . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.1 Quy luËt kh«ng-mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1
2
2.4.2 Quy luËt nhÞ thø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.3 Quy luËt Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.4 Quy luËt huÈn
N(a, σ2)
.......................... 54
2.4.5 Quy luËt khi b×nh ph¬ng-
χ2
........................ 60
2.4.6 Quy luËt Student-T(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.7 C¸ ®Þnh lÝ giíi h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Bµi tËp h¬ng 2 66
PhÇn 2. Thèng kª to¸n 70
3 C¬ së lý thuyÕt mÉu 71
3.1 Tæng thÓ vµ mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.1 Tæng thÓ vµ kÝh thí ña tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.2 MÉu vµ ph¬ng ph¸p hän mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.3 MÉu ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 C¸ ph¬ng ph¸p m« t¶ mÉu ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.1 S¾p xÕp sè liÖu thù nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.2 Hµm ph©n phèi thù nghiÖm ña mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.3 BiÓu diÔn sè liÖu b»ng biÓu ®å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 C¸ ®Æ trng ña mÉu ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.1 Hµm thèng kª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.2 Trung b×nh mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.3 Ph¬ng sai mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.4 Ph¬ng sai ®iÒu hØnh mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.5 §é lÖh tiªu huÈn mÉu vµ ®é lÖh tiªu huÈn ®iÒu hØnh mÉu . . . . . 80
3.3.6 Sai sè tiªu huÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.7 C¸h tÝnh ¸ ®Æ trng mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.8 TÇn suÊt mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Bµi tËp h¬ng 3 84
4 í lîng tham sè 87
4.1 Ph¬ng ph¸p í lîng ®iÓm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.1 Ph¬ng ph¸p hµm í lîng (ph¬ng ph¸p m« men) . . . . . . . . . . . 87
4.2 Ph¬ng ph¸p í lîng b»ng kho¶ng tin Ëy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.1 Kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.2 í lîng kú väng ña biÕn ngÉu nhiªn ã ph©n phèi huÈn . . . . . . 91
4.2.3 í lîng k× väng to¸n ña biÕn ngÉu nhiªn kh«ng theo quy luËt ph©n
phèihuÈn ................................. 97
4.2.4 í lîng kho¶ng ho tØ lÖ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Bµi tËp h¬ng 4 100
5 KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª 106
5.1 Kh¸i niÖm hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1.1 Gi¶ thuyÕt thèng kª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1.2 Tiªu huÈn kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.3 MiÒn b¸ bá gi¶ thuyÕt thèng kª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.4 Gi¸ trÞ quan s¸t ña tiªu huÈn kiÓm ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.5 Quy t¾ kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3
5.1.6 C¸ sai lÇm m¾ ph¶i khi kiÓm ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.1.7 Thñ t ña kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2 KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt vÒ gi¸ trÞ trung b×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.1 §· biÕt ph¬ng sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2.2 Cha biÕt ph¬ng sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3 KiÓm ®Þnh sù b»ng nhau ña hai kú väng ña hai biÕn ngÉu nhiªn ã ph©n phèi
huÈn ........................................ 113
5.4 KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt ña x¸ suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.1 Trêng hîp mét tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.2 Trêng hîp hai tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Bµi tËp h¬ng 5 118
6 T¬ng quan vµ håi quy 123
6.1 §å thÞ ph©n t¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2 HÖ sè t¬ng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2.1 Ph©n tÝh ý nghÜa hÖ sè t¬ng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2.2 HÖ sè t¬ng quan mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2.3 KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt vÒ gi¸ trÞ ña
ρ
................... 127
6.3 Håi quy tuyÕn tÝnh ®¬n gi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3.1 M« h×nh håi quy tuyÕn tÝnh ®¬n gi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3.2 Ph¬ng tr×nh håi quy tuyÕn tÝnh ®¬n gi¶n ña tæng thÓ . . . . . . . . . . 129
6.3.3 Ph¬ng tr×nh ®êng håi quy tuyÕn tÝnh mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Bµi tËp h¬ng 6 133
Ph l 1 139
Ph l 2 141
Ph l 3 142
Ph l 4 143
Tµi liÖu tham kh¶o 144
4
Lêi nãi ®Çu
"X¸ suÊt thèng kª" lµ mét m«n hä Çn thiÕt ®èi víi sinh viªn khèi ¸ trêng Kinh tÕ-
N«ng-L©m-Sinh-Y bëi néi dung phong phó vµ sù øng dng réng r·i ña nã trong nhiÒu lÜnh
vù kh¸ nhau ña khoa hä tù nhiªn, kü thuËt, y hä vµ kinh tÕ-x· héi. §· ã nhiÒu uèn
s¸h gi¸o tr×nh ®î viÕt ho m«n hä nµy, tuy nhiªn nhãm t¸ gi¶ mong muèn viÕt mét uèn
gi¸o tr×nh phï hîp víi néi dung h¬ng tr×nh ña Trêng §¹i hä N«ng L©m ®Ó sinh viªn ã
thÓ tiÕp Ën m«n hä nµy vµ ¸ m«n hä ¬ së ngµnh sau ®ã, òng nh Ëp nhËt víi h¬ng
tr×nh thi tuyÓn sau ®¹i hä m«n To¸n ao Êp thèng kª ña §¹i hä Th¸i Nguyªn ho khèi ¸
ngµnh N«ng-L©m-Sinh-Y.
Gi¸o tr×nh gåm hai phÇn. PhÇn I: "Lý thuyÕt x¸ suÊt" ã hai h¬ng. Ch¬ng
1
trang bÞ
nh÷ng kiÕn thø ¬ b¶n vÒ gi¶i tÝh tæ hîp, nh÷ng kh¸i niÖm nÒn t¶ng, nh÷ng ®Þnh lý quan
träng ña lý thuyÕt x¸ suÊt æ ®iÓn. Ch¬ng
2
quan t©m ®Õn kh¸i niÖm trung t©m ña x¸ suÊt
lµ biÕn ngÉu nhiªn vµ ¸ quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt, ¸ tham sè ®Æ trng ña nã. Mét sè
quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt th«ng dng vµ ®Þnh lý vÒ luËt sè lín, ®Þnh lý giíi h¹n òng ®î
tr×nh bµy trong h¬ng nµy. PhÇn II: "Thèng kª to¸n" gåm ã
4
h¬ng. Ch¬ng
3
tr×nh bµy
vÒ ¬ së lý thuyÕt mÉu: ¸ ph¬ng ph¸p hän mÉu, s¾p xÕp mÉu, ®Æ trng ña mÉu. Ch¬ng
4
vµ Ch¬ng
5
quan t©m ®Õn hai bµi to¸n ¬ b¶n lµ í lîng tham sè vµ kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt
thèng kª. C¸ bµi to¸n vÒ t¬ng quan vµ håi quy tuyÕn tÝnh ®¬n gi¶n ®î ®Ò Ëp ®Õn ë Ch¬ng
6
. PhÇn uèi ïng lµ mét sè b¶ng ph l th«ng dng.
B¹n ®ä ã thÓ tù hä m«n "X¸ suÊt thèng kª" víi uèn gi¸o tr×nh nµy nÕu ®· ®î trang
bÞ mét sè kiÕn thø ¬ b¶n vÒ Gi¶i tÝh æ ®iÓn vµ §¹i sè tuyÕn tÝnh. C¸ kh¸i niÖm míi ®î
Ëp nhËt thªm ¸ thuËt ng÷ b»ng tiÕng Anh ®Ó b¹n ®ä ã thÓ lµm quen víi ¸ thuËt ng÷ ®ã
khi ®ä s¸h ní ngoµi. HÖ thèng vÝ d ®î lùa hän Ýt nhiÒu liªn quan ®Õn ¸ bµi to¸n
thêng gÆp trong thù tÕ ña ¸ lÜnh vù N«ng, L©m nghiÖp, Sinh hä. C¸ bµi tËp ë uèi mçi
h¬ng dµnh ho b¹n ®ä gi¶i quyÕt th«ng qua vËn dng lý thuyÕt vµ lêi gi¶i ña ¸ vÝ d
trong h¬ng.
Trong nh÷ng kiÕn thø réng lín vÒ lý thuyÕt x¸ suÊt vµ thèng kª to¸n, ®Ó lùa hän ®î
nh÷ng vÊn ®Ò Çn thiÕt viÕt trong khu«n khæ mét uèn gi¸o tr×nh nhá sao ho phï hîp víi néi
dung h¬ng tr×nh ë bË ®¹i hä, ®¸p øng ®î nh÷ng m tiªu ®· ®Ò ra lµ rÊt khã kh¨n vµ
kh«ng tr¸nh khái sai sãt. C¸ t¸ gi¶ mong muèn nhËn ®î nh÷ng nhËn xt gãp ý ña ¸
®ång nghiÖp, ¸ sinh viªn vµ b¹n ®ä ®Ó uèn gi¸o tr×nh ®î hoµn thiÖn h¬n.
Nhãm t¸ gi¶